摘 要：針對冗余約束繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)繩索張力多解的問題，考慮繩索張力的上下限，基于牛頓歐拉方程和凸優(yōu)化理論建立繩索張力優(yōu)化分配的模型，利用非迭代的算法確定繩索張力解。并給出數(shù)值仿真案例，對比本文算法和傳統(tǒng)優(yōu)化算法的實(shí)時性。為繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)時力控制奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)；冗余約束；力分配；實(shí)時性

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.004

0 引言

繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)CDPR（Cable-Driven Parallel Robot），其繩索數(shù)量為c，動平臺的自由度數(shù)目為d。鑒于當(dāng)c>d+1時，機(jī)構(gòu)動平臺工作空間范圍較大以及對于避免奇異位姿點(diǎn)出現(xiàn)的巨大作用[1]，本文的CDPR類型為冗余約束機(jī)構(gòu)（c>d+1），其動力學(xué)逆解為多解。為保證在控制周期內(nèi)實(shí)時計(jì)算出張力解，必須研究冗余約束CDPR繩索張力解的實(shí)時性。

鄭亞青[2]以及Hassan[3]將繩張力優(yōu)化轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。Borgstrom[4]通過引入松弛變量的方法采用線性規(guī)劃方法來計(jì)算繩索張力。Kraus[5]利用二次規(guī)劃分配繩索張力解。Mikelsons[6]提出了一種非迭代的繩索張力求解算法，通過求解優(yōu)化變量所在凸多面體的中心來求解張力。蘇宇[7]針對完全約束機(jī)構(gòu)（c=d+1），基于單變量的多項(xiàng)式極值求解方法提出了一種非迭代算法來計(jì)算繩索張力，但未考慮冗余約束CDPR。

因此本文將對冗余約束CDPR機(jī)構(gòu)繩索張力解的實(shí)時性進(jìn)行分析研究，其中c=8，d=6。

1 繩索張力優(yōu)化分配模型

冗余CDPR的示意圖如圖1，假設(shè)繩索質(zhì)量非常小，故其重力暫且忽略不計(jì)，繩索的數(shù)學(xué)模型為直線模型，冗余CDPR的動力學(xué)模型可寫作如下矩陣形式[8]：

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)分別為繩索拉力向量的1范數(shù)和2范數(shù)時，（3）的優(yōu)化模型可以變?yōu)榫€性規(guī)劃和二次規(guī)劃問題；繩索拉力向量的p范數(shù)為凸函數(shù)，約束為凸集，故可以采用凸優(yōu)化模型求解。線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和凸優(yōu)化均需要不斷迭代尋優(yōu)，這些迭代算法的實(shí)時性較差。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為繩索拉力向量的1范數(shù)時，最優(yōu)解落在中的某個頂點(diǎn)，所以當(dāng)確定的所有頂點(diǎn)后，再遍歷比較所有頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值的優(yōu)劣即可確定最優(yōu)解，相對于迭代算法，無需迭代，提高張力解算的實(shí)時性。

2 凸多邊形快速確定方法

（圖2中的紅色區(qū)域）中頂點(diǎn)的完全確定只需要求到所有頂點(diǎn)坐標(biāo)即可。傳統(tǒng)遍歷算法先確定式（3）所對應(yīng)的2c條約束直線的所有的交點(diǎn)，再從交點(diǎn)中搜尋頂點(diǎn)；兩個步驟需要求解112（4）個交點(diǎn)，并對每個交點(diǎn)進(jìn)行逐一判斷?？焖偾蠼馑许旤c(diǎn)的思路源自Marc的研究[9]，具體算法做一些變動，算法流程如下：

Step1：先對2c條約束直線進(jìn)行1到16的編號，再隨機(jī)選擇能產(chǎn)生交點(diǎn)的約束直線m，n，記其交點(diǎn)為V0；

Step2：然后在直線n上尋找滿足直線m約束的下一個距離V0最短的交點(diǎn)V1（直線n，的交點(diǎn)），圖示中=f，儲存得到的直線序號組m n ；

Step3：判斷n、是否與之前的某一組直線序號中的m、n分別相同，是的話輸出所有可行的頂點(diǎn)，結(jié)束程序。否的話，m=n，n=qi回到第二步。

表1為確定所有頂點(diǎn)時，兩種不同方法的時效性數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于下文第4節(jié)的數(shù)值仿真。采用快速算法可以減少55.65%的計(jì)算時間，這將大幅度提高最終繩索張力優(yōu)化解的實(shí)時性。

