惠 燁 黃玉美 李鵬陽 李 艷

1.陜西科技大學(xué)機電工程學(xué)院，西安，710021 2.西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院,西安，710048 3.教育部數(shù)控機床及機械制造裝備集成重點試驗室，西安，710048

0 引言

在機床設(shè)計階段，預(yù)估整機的特性是當前研究的熱點。對機械系統(tǒng)中各構(gòu)件單獨進行有限元分析均能得到較高的精度，也能與試驗數(shù)據(jù)具有良好的一致性，但構(gòu)件裝配后進行分析時，構(gòu)件間各種機械結(jié)合部的存在及其不相容性、非線性等特性[1-2]，使分析的準確性顯著降低[3-4]。機床部件和床身間存在大量的螺栓結(jié)合部，螺栓結(jié)合部是由多個平面結(jié)合面和螺紋結(jié)合面組成的復(fù)雜結(jié)合部，它在受預(yù)緊載荷的狀態(tài)下承受外載荷。若能提供螺栓結(jié)合部的結(jié)合條件，在有限元中建立包含結(jié)合部特性的分析模型，就能更準確地得到機械系統(tǒng)真實變形情況，有助于確定機床剛度及進行機床性能預(yù)測。

結(jié)合部構(gòu)件的接觸表面加工方法、表面粗糙度和紋理等導(dǎo)致結(jié)合面在受載狀態(tài)下反映出非線性性質(zhì)，使結(jié)合部建模及分析難度增大，很多學(xué)者對含有螺栓結(jié)合部的建模進行了研究。文獻[5-9]都是將結(jié)合部構(gòu)件整體建?；?qū)偠榷x為恒定值，忽略構(gòu)件間粗糙結(jié)合面的影響，建立的分析模型較粗糙，分析結(jié)果與實際結(jié)合狀態(tài)偏差較大?？紤]螺栓結(jié)合部的非線性特性的影響，文獻[10]在對螺栓結(jié)合部分析中用4個彈簧的剛度值等效每個螺栓建立螺栓結(jié)合部模型；文獻[11]利用具有不同剛度的兩個非線性彈簧分別表示，對螺栓承受拉伸和壓縮時的結(jié)合部特性建立分析模型；文獻[12]利用彈簧-阻尼動力學(xué)單元建立結(jié)合面剛度-阻尼模型并進行了動力學(xué)分析。這些方法理論上比較完善，但其彈簧剛度計算方法復(fù)雜，尤其是多螺栓作用時彈簧參數(shù)難以準確測定，使得在建模中難以實現(xiàn)。

本文基于結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)等效出相應(yīng)的虛擬材料來描述螺栓結(jié)合部的不同結(jié)合表面的特性，將等效材料的彈性常數(shù)解析解嵌入有限元解析過程，獲得含有結(jié)合部的解析模型，得到比較準確的構(gòu)件變形。結(jié)合試驗結(jié)果將構(gòu)件變形從測量值中分離出來，獲得結(jié)合部變形，并與理論計算進行對比驗證。

1 單螺栓結(jié)合部解析模型

為解析方便，假設(shè)螺栓結(jié)合部的結(jié)合狀態(tài)是簡單結(jié)合狀態(tài)，即各構(gòu)件在結(jié)合部處受力發(fā)生變形后，結(jié)合面仍保持原有的平面或曲面形狀。

如圖1所示，螺栓結(jié)合部的結(jié)合面包括兩構(gòu)件之間的平面結(jié)合面B，螺栓頭與構(gòu)件1之間的較小的平面結(jié)合面C，還包括構(gòu)件2與螺栓的螺紋之間的螺紋結(jié)合面A。螺栓結(jié)合部單元的坐標系∑O?原點在平面結(jié)合面B上，X?2方向為結(jié)合面B的法向，X?1、X?3分別為結(jié)合面B的切向，X?1、X?2、X?3表示結(jié)合部的線位移方向，X?4、X?5、X?6表示結(jié)合部的角位移方向。

圖1 螺栓結(jié)合部坐標系Fig.1 Coordinate system of bolt joint

螺栓結(jié)合部受載后，外載荷力和力矩列陣

F=[F?1F?2F?3F?4F?5F?6]T

式中，F(xiàn)?1、F?2、F?3為沿坐標系的X?1、X?2、X?3方向承受的力；F?4、F?5、F?6為沿坐標系的X?1、X?2、X?3方向承受的力矩。

結(jié)合部反力和反力矩列陣

FJ=[F?J1F?J2F?J3F?J4F?J5F?J6]T

設(shè)p?1、p?2、p?3為沿坐標系X?1、X?2、X?3方向結(jié)合部單位面積上的反力，則有

(1)

