摘 要：以往求解井筒-油藏耦合的流動(dòng)問題時(shí)，需要將井筒與油藏互相作為邊界條件進(jìn)行分段迭代求解，但由于井筒內(nèi)的管流與油藏內(nèi)的滲流流動(dòng)形式不同，耦合計(jì)算存在困難。本文借鑒等效滲流法和多段井模型的思路和方法建立了分段網(wǎng)絡(luò)模型，把油藏和井筒內(nèi)的流體流動(dòng)過程抽象簡(jiǎn)化為分段上的流量和其兩端節(jié)點(diǎn)壓力的關(guān)系式，對(duì)整個(gè)耦合系統(tǒng)建立流動(dòng)方程并用牛頓迭代法數(shù)值求解。利用所建模型計(jì)算一個(gè)采油的實(shí)例，并將計(jì)算結(jié)果與CMG模擬結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證模型的可靠性。

關(guān)鍵詞：熱采水平井；井筒-油藏耦合；分段網(wǎng)絡(luò)模型；分段流動(dòng)；流動(dòng)分析

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.075

0 引言

水平井開采過程中，井筒管流和油藏滲流之間互相影響，互為邊界條件，需要將井筒和油藏耦合進(jìn)行考慮才能更為詳細(xì)和準(zhǔn)確地描述其生產(chǎn)動(dòng)態(tài)。而在求解井筒-油藏耦合問題的方法中，Stone等人[1]首先建立了一個(gè)用于模擬油藏多孔介質(zhì)滲流和井筒管流的全隱式方法，并將其井筒模型與Coats等人[2]的熱采油藏模擬器相結(jié)合。其后研究者在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了管內(nèi)流體的多相流動(dòng)和傳熱過程[3-6]。但是，由于井筒管流與油藏滲流的流動(dòng)方程形式不同，耦合區(qū)域的求解存在諸多困難。為此，Collins等人[7]提出將水平井筒處理為油藏第二“孔隙度”，吳淑紅等人[8，9]基于此建立了“等效滲流模型”，他們將井筒內(nèi)的管流等效視為多孔介質(zhì)中的滲流，這樣在數(shù)學(xué)模型上兩種流動(dòng)的流動(dòng)形式獲得了統(tǒng)一，且交界面連續(xù)條件容易滿足。他們并推導(dǎo)出了不同流態(tài)下井筒的等效滲透率表達(dá)式。

但是上述方法在計(jì)算的過程中，井筒模型都有一定程度的簡(jiǎn)化。為準(zhǔn)確模擬結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的井，Holmes等人[10]提出了多段井模型，該模型將井筒劃分為若干多段，每段的節(jié)點(diǎn)和管作為獨(dú)立的項(xiàng)處理，形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，每個(gè)井段上有壓力、體積內(nèi)能等變量，也允許有不同的流體。其后研究者在此基礎(chǔ)上，將該模型應(yīng)用于熱模擬[11，12]和水力壓裂[13，14]等情形。

本文借鑒等效滲流法的思想和多段井模型的方法，建立了分段網(wǎng)絡(luò)模型，并針對(duì)采油中的流體流動(dòng)過程進(jìn)行了研究。模型將井筒管流和油藏滲流過程都表示為分段流量和分段兩端節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)壓力的關(guān)系式，這樣兩種形式的流動(dòng)都統(tǒng)一為分段流動(dòng)，然后對(duì)整個(gè)系統(tǒng)列流動(dòng)方程組，利用牛頓迭代進(jìn)行法數(shù)值求解。

1 分段網(wǎng)絡(luò)模型

在分段網(wǎng)絡(luò)模型中，油藏與井筒均被抽象簡(jiǎn)化為若干分段與節(jié)點(diǎn)的組合，如圖1所示。其中，分段代表流體的流動(dòng)路徑，分段之間通過節(jié)點(diǎn)相連。

