☉浙江省臨海市大田中學(xué) 葉偉飛

以圓錐曲線為背景的定點(diǎn)問題在近幾年的高考命題中經(jīng)常出現(xiàn)，此類問題對(duì)考生分析問題和計(jì)算處理問題的能力要求較高.本文以橢圓背景下的一道定點(diǎn)問題為引例，從問題的多種解法、多種變式及結(jié)論等幾個(gè)視角進(jìn)行探究.

引例已知橢圓的離心率等于，經(jīng)過其左焦點(diǎn)F（-1，0）且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

第（1）問橢圓C的方程為過程略），下面對(duì)第（2）問進(jìn)行探究.

一、問題分析

思路1：若存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離相等，即點(diǎn)F到∠MQN的兩邊的距離相等，則QF為∠MQN的角平分線，∠MQF=∠NQF，即直線QM與QN的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而找到解題的切入點(diǎn).

思路2：如圖1所示，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，若滿足條件的點(diǎn)Q存在，則點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N′即為直線QM與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)P，即Q，P，M三點(diǎn)共線.

圖1

二、問題解答

針對(duì)上面兩種思路，得到如下兩種解法.

解法1：當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為

設(shè)Q（t，0）.由點(diǎn)M，N在x軸異側(cè)，則問題等價(jià)于“QF平分∠MQN”，且x1≠t，x2≠t，又等價(jià)于

將y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）代入上式，整理得2x1x2+

將根與系數(shù)的關(guān)系代入上式，整理得t+2=0，即t=-2，所以Q（-2，0）.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，存在Q（-2，0）也使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離相等.

故在x軸上存在定點(diǎn)Q（-2，0），使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離總相等.

解法2：設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q存在，設(shè)Q（t，0），M（x1，y1），N（x2，y2），點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N′（x2，-y2），則共線.

設(shè)直線MN：x=my-1（m≠0），

則x1=my1-1，x2=my2-1，代入上式得

將直線MN與橢圓方程聯(lián)立得：消元得（m2+2）y2-2my-1=0.

所以t=-2，Q（-2，0）.

當(dāng)m=0時(shí)，存在Q（-2，0）也使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離相等.

故在x軸上存在定點(diǎn)Q（-2，0）滿足題意.

三、結(jié)論探究

由第（2）問的結(jié)論發(fā)現(xiàn)無論直線l怎么旋轉(zhuǎn)，交點(diǎn)M，N與定點(diǎn)Q始終滿足題意，那么點(diǎn)Q與橢圓有何關(guān)聯(lián)？細(xì)心的讀者可能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q為橢圓的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).基于此視角，下面對(duì)問題的一般結(jié)論進(jìn)行探究.

結(jié)論1：F為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)F到MA，MB的距離相等.

本結(jié)論的證明，除了利用引例所述的兩種方法外，還可以利用橢圓的第二定義.

證明：如圖2所示，由橢圓的第二定義知

由

則∠AMA′=∠BMB′.

所以∠OMA=∠OMB.

所以點(diǎn)F到MA，MB的距離相等.

類似地，我們還可以將該結(jié)論拓展到雙曲線和拋物線中.

結(jié)論2：F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)F到MA，MB的距離相等.證明略.

結(jié)論3：F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F的直線與C右支交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)F到MA，MB的距離相等.證明略.

四、變式探究

變式：已知橢圓的離心率等于，經(jīng)過其左焦點(diǎn)F（-1，0）且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）O為原點(diǎn)，點(diǎn)Q（-2，0），M，N是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線QM與QN的斜率互為相反數(shù)，判斷直線MN是否過x軸上某定點(diǎn).

解析：可設(shè)直線MN：y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立得消元得

將y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入上式得

所以m-k=0，即m=k.

所以直線MN過定點(diǎn)（-1，0）.

綜上所述，通過對(duì)一道題目的多種探究，讓我們不僅明白了問題的多種求解思路，而且清楚了命題的根源，拓寬了解題的思路，落實(shí)了解題能力的提升.W