(2)

式中，α?n、β?n為結(jié)合面法向基礎(chǔ)特性參數(shù);α?τ、β?τ為結(jié)合面切向基礎(chǔ)特性參數(shù);λ?2為結(jié)合面法向變形;λ?1、λ?3為結(jié)合面切向變形;φ?λ?2為方向判別函數(shù)。

螺栓結(jié)合部力平衡方程為

F+FJ=0

(3)

那么：

(4)

式中，ΔP?i?為外載荷引起的螺栓連接力的變化量;P?i?為第i?個螺栓所受的預(yù)緊力;A?i?為第i?個螺栓的截面積;l?為螺栓的連接長度;E?為材料的彈性模量;a?為考慮螺紋接觸面變形影響系數(shù);X?1i?、X?3i?為第i?個螺栓在結(jié)合面中的坐標值。

設(shè)螺栓結(jié)合部承受外載荷后產(chǎn)生的相對位移

U=[U?1U?2U?3U?4U?5U?6]T

在螺栓承受外載荷后將外載荷向坐標原點O?等效。根據(jù)螺栓結(jié)合部受力后是簡單結(jié)合狀態(tài)的假設(shè)，在結(jié)合面中任意接觸點(X?1,X?2,X?3)處，結(jié)合部單元的接觸變形為

λ=[λ?1λ?2λ?3]T

(5)

λ?1=-U?1-X?3U?5

λ?2=λ?p2-U?2-X?1U?6+X?3U?4

λ?3=-U?3+X?1U?5

式中，λ?p2為沿X?2的法向預(yù)變形。

結(jié)合部在受到各向載荷同時作用時，不僅某一單向載荷與變形之間成非線性關(guān)系，各載荷之間也成非線性耦合關(guān)系，由式(1)～式(5)知F是U的函數(shù)，但數(shù)學(xué)模型中含有6個未知量，且為非線性隱含積分方程組，無法直接求導(dǎo)。采用弦截法求解可以避免求高階導(dǎo)數(shù)，減少計算量，收斂速度也較快，但弦截法判斷曲線的凹向條件要計算二階導(dǎo)數(shù)。為了對螺栓結(jié)合面位移進行精確計算，采用改進變量輪換弦截法編程求解，將所求的多個變量賦予初值后，采用不斷替換區(qū)間端點的方法來改進求取變量值，對求解模型中每個方程輪換進行驗算，直至每個方程都滿足給定精度才輸出所求變量值，迭代求解位移流程見圖2。

圖2 迭代求解位移流程圖Fig.2 The flowchart for solving the displacement

2 螺栓結(jié)合部單元有限元分析

建立分析模型，用有限元分析軟件分析結(jié)合部變形，需設(shè)定構(gòu)件材料的彈性模量、泊松比等參數(shù)，這些材料常數(shù)能夠反映構(gòu)件的力學(xué)性質(zhì)，但不能直接反映構(gòu)件在結(jié)合部處的力學(xué)性質(zhì)，很難在構(gòu)件中直接表示螺栓結(jié)合部的非線性性質(zhì)，使得螺栓結(jié)合面的有限元建模精度較低、誤差較大，影響分析結(jié)果的準確性。螺栓結(jié)合部由多個結(jié)合面組成，文獻[6]的研究結(jié)果表明，在有限元建模中不需要某些細節(jié)特征(如螺紋)相互作用進行建模來保證結(jié)果的有用性，因此在以下的建模中只考慮平面結(jié)合面，暫不考慮螺紋結(jié)合面的影響。

如圖3所示，建模時將含有結(jié)合部的模型在平面結(jié)合面B處通過增加一個等效虛擬材料層構(gòu)件表示結(jié)合部特性，通過設(shè)置虛擬材料層構(gòu)件的彈性模量、泊松比和密度來模擬結(jié)合部力學(xué)特征，并進行迭代計算獲得預(yù)緊狀態(tài)下構(gòu)件的變形。

(a)結(jié)合部結(jié)構(gòu) (b)含有等效虛擬材料層模型圖3 模型的建立Fig.3 Model establishment

2.1 等效虛擬材料層參數(shù)的獲取

2.1.1等效虛擬材料層的材料參數(shù)