1.1 分段網(wǎng)絡(luò)模型元素和其屬性

分段網(wǎng)絡(luò)模型包括分段和節(jié)點(diǎn)兩類基本元素，流動(dòng)過程中的變量分別定義其上。其中，分段上定義有分段流量、分段流速、分段壓降、分段摩阻等變量，而分段流速、分段壓降等是有方向性的，他們的方向根據(jù)事先設(shè)定的分段方向而定，并不一定與分段中流體的流向相同，當(dāng)這些變量的值為負(fù)時(shí)，表明它們的方向與分段的設(shè)定方向相反。節(jié)點(diǎn)上定義的變量有節(jié)點(diǎn)壓力、節(jié)點(diǎn)流量等，其中節(jié)點(diǎn)流量也具有方向性，其方向約定以流出節(jié)點(diǎn)為正，流入節(jié)點(diǎn)為負(fù)。

分段網(wǎng)絡(luò)模型中的分段和節(jié)點(diǎn)自身亦有一定的屬性。其中，分段的屬性包括分段長(zhǎng)度、分段直徑（非圓管時(shí)采用當(dāng)量直徑）、分段橫截面積、分段粗糙系數(shù)（管流屬性時(shí)表示管道粗糙程度，與管道材料有關(guān)），分段方向（并非流向）、起端節(jié)點(diǎn)、終端節(jié)點(diǎn)等；節(jié)點(diǎn)的屬性包括節(jié)點(diǎn)位置、節(jié)點(diǎn)與分段之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系等。

1.2 分段網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)學(xué)描述

我們?nèi)》侄尉W(wǎng)絡(luò)中的某一節(jié)點(diǎn)（i，j）及其周圍的節(jié)點(diǎn)，以及這些節(jié)點(diǎn)之間的分段，分析井筒-油藏耦合中的流體流動(dòng)，如圖2所示，這里我們以節(jié)點(diǎn)壓力和節(jié)點(diǎn)流量作為變量。求解思路為：首先以節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，根據(jù)質(zhì)量守恒方程，將節(jié)點(diǎn)處的流量表示為與之相聯(lián)之分段的分段流量的關(guān)系式；然后以分段為研究對(duì)象，根據(jù)壓力損失公式將分段流量表示為分段壓降的函數(shù)，又由于分段壓降是分段兩端節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)壓力的函數(shù)，于是可以得到由節(jié)點(diǎn)壓力表示節(jié)點(diǎn)流量的方程組。

模型的具體數(shù)學(xué)推導(dǎo)及描述如下：

1.2.1 節(jié)點(diǎn)流量方程

首先以某一節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，參考圖2，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流入節(jié)點(diǎn)的所有流量之和應(yīng)等于流出節(jié)點(diǎn)的所有流量之和。而在分段網(wǎng)絡(luò)模型中，所有節(jié)點(diǎn)都與一條或多條分段相關(guān)聯(lián)，流入或流出節(jié)點(diǎn)的流量即是分段上的流量。于是，對(duì)于分段網(wǎng)絡(luò)模型中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)n有：

式中第一項(xiàng)為流入或流出節(jié)點(diǎn)的流量之和，其中，Sn為節(jié)點(diǎn)n的關(guān)聯(lián)集，其元素包括所有與節(jié)點(diǎn)n相關(guān)聯(lián)的分段；qm為Sn中某個(gè)分段的流量，m3/s；N為分段網(wǎng)絡(luò)模型中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；式中±的取值，以流出節(jié)點(diǎn)為正，流入節(jié)點(diǎn)為負(fù)。第二項(xiàng)Qn為節(jié)點(diǎn)n處的源項(xiàng)，m3/s。

上式即為節(jié)點(diǎn)的流量方程，可知節(jié)點(diǎn)流量是分段流量的函數(shù)。

1.2.2 分段流量-壓降關(guān)系式

然后以分段為研究對(duì)象。根據(jù)分段內(nèi)流體流動(dòng)的沿程壓力損失公式，壓降為流量的函數(shù)，變換后將分段流量表示為分段壓降的函數(shù)，即：

