朱佳平 林輝慶

(杭州市余杭高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311100)

1 高中物理非線性問(wèn)題

由于數(shù)學(xué)知識(shí)的限制,高中物理定量研究的問(wèn)題,一般是物理量不隨時(shí)間變化或隨時(shí)間均勻變化的情況.高中物理還涉及很多的非均勻問(wèn)題,在這些問(wèn)題中,物理量隨時(shí)間的變化不均勻,或者說(shuō),物理量的變化率不是常數(shù).

對(duì)于非均勻問(wèn)題,教科書一般只作定性介紹或直接給出結(jié)論.高中學(xué)生具有強(qiáng)烈的求知欲望,對(duì)于這些教科書中只作簡(jiǎn)略介紹的內(nèi)容,他們迫切希望進(jìn)一步了解其中的奧妙.例如,對(duì)于萬(wàn)有引力定律.

如何用高中學(xué)生能接受的方式研究非均勻問(wèn)題,以滿足學(xué)生的求知欲,是高中教學(xué)需要探討的問(wèn)題.

2 行星運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算

圖1 行星收到太陽(yáng)的引力

設(shè)行星在t=0時(shí)刻的位置為P0(x0,y0),速度為v0(vx0,vy0).在隨后的一段很短時(shí)間Δt內(nèi),行星的加速度可以看作不變,它在x軸和y軸的分量分別為

(1)

在Δt時(shí)間內(nèi),行星在x軸和y軸的平均速度分別為

(2)

在t1=Δt時(shí),行星運(yùn)動(dòng)到P1點(diǎn),坐標(biāo)為

(3)

在第2個(gè)Δt時(shí)間內(nèi),行星的加速度仍然看作不變,它在x軸和y軸的分量分別為

(4)

行星在x軸和y軸的平均速度分別為

(5)

在t2=2Δt時(shí),行星運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn),坐標(biāo)為

(6)

同理可以求出t3=3Δt、t4=4Δt……行星的位置坐標(biāo).用這些數(shù)據(jù)就能在坐標(biāo)平面上作出行星的運(yùn)動(dòng)軌跡.[1]

利用Excel的“插入散點(diǎn)圖”即可畫出行星運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2.可以看出此時(shí)行星的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,初始位置為近日點(diǎn).

保持x0=0.500,y0=0,vx0=0和Δt=0.1不變,只要改變初速度vy0的數(shù)值,就可得到行星的初速度小于和等于“第一宇宙速度”v1、等于和大于 “第二宇宙速度”v2時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡,它們分別是以初始位置為遠(yuǎn)日點(diǎn)的橢圓、圓、拋物線和雙曲線.

表1 行星不同時(shí)刻的位置坐標(biāo)

圖2 行星的橢圓軌道

3 微元數(shù)值計(jì)算法

上述計(jì)算行星運(yùn)動(dòng)軌跡的方法叫作微元數(shù)值計(jì)算法.

微元數(shù)值計(jì)算法的要點(diǎn)有兩個(gè):一是通過(guò)取微元“化變?yōu)楹恪?將一個(gè)隨時(shí)間t作非線性變化的過(guò)程分割為很多個(gè)微小的過(guò)程,這樣的微小過(guò)程叫作微元,微元的時(shí)間用Δt表示.在各個(gè)微元中,物理量可以看作均勻變化,即變化率可以看作恒定不變.二是數(shù)值計(jì)算.當(dāng)已知了過(guò)程在t0=0時(shí)各個(gè)物理量的數(shù)值,由物理規(guī)律算出這些物理量在t0=0時(shí)的變化率.然后選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈⒃的數(shù)值,由各物理量在t0=0時(shí)的變化率計(jì)算出它們?cè)趖1=Δt時(shí)的數(shù)值.由此又可以計(jì)算出它們?cè)趖1=Δt時(shí)的變化率和t2=2Δt時(shí)的數(shù)值……用這些數(shù)值就可以畫出各物理量隨時(shí)間的變化圖線或任兩個(gè)物理量之間的變化圖線.[2]

可以看出,微元數(shù)值計(jì)算法的本質(zhì)就是求積分,只是后者是Δt→0時(shí)的極限值,前者是近似值.由于我們?cè)趯W(xué)校學(xué)習(xí)中所接觸的物理問(wèn)題大多是能用解析式“精確”描述的,解析式對(duì)物理過(guò)程的描述是理想化的,是真實(shí)過(guò)程的近似.在微元數(shù)值計(jì)算法中,可以靠減小微元的數(shù)值或取平均值的方法來(lái)減小誤差,使結(jié)果的準(zhǔn)確度達(dá)到我們的要求.

4 可行性、必要性與教學(xué)效果

4.1 可行性

通過(guò)高一物理第1章中瞬時(shí)速度概念和第2章中勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移的學(xué)習(xí),學(xué)生初步掌握了微元方法和極限概念,這為學(xué)習(xí)微元數(shù)值計(jì)算法打好了基礎(chǔ).

在技術(shù)上,學(xué)生在初中就已經(jīng)掌握了Excel工作表的功能和用法,能用它處理數(shù)據(jù)和作圖,這是用微元數(shù)值計(jì)算法研究問(wèn)題的技術(shù)條件.

這樣,只要知道一個(gè)非均勻物理過(guò)程的變化規(guī)律,就能借助于Excel工作表或信息技術(shù)中其他數(shù)據(jù)處理工具,用微元數(shù)值計(jì)算法求出這個(gè)過(guò)程各個(gè)物理量的具體變化情況.

4.2 必要性

真實(shí)的過(guò)程總是復(fù)雜的,絕大多數(shù)不能用函數(shù)的解析式描述.對(duì)這些問(wèn)題的定量研究,都需要用微元數(shù)值計(jì)算法求得各個(gè)量在不同時(shí)刻的數(shù)值,描繪出它們隨時(shí)間變化的圖像.隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的提升,用微元數(shù)值計(jì)算法解決實(shí)際問(wèn)題的范圍隨之不斷擴(kuò)大,準(zhǔn)確度不斷提高.因此,微元數(shù)值計(jì)算法是實(shí)際生產(chǎn)和研究中常用的方法,高中學(xué)生有必要了解這種科學(xué)方法.

4.3 教學(xué)效果

用微元數(shù)值計(jì)算法求解復(fù)雜的非均勻問(wèn)題,能極大地滿足學(xué)生的求知欲,使他們深切地體驗(yàn)自然的奧秘和人類智力的偉大,從而增強(qiáng)探索自然奧秘的動(dòng)力.

信息化是當(dāng)今社會(huì)的主要特征之一.運(yùn)用信息技術(shù)解決復(fù)雜物理問(wèn)題的實(shí)踐,能有效培養(yǎng)學(xué)生在生活、生產(chǎn)和研究中主動(dòng)運(yùn)用信息技術(shù)工具的意識(shí)和能力.