結(jié)合部的特性影響因素多、且為非線性，與構(gòu)件結(jié)構(gòu)無關(guān)的結(jié)合面固有特性因素包括結(jié)合面的材質(zhì)、加工方法、表面粗糙度、紋理、結(jié)合面間的介質(zhì)等[13]。結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)是針對結(jié)合面固有特性各因素基于實際結(jié)合狀態(tài)獲取的數(shù)據(jù)，能夠反映結(jié)合面實際條件的影響，本文根據(jù)結(jié)合面基礎(chǔ)特性，給出等效虛擬材料層的材料參數(shù)來描述螺栓結(jié)合部結(jié)合表面的特性。

對于小面積接觸單元，假定法向面壓p?n均布且與法向剛度k?n成線性關(guān)系，當法向載荷P?n=p?nA?(A?為接觸面積)，結(jié)合面上由法向剛度k?n產(chǎn)生的法向虛功

(6)

式中，Δh?為變形量。

由材料應(yīng)變能相等的原則,把離散的單元折合為連續(xù)的等效虛擬材料彈性體后，得出折算單元內(nèi)的總的法向應(yīng)變能

(7)

式中，σ?z為作用在單元面內(nèi)的平均橫向應(yīng)力;h?為接觸面厚度。

由W?1=W?2得

E?=k?nh?

(8)

同理，可得到在切向剪切載荷P?τ作用下,折合后材料的切變模量

G?=k?τh?

(9)

(10)

對于螺栓結(jié)合部，單位面積上的剛度

(11)

k?τ=α?τλ?nβ?τ

(12)

式中，λ?n為結(jié)合面法向變形。

根據(jù)螺栓結(jié)合部所受的法向面壓p?n，由式(3)、式(11)、式(12) 可得首次求解時面單元的基礎(chǔ)特性剛度法向剛度k?n和切向剛度k?τ，代入式(8)、式(10)得到虛擬材料的法向彈性模量E?和泊松比ν?。

設(shè)ρ?1、ρ?2為兩零件材料的密度，h?1、h?2為兩零件微觀不平的表面層厚度，參考文獻[14]等的研究結(jié)果，等效虛擬材料的平均密度可為

(13)

2.1.2虛擬材料層的厚度

建立等效虛擬材料層構(gòu)件模型需設(shè)置與結(jié)合表面層結(jié)構(gòu)相近的厚度，經(jīng)過不同的機械加工方式，結(jié)合面表面組織結(jié)構(gòu)和幾何形貌凹凸不平，典型的金屬表面層結(jié)構(gòu)如圖4[15]所示。在金屬基體之上的輕、重變形層是材料加工強化層，變形層的厚度與金屬加工工藝過程有關(guān)，不同的金屬加工工藝和表面粗糙度會導(dǎo)致表面變形層的厚度不同。

圖4 金屬表層結(jié)構(gòu)Fig.4 The structure of metal surface layer

為獲得材料表面變形層厚度，文獻[16]對材料表面進行了不同加工速度的磨削試驗，獲得表面變形層的厚度值。但機械結(jié)合面的加工方式多樣，本文對試件材料在車削、銑削、磨削3種不同加工方法下達到表面粗糙度Ra?=0.8 μm 的加工表面硬化層組織形貌做了對應(yīng)的材料學(xué)試驗。對不同加工方法的加工試樣顯微形貌分別進行顯微組織分析和硬度檢測，檢測分析結(jié)果如圖5所示，試驗結(jié)果表明，在距材料表面深度約為30～130 μm附近截面的硬度接近材料心部硬度，分析可得到材料表面變形層的厚度約為30～130 μm。

圖5 試件顯微硬度沿截面分布曲線Fig.5 The micro hardness distribution curve along the section

由圖4可知，結(jié)合表面層總厚度h?i?近似為

h?i?=0.000 3～0.003+0.01+0.02+1+

30～130=31.010 3～131.023 (μm)

(14)

等效虛擬材料層的厚度h?是結(jié)合部兩個接觸表面層厚度之和，當兩結(jié)合面材料相同且表面粗糙度均為Ra?=0.8 μm時，取分析模型厚度為結(jié)合表面層較厚值h?=2h?i?≈260 μm。

2.2 有限元模型的建立及迭代分析

以灰鑄鐵構(gòu)件試驗為基礎(chǔ)，建立了與預(yù)緊試驗裝置中相同尺寸條件的三維模型，模型中上下構(gòu)件間加入等效虛擬材料層構(gòu)件以表征結(jié)合部特性。將模型導(dǎo)入ANSYS進行分析，構(gòu)件材料參數(shù)按照與試驗條件相同設(shè)置，虛擬材料層的材料參數(shù)按2.1節(jié)計算結(jié)果設(shè)置，等效材料層與上下構(gòu)件間設(shè)置為綁定連接，劃分網(wǎng)格后施加與試驗情況相同的螺栓預(yù)緊載荷進行分析。