（2）

此即為分段的流量-壓降關(guān)系式，其中，q即為分段流量，m3/s；Δp即為分段壓降，Pa。

對(duì)于不同類型的分段——管流、節(jié)流或滲流，由于流動(dòng)形式不同，他們的流量與壓降的關(guān)系式各不相同。管流段的流量-壓降關(guān)系為，節(jié)流段的流量-壓降關(guān)系，滲流段的流量-壓降關(guān)系式為或。上述各式中，ρ為流體密度，kg/m3；D為管柱的（當(dāng)量）直徑，m；λ為管的摩阻系數(shù)，無量綱。sign為符號(hào)函數(shù)，用于判斷壓降Δp值的正負(fù)，若Δp為正，則sign函數(shù)返回值1，否則返回-1。Cd為流量系數(shù)，無因次；A為分段橫截面積，m2。k為地層滲透系數(shù)，m2；μ為流體粘度，Pa·s。

1.2.3 分段的壓降方程

在分段網(wǎng)絡(luò)模型中，分段兩端為節(jié)點(diǎn)，分段的壓降等于分段兩端之節(jié)點(diǎn)的壓力之差，于是，對(duì)某一分段i，其壓降可以表示為：

1.3 模型數(shù)值求解方法

從上述模型推導(dǎo)過程中我們可以看到，由于管流、節(jié)流的流量-壓降關(guān)系是非線性的，于是所得到的節(jié)點(diǎn)流量-壓力方程組也是非線性的，需要利用牛頓-拉夫遜算法來數(shù)值求解上述非線性方程。

其中，下標(biāo)n、s、w、e分別表示節(jié)點(diǎn)（i ， j）的上方、下方、左側(cè)和右側(cè)，方位參考圖3。同樣，式對(duì)于不同的節(jié)點(diǎn)，形式也有不同，可相應(yīng)變換得到。

于是，對(duì)分段網(wǎng)絡(luò)模型的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)與該節(jié)點(diǎn)相連的不同分段和節(jié)點(diǎn)，可按照式列出雅克比矩陣中對(duì)應(yīng)位置上的偏導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求解方程，得到井筒和油藏中各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的壓力和各個(gè)分段的流量，亦即獲得了井筒-油藏耦合體系中的壓力、流量分布。

1.4 邊界條件

根據(jù)數(shù)學(xué)理論，方程組可解的充分條件是方程的數(shù)量與未知量的數(shù)量相等。在上述的分段網(wǎng)絡(luò)模型中，分段上的未知變量?jī)H有分段流量，節(jié)點(diǎn)上的未知變量有節(jié)點(diǎn)壓力和節(jié)點(diǎn)流量。這里，我們?cè)O(shè)x方向和y方向的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為Nx和Ny。于是，（Nx-1）*（Ny-1）個(gè)分段上的未知流量可由相同數(shù)量的分段方程求得；而Nx*Ny個(gè)節(jié)點(diǎn)未知壓力和Nx*Ny個(gè)節(jié)點(diǎn)未知流量共2Nx*Ny個(gè)變量卻不能同時(shí)由Nx*Ny個(gè)節(jié)點(diǎn)方程求出。不過，若已知節(jié)點(diǎn)壓力則可求得節(jié)點(diǎn)流量，反之亦然。同時(shí)，作為方程組可解的必要條件，分段網(wǎng)絡(luò)中需要至少有一個(gè)定壓節(jié)點(diǎn)。

