☉山西省大同市第二中學(xué) 王 虹

結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從掌握基本運(yùn)算概念、強(qiáng)化運(yùn)算技巧意識(shí)、優(yōu)選運(yùn)算方法等角度出發(fā)，下面結(jié)合實(shí)例來(lái)加以闡述.

一、問(wèn)題的提出

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》一文中，對(duì)應(yīng)“課程基本理念”部分第一次創(chuàng)新性地提出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”高中階段，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，歸納總結(jié)出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)運(yùn)算，其包括的主要內(nèi)容有：“理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等”.

我們知道，數(shù)學(xué)運(yùn)算作為一條主要鏈條貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，是各個(gè)階段的學(xué)生必須具備的一項(xiàng)基本技能與基本素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一個(gè)主要鏈接點(diǎn)與粘合劑.數(shù)學(xué)運(yùn)算是按照數(shù)學(xué)的相關(guān)概念或定義、公式、法則、公理和相關(guān)程序等進(jìn)行的簡(jiǎn)單操作過(guò)程與邏輯推理過(guò)程，更是不同知識(shí)點(diǎn)間復(fù)雜煩瑣的化歸轉(zhuǎn)化與思維體現(xiàn)，借助數(shù)學(xué)運(yùn)算可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)，提升學(xué)生各方面的能力與素養(yǎng).

二、問(wèn)題的解決

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段和基本過(guò)程之一.借助數(shù)學(xué)運(yùn)算，不僅能夠有效地發(fā)展與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，有效解決一些相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，還能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、思維、素養(yǎng)等各方面的發(fā)展，進(jìn)而養(yǎng)成良好的程序化、系統(tǒng)化、數(shù)學(xué)化思考、分析、處理與解決問(wèn)題的習(xí)慣，養(yǎng)成正確的科學(xué)精神.

1.掌握基本運(yùn)算概念，作好基礎(chǔ)鋪墊

例1（2018年浙江卷18）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)

分析：（Ⅰ）由已知條件結(jié)合三角函數(shù)的定義求得sinα的值，然后利用誘導(dǎo)公式求解sin（α+π）的值即可；（Ⅱ）由已知條件結(jié)合三角函數(shù)的定義求得cosα的值，結(jié)合sin（α+β）的值并根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式確定cos（α+β）的值，再通過(guò)分類(lèi)討論利用兩角差的余弦公式代值計(jì)算即得答案.

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；，所以

點(diǎn)評(píng)：借助三角函數(shù)的定義，并結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換公式等，綜合來(lái)處理與解決有關(guān)的三角函數(shù)求值問(wèn)題.涉及三角函數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算往往融合“繁、長(zhǎng)、巧”于一體，正常的數(shù)學(xué)運(yùn)算往往會(huì)淹沒(méi)在“繁”或“長(zhǎng)”中，而根據(jù)題目條件充分把握好三角函數(shù)解題環(huán)節(jié)中所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，通過(guò)合理分析與巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)行有效化歸與調(diào)控，深入理解與掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算的原理，從而有效地提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的性、針對(duì)性及靈活性.

2.強(qiáng)化運(yùn)算技巧意識(shí)，分解運(yùn)算難度

例2（2018年江蘇卷11）若函數(shù)f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為_(kāi)_____.

分析：通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合參數(shù)a的不同情況分a≤0，a＞0進(jìn)行討論，確定在不同情況下函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)應(yīng)的最值，進(jìn)而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值的和的問(wèn)題.

解：由f（x）=2x3-ax2+1，可得f′（x）=6x2-2ax.

若a≤0，則f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（0）=1＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).

若a＞0，由f（′x）=0，解得x=0或，則當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，f（x） 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，f（′x）＞0，（fx）在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則知，解得a=3，此時(shí)（fx）=2x3-3x2+1.

f′（x）、f（x）在區(qū)間［-1，1］上的變化情況如下表：

x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 f′（x）+0—0 f（x）-4↗極大值1↘極小值0

從上表可知，在［-1，1］上，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（-1）=-4，所以f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為f（x）max+f（x）min=1-4=-3.

點(diǎn)評(píng)：在利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化，f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f（x）min=0，進(jìn)而得以確定參數(shù)a的值，并利用列表來(lái)確定給定區(qū)間上函數(shù)的最值，得以解決問(wèn)題.強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，經(jīng)?？梢杂行Х纸鈫?wèn)題步驟與運(yùn)算難度，轉(zhuǎn)化解題難點(diǎn)，進(jìn)而真正提升解題效率.

三、感悟與反思

我們知道，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)與提升是一個(gè)道路漫長(zhǎng)、循序漸進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程.學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的恰當(dāng)解決，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算與運(yùn)算技巧的運(yùn)用、比較、感悟，從而進(jìn)一步鞏固相關(guān)概念的理解與掌握，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律的掌握與提升，最終達(dá)到真正優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與邏輯思維能力的培養(yǎng)與提升是相通的、一脈相承的、休戚相關(guān)的.