3 螺栓預(yù)緊載荷試驗與算例對比驗證

為驗證螺栓結(jié)合部數(shù)學(xué)模型的正確性，本文在對預(yù)緊狀態(tài)下的螺栓結(jié)合部進行解析計算獲取載荷位移曲線的同時，設(shè)計了試驗裝置進行試驗驗證。

圖6 迭代分析過程中的虛擬材料層模型Fig.6 Virtual material layer model in iterative analysis

螺栓結(jié)合部構(gòu)件間的連接包括用螺釘連接和螺栓螺母連接兩種方式，可統(tǒng)稱為螺栓連接。已有的螺栓結(jié)合部的試驗研究大多采用螺栓螺母的連接方式，且試驗中采用的上下構(gòu)件厚度相當，上下構(gòu)件為通孔，下構(gòu)件受力后的變形較大。在實際機床螺釘連接中，有通孔的被連接件厚度較小，帶有螺紋孔的被連接件一般厚度較大，工程實際中更多采用螺釘連接。例如：內(nèi)燃機缸蓋和機體之間及主軸承蓋和機體之間的高強度螺釘連接等。因此，本試驗采用工程常用的螺釘連接方式，螺釘與下構(gòu)件螺紋連接，下構(gòu)件厚度較大，其變形可以忽略不計。

試驗裝置如圖7所示，上下構(gòu)件結(jié)合表面經(jīng)磨削加工粗糙度均為0.8 μm，上構(gòu)件厚度H?1分別為18 mm，20 mm，22 mm，下構(gòu)件厚度H?2為40 mm，使用專門加工用于施載的M12的粗牙螺紋螺釘將兩個構(gòu)件連接起來。在施載元件、力傳感器、結(jié)合面試件之間加載力傳遞的路線上，通過結(jié)構(gòu)設(shè)計以保證加載力的對中性，不產(chǎn)生附加力矩；試驗裝置的結(jié)構(gòu)中設(shè)計了軸承以避免加載時螺釘轉(zhuǎn)動對力傳感器的影響；力傳感器直接測得螺栓的預(yù)緊力，定位環(huán)及各零件之間的尺寸配合保證了加載過程中加載力的對中性；為了使上構(gòu)件受力面積與螺栓實際作用時表面的面積一致，在上構(gòu)件上方設(shè)計了模擬螺栓頭，使上構(gòu)件承載面尺寸與螺釘實際作用時的尺寸一致，相當于螺釘頭直接作用于上構(gòu)件。

(a)試驗裝置結(jié)構(gòu)

(b)試驗裝置實物圖7 預(yù)緊試驗裝置Fig.7 Pre-load test device

試驗過程中旋緊螺釘通過FUTEK單向力傳感器監(jiān)測控制預(yù)緊力的大小，分別施加預(yù)緊力0～12 kN，逐漸加載后逐漸卸載，位移傳感器檢測上下構(gòu)件間的相對位移值(包括上構(gòu)件變形和結(jié)合部變形)。由于測量結(jié)果的位移值很小，為保證測量精度，選用了6個米銥u05電渦流位移傳感器在φ65的直徑上均勻分布，試驗中通過各種措施盡可能減小傳感器信號波動，避免測量設(shè)備的讀數(shù)漂移；并且進行多次測量，將6個傳感器測得的結(jié)果中誤差較大的值去除，以保證測量值的準確性。

3.1 試驗結(jié)果比較分析

選取構(gòu)件材料為HT250的試驗結(jié)果進行分析，如圖8所示。對于不同厚度的上構(gòu)件，隨著預(yù)緊力的增大，測點的相對位移均逐漸增大，呈非線性變化；在施加載荷為0～5 kN時，結(jié)合面面壓小于2.5 MPa，屬低面壓區(qū)，上下構(gòu)件相對位移變化值明顯呈快速非線性變化；當預(yù)緊載荷在5～12 kN時，結(jié)合面面壓在2.5～6 MPa的中高面壓區(qū)，隨著載荷的增大，相對位移非線性變化減緩明顯；試驗值與計算值接近，但存在一定誤差。