2 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所建的數(shù)值模型，將模型計(jì)算結(jié)果與CMG數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比?？紤]一面積為390m×200m的儲(chǔ)層的采油過程，計(jì)算模型的尺寸如圖3所示，有效厚度為15m，孔隙度0.3，滲透率1000mD，地層原始?jí)毫?.88MPa，油藏條件下油的密度和粘度分別為800kg/m3和5cP，水的密度和粘度分別為1000kg/m3和1cP。其中，水平井長(zhǎng)度為150m，位于儲(chǔ)層中部，距地面1007.6m，套管管柱內(nèi)徑157mm；完井方式為射孔完井，為簡(jiǎn)化問題，每隔10m設(shè)置一個(gè)直徑為12.5mm的孔眼。采油量為200m3/d，開采時(shí)間10天。

模型離散示意圖如圖3所示，其中，平行于井軸向定義為I向，垂直于井軸向定義為J向。于是，整個(gè)模型在兩個(gè)方向上分別離散為39和20個(gè)分段，位于儲(chǔ)層中部的井離散為15個(gè)分段，井分段之間的節(jié)點(diǎn)與射孔孔眼相對(duì)應(yīng)，儲(chǔ)層四周假設(shè)為定壓邊界條件。采油過程中，流體從各個(gè)孔眼沿程流入管柱，最后由跟端采出。計(jì)算結(jié)果對(duì)比如下各圖所示：

圖4所示為本文模型和CMG數(shù)值模擬所得到的壓力沿井及其延長(zhǎng)線的分布曲線對(duì)比，由圖可知，采油過程中井附近區(qū)域的壓力比儲(chǔ)層內(nèi)的壓力低，這一壓差可將油驅(qū)入采油井中，且由圖可看出，兩種計(jì)算結(jié)果的誤差很小，具有良好的一致性。

圖5所示為近井儲(chǔ)層內(nèi)壓力沿I向的分布曲線，其趨勢(shì)與圖4中的類似，儲(chǔ)層壓力也由于井內(nèi)低壓而降低。且由圖可知，兩種方法所得到的儲(chǔ)層內(nèi)壓力分布雖有差別，但其誤差在可允許范圍內(nèi)。圖6為與井筒處于相同I坐標(biāo)部分的對(duì)比，由圖可知該部分壓力的分布趨勢(shì)是一致的。

圖7所示為本文模型和CMG數(shù)值模擬所得到的近井儲(chǔ)層內(nèi)J向流量沿I向的分布對(duì)比。圖8為與井筒處于相同I坐標(biāo)部分的對(duì)比，由圖可知，該部分流量分布趨勢(shì)是類似的，在井的跟端和趾端，采油量明顯比井中部分高，呈U型分布。這是因?yàn)楦撕椭憾烁浇挠蛯臃秶戎虚g部分要大。

圖9所示為本文模型和CMG數(shù)值模擬所得到的近井儲(chǔ)層內(nèi)I向流量沿I向的分布對(duì)比。圖10為與井筒處于相同I坐標(biāo)部分的對(duì)比。由圖可知，兩種方法所得的流量結(jié)果分布趨勢(shì)是類似的，且在與井筒處于相同I坐標(biāo)的部分，兩種方法計(jì)算的結(jié)果誤差在允許范圍內(nèi)。

3 結(jié)論

（1）建立了計(jì)算井筒油藏耦合流動(dòng)問題的分段網(wǎng)絡(luò)模型，該模型將井筒和油藏內(nèi)的流動(dòng)都等效為分段上的流動(dòng)，推導(dǎo)出分段上的流量和分段兩端節(jié)點(diǎn)上的壓力之間的關(guān)系，從而得到整個(gè)系統(tǒng)的分段流量-節(jié)點(diǎn)壓力關(guān)系式，利用牛頓發(fā)迭代法求解。

（2）與成熟的油藏?cái)?shù)模軟件CMG的實(shí)例計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明，本文所建立的分段網(wǎng)絡(luò)模型在計(jì)算井筒-油藏耦合問題時(shí)，具有一定的可靠性。

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（下轉(zhuǎn)第97頁(yè)）

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作者簡(jiǎn)介：任星宇（1993-），男，山西文水人，碩士研究生，從事地下油氣田開發(fā)與稠油熱采等方面工作。