3 實(shí)時性評價指標(biāo)

假設(shè)為規(guī)劃軌跡上張力求解的最大計(jì)算時間；為所有離散位姿點(diǎn)繩索張力的平均計(jì)算時間。如果小于控制周期，即可認(rèn)為張力分配方案滿足實(shí)時性要求；且相同的情況下，的數(shù)值越小，實(shí)時性能越好。

4 案例數(shù)值仿真

機(jī)構(gòu)布置如圖3，最外層長方體代表機(jī)架，長寬高均為4m，靜坐標(biāo)系位于其下底面；中間小長方體表示動平臺，長寬高分別為1.2m，0.8m，0.4m，動坐標(biāo)系原點(diǎn)位于其幾何中心；藍(lán)色直線表示8根牽引繩索。每根繩索的張力上下限分別為2000N 10N。

在MATLAB軟件中仿真。姿態(tài)角始終為，規(guī)劃的位置軌跡如圖4，其表達(dá)式見式（4），參數(shù)分別為0.8m，2rad/s，0.1m/s；動平臺質(zhì)量m為20kg，時間t從0到10s，步長為0.001s。

基于繩索張力1范數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化張力解，張力解曲線見圖5，總有兩根繩索的張力位于張力下極限處。為了使繩索張力解遠(yuǎn)離張力下極限，以的重心作為優(yōu)化點(diǎn)，張力解曲線見圖6。

采用線性規(guī)劃以及凸規(guī)劃2類迭代方式的時效性見表2。本文非迭代方法的時效見表3。

表2表3說明了本文非迭代算法在實(shí)時性方面的巨大優(yōu)勢，比直接用MATLAB內(nèi)部函數(shù)lingprog進(jìn)行線性規(guī)劃快了4倍左右。

軌跡上重心分配張力解的時效性曲線見圖7，=0.95ms。

5 總結(jié)

在MATLAB軟件下，針對冗余CDPR繩索張力分配模型，文章所采用的非迭代算法相對線性規(guī)劃、凸優(yōu)化等迭代算法，在張力解算時效性上至少縮小為原來的1/4，其關(guān)鍵步驟在于快速確定二維優(yōu)化變量凸集的所有頂點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Verhoeven R.Analysis of the workspace of tendon-based Stewart platforms[D].Duisburg： Ph D.Dissertation of University of Duisburg-Essen，2004.

[2]鄭亞青.繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)若干關(guān)鍵理論問題及其在風(fēng)洞支撐系統(tǒng)中的應(yīng)用研究[D].泉州：華僑大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.

[3]Hassan M， Khajepour A.Optimization of Actuator Forces in Cable-Based Parallel Manipulators Using Convex Analysis[J]. IEEE Transactions on Robotics，2008，24（03）：736-740.

[4]Borgstrom P H，Jordan B L，Sukhatme G S，et al.Rapid computation of optimally safe tension distributions for parallel cable-driven robots[J].IEEE Transactions on Robotics，2009，25（06）：1271-1281.

[5]Kraus W，Spiller A，Pott A.Energy efficiency of cable-driven parallel robots[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE，2016.

[6]Mikelsons L，Bruckmann T，Hiller M，et al.A real-time capable force calculation algorithm for redundant tendon-based parallel manipulators[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE，2008：3869-3874.

[7]蘇宇.繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的力學(xué)分析與性能優(yōu)化[D].西安電子科技大學(xué)，2014.

[8]劉欣，仇原鷹，盛英.繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度解析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47（13）：35-43.

[9]Gouttefarde M，Lamaury J，Reichert C，et al.A Versatile Tension Distribution Algorithm for n -DOF Parallel Robots Driven by n+2 Cables[J].IEEE Transactions on Robotics，2015， 31（06）：1444-1457.

作者簡介：李家旺（1992-），男，湖北孝感人，碩士研究生，主要研究方向：繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)。