試驗結(jié)果表明，預(yù)緊載荷-位移曲線呈非線性，這是因為結(jié)合部的接觸表面在機械加工過程中不可避免地產(chǎn)生形狀誤差、波紋度及粗糙度等，使得在受壓過程中實際接觸面積小于名義接觸面積，表面微觀凸起在接觸過程中的彈性、彈塑性變形等，均會導(dǎo)致接觸面壓力和接觸變形之間的非線性關(guān)系。由試驗結(jié)果結(jié)合材料學(xué)原理分析，在僅受法向預(yù)緊載荷情況下，面壓p?n在0～2.5 MPa時，接觸表面微小突起引起的變形占接觸表面層變形的比例最大，變形的非線性最強，構(gòu)件自身變形影響較??；當面壓p?n在2.5～6 MPa時，接觸面微小突起引起的變形比例下降，構(gòu)件的彈性變形影響比例增大，結(jié)合部變形的非線性減弱。

試驗結(jié)果還表明，試驗測得位移值與理論計算值之間存在偏差，上構(gòu)件越薄、載荷越大，上構(gòu)件受力后自身變形越大，引起位移值與計算值間的偏差越大。隨著上構(gòu)件厚度的增大，測得的上下構(gòu)件之間的位移值與理論計算得到的計算值更加接近。試驗構(gòu)件厚度不同引起的構(gòu)件本身的變形對試驗結(jié)果有較大的影響。這說明螺栓結(jié)合面的接觸變形與構(gòu)件變形存在耦合關(guān)系，測得的位移值是整體變形，包含了結(jié)合部變形與上構(gòu)件自身的變形，為獲得準確的結(jié)合面變形，需要將結(jié)合面變形從所測的整體變形中分離出來。

3.2 不同建模分析及結(jié)果比較

利用有限元軟件對預(yù)緊試驗進行模擬分析，對試件不考慮結(jié)合部影響和考慮結(jié)合部影響(包含虛擬材料層)分別建立分析模型，迭代計算結(jié)束后讀出上構(gòu)件在試驗測點處的變形值；從測量的整體變形量中減去有限元解析得到的試件變形量，獲得不同預(yù)緊載荷下的螺栓結(jié)合部變形。

以上試件材料為灰鑄鐵，厚度H?1=18 mm，預(yù)緊載荷從1 kN增加到12 kN的過程為例，表1所示為將試驗測得的整體變形量減去直接建模分析得到的上構(gòu)件變形量，所得的結(jié)合部變形量和計算量結(jié)果的比較；表2所示為將試驗測得整體變形減去考慮結(jié)合部影響含有虛擬材料層建模分析得到的上構(gòu)件變形量，所得的結(jié)合部變形和計算量結(jié)果比較。由表1、表2可知，整體變形量減去含有虛擬材料層的分析模型的上構(gòu)件變形量得到的結(jié)合部變形值更加接近理論計算值，誤差比直接建模明顯減小。

表1 直接建模分析

表2 考慮結(jié)合部建模分析

在對包含螺栓結(jié)合部的結(jié)構(gòu)進行分析的過程中，將上述試驗分析結(jié)果和計算結(jié)果對比，建模時基于基礎(chǔ)試驗獲取結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)的虛擬材料層來考慮結(jié)合部的影響，獲取的結(jié)果更接近螺栓結(jié)合部在受載情況下實際產(chǎn)生的彈塑性變形和塑性變形的非線性特性，證明了加入虛擬材料建模分析的方法可用于螺栓結(jié)合面特性分析。

4 結(jié)論

(1)本文以獲取的單位面積結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)為基礎(chǔ)，建立了螺栓結(jié)合部數(shù)學(xué)模型，并采用變量輪換弦截法求解得到預(yù)緊載荷作用下的結(jié)合部位移。

(2)給出了一種基于結(jié)合部基礎(chǔ)特性參數(shù)獲取結(jié)合部等效虛擬材料層材料參數(shù)的方法，建立了包含結(jié)合部特性的有限元分析模型，對承受預(yù)緊力狀態(tài)下的螺栓結(jié)合部進行了精確的分析，應(yīng)用分析結(jié)果將結(jié)合部變形從試驗結(jié)果的整體變形中分離出來，獲得了更精確的結(jié)合部變形。

(3)開發(fā)了一種獲取螺栓結(jié)合面單元在預(yù)緊載荷下結(jié)合面靜態(tài)特性的試驗裝置及試驗方法，并進行了不同厚度的構(gòu)件在預(yù)緊載荷下的試驗。試驗分析結(jié)果與計算一致，驗證了本文所建立的模型的正確性。