葉文， 翟風(fēng)光， 蔡晨光， 李建利

(1. 中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院力學(xué)與聲學(xué)計(jì)量科學(xué)研究所, 北京 100013；2. 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院, 北京 100083)

旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation System,SINS)在不使用外部信息的前提下，利用轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)帶動(dòng)慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)以一定的旋轉(zhuǎn)方案轉(zhuǎn)動(dòng)，將陀螺和加速度計(jì)的常值誤差調(diào)制成周期性變化的形式，從而實(shí)現(xiàn)慣性器件誤差的自動(dòng)補(bǔ)償，提高系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間導(dǎo)航性能[1-4]。但是，旋轉(zhuǎn)調(diào)制無(wú)法抑制初始對(duì)準(zhǔn)誤差對(duì)導(dǎo)航精度的影響。而初始對(duì)準(zhǔn)是慣性導(dǎo)航的關(guān)鍵技術(shù)之一，其精度直接決定了系統(tǒng)導(dǎo)航精度[5]。因此，對(duì)旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)的研究顯得尤為重要。

現(xiàn)有旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)靜基座精對(duì)準(zhǔn)多采用傳統(tǒng)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的對(duì)準(zhǔn)方法，文獻(xiàn)[6-8]在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中利用卡爾曼濾波進(jìn)一步估計(jì)系統(tǒng)初始姿態(tài)，但未分析旋轉(zhuǎn)過(guò)程中系統(tǒng)各狀態(tài)量可觀測(cè)度變化；文獻(xiàn)[9-12]建立濾波模型后，分析了轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中各狀態(tài)量可觀測(cè)度變化，但是狀態(tài)模型仍采用靜基座精對(duì)準(zhǔn)模型，未分析旋轉(zhuǎn)過(guò)程陀螺和加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差是否可觀測(cè)。

旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)通過(guò)周期性旋轉(zhuǎn)改變了系統(tǒng)狀態(tài)變量的可觀測(cè)性[13-14]，而現(xiàn)有旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)準(zhǔn)模型多采用靜態(tài)10維對(duì)準(zhǔn)模型，未對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中陀螺和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差的可觀測(cè)性進(jìn)行分析，便將其從狀態(tài)變量中剔除，導(dǎo)致濾波模型不精確，進(jìn)而影響了姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)精度。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了一種基于狀態(tài)量擴(kuò)維的旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)精對(duì)準(zhǔn)方法。首先，建立28維精對(duì)準(zhǔn)模型；然后，通過(guò)可觀測(cè)度分析優(yōu)化精對(duì)準(zhǔn)模型；最后，通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 擴(kuò)維的精對(duì)準(zhǔn)模型

靜基座下載體的位置是已知的，不考慮載體位置變化，建立靜基座初始對(duì)準(zhǔn)的狀態(tài)方程為

(1)

式中：X為狀態(tài)向量；A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B為系統(tǒng)噪聲擾動(dòng)矩陣；W為零均值高斯白噪聲。

傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)調(diào)制精對(duì)準(zhǔn)模型中，狀態(tài)變量X為10維，包括水平速度誤差、失準(zhǔn)角誤差、水平加速度計(jì)常值零偏、三軸陀螺常值漂移，如下：

εxεyεz]T

(2)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和系統(tǒng)噪聲擾動(dòng)矩陣為

(3)

式中：

(4)

(5)

選取2個(gè)水平速度誤差δVE、δVN作為觀測(cè)量，靜基座下載體位置未發(fā)生變化，外觀測(cè)量為零。量測(cè)方程為

Z=HX+V

(6)

陀螺和加速度計(jì)的測(cè)量誤差是影響系統(tǒng)精度的主要因素，因此必須對(duì)其進(jìn)行精確建模。但傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)靜基座對(duì)準(zhǔn)模型為10維，陀螺和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差以及安裝誤差可通過(guò)標(biāo)定獲得，但是標(biāo)定補(bǔ)償后仍然會(huì)存留殘余誤差，因此10階系統(tǒng)誤差模型不能滿足導(dǎo)航系統(tǒng)的需求?；谏鲜鏊枷?，在傳統(tǒng)10維的對(duì)準(zhǔn)模型基礎(chǔ)上，將陀螺和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差和安裝誤差擴(kuò)展為狀態(tài)變量，建立旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的28維精對(duì)準(zhǔn)模型。

陀螺的誤差模型為

(7)

式中：δωgx、δωgy、δωgz為陀螺輸出誤差；ωx、ωy、ωz為陀螺輸入；δKgx、δKgy、δKgz為陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差；Egxy、Egxz、Egyx、Egyz、Egzx、Egzy為陀螺安裝誤差。

將式(7)表示成矩陣形式為

δωg=[δKg+Eg]ω+ε

(8)

式中：

加速度計(jì)的誤差模型為

(9)

式中：δfax、δfay、δfaz為加速度計(jì)輸出誤差；fx、fy、fz為加速度計(jì)輸入；δKax、δKay、δKaz為加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)誤差；Eaxy、Eaxz、Eayx、Eayz、Eazx、Eazy為加速度計(jì)安裝誤差。

將式(9)表示成矩陣形式為

(10)

式中：

擴(kuò)充后的系統(tǒng)狀態(tài)變量為

εzδKgxδKgyδKgzEgxyEgxzEgyxEgyz

EgzxEgzyδKaxδKayδKazEaxyEaxzEayx

EayzEazxEazy]T

(11)

A陣發(fā)生變化，如下：

(12)

(13)

(14)

系統(tǒng)量測(cè)量不變，量測(cè)矩陣H變?yōu)?/p>

(15)

在旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)28維的精對(duì)準(zhǔn)模型中，各狀態(tài)變量在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程并不是完全可觀測(cè)的，因此利用系統(tǒng)可觀測(cè)度分析理論對(duì)各狀態(tài)變量可觀測(cè)度進(jìn)行分析。

2 系統(tǒng)可觀測(cè)度分析

旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的航向角由于旋轉(zhuǎn)不斷發(fā)生變化，此時(shí)系統(tǒng)是時(shí)變的，因而可用分段線性定常系統(tǒng)(Piece-Wise Constant System，PWCS)來(lái)分析旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的可觀測(cè)性，判斷各狀態(tài)變量是否可觀測(cè)。

由于系統(tǒng)的可觀測(cè)性與激勵(lì)無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)化分析，只研究齊次系統(tǒng)的可觀測(cè)性。系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程離散化后對(duì)應(yīng)的齊次方程為

(16)

系統(tǒng)總體可觀測(cè)性矩陣(Total Observability Matrix，TOM)為

(17)

(18)

由文獻(xiàn)[15]可知，可用Qs(r)代替Q(r)進(jìn)行系統(tǒng)可觀測(cè)性分析。

PWCS只能定性分析狀態(tài)變量能否被觀測(cè)，無(wú)法確定某一狀態(tài)變量在不同時(shí)間段內(nèi)的可觀測(cè)程度。因此PWCS在可觀測(cè)性分析基礎(chǔ)上，進(jìn)行基于奇異值的系統(tǒng)可觀測(cè)度分析，求出奇異值大小，從而確定各狀態(tài)變量的可觀測(cè)度。下面利用奇異值分解對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)度進(jìn)行分析。

將矩陣Qs(r)進(jìn)行奇異值分解，可得

(19)

式中：U=[u1u2…um]；V=[v1v2…vm]；

由Z=Qs(r)X0可得

(20)

(21)

式中：Z為量測(cè)量；X0為系統(tǒng)初始狀態(tài)。

如果觀測(cè)量具有常值范數(shù)，那么初始狀態(tài)值可以形成一個(gè)橢球，其方程為

(22)

取αi=1/σi，則式(22)可表示為

(23)

式中：αi為橢球的主軸長(zhǎng)度?？芍娈愔翟酱螅羒越小，橢球體積越小，對(duì)初始狀態(tài)的估計(jì)程度越高。第i個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的可觀測(cè)度ηi可表示為

(24)

本文采用單軸方位連續(xù)旋轉(zhuǎn)調(diào)制系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)速為6(°)/s，航向角變化步長(zhǎng)為60°，分析其靜止時(shí)間段(0～10 s)和轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程(第一時(shí)間段：10～20 s;第二時(shí)間段：20～30 s)中各狀態(tài)變量可觀測(cè)性變化，其中的各狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)奇異值變化如表1所示。

由表1可知，靜止?fàn)顟B(tài)下陀螺和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差奇異值較小，可觀測(cè)度低，故傳統(tǒng)10維模型中不考慮陀螺和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，陀螺和加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差奇異值增大，可觀測(cè)度變大，尤其是陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差δKgx和安裝誤差Egxz、Egyz3個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的奇異值大小有了明顯改善，其中δKgx對(duì)應(yīng)的奇異值從靜止時(shí)間段的7.51×10-39提高到2.15×10-3，Egxz、Egyz對(duì)應(yīng)的奇異值從靜止時(shí)間段的6.45×10-34、1.44×10-31提高到第二時(shí)間段的2.70?？芍?，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中δKgx、Egxz、Egyz可估計(jì)程度得到了顯著提高。

表1 各狀態(tài)量對(duì)應(yīng)的奇異值變化Table 1 Singular value change of state variables

3 改進(jìn)的13維精對(duì)準(zhǔn)模型

由于不可觀測(cè)的狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)精度影響較小，因此根據(jù)系統(tǒng)各狀態(tài)變量可觀測(cè)度分析結(jié)果，去掉28位精對(duì)準(zhǔn)模型中不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，包括加速度計(jì)安裝誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差以及陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差中的δKgy、δKgz和安裝誤差中的Egxy、Egyx、Egzx、Egzy，保留陀螺的誤差項(xiàng)δKgx、Egxz、Egyz。此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)變量變?yōu)?3維，如下：

εyεzδKgxEgxzEgyz]T

(25)

此時(shí)矩陣A陣變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(26)

(27)

系統(tǒng)量測(cè)量保持不變，量測(cè)矩陣H發(fā)生變化，如下：

(28)

4 仿真試驗(yàn)

仿真條件設(shè)置如下：狀態(tài)變量X的初始值均為零，陀螺常值漂移為0.2(°)/h，隨機(jī)漂移為0.04(°)/h；加速度計(jì)常值零偏為100 μg，隨機(jī)零偏為25 μg；陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差為100 ppm(ppm為百萬(wàn)分之一，是慣導(dǎo)標(biāo)度因數(shù)的通用表示方法)，安裝誤差均為1×10-5(°)；速度測(cè)量誤差為0.01 m/s；初始姿態(tài)為零；初始失準(zhǔn)角φE、φN、φU分別為0.1°、0.1°、0.5°；地理緯度為40°，經(jīng)度為116°。協(xié)方差陣初始值P(0)、系統(tǒng)噪聲陣q、量測(cè)噪聲陣R初始值如下：P(0)=diag{(0.01 m/s)2,(0.01 m/s)2,(0.1°)2,(0.1°)2,(0.5°)2,(100 μg)2,(100 μg)2,(0.2(°)/h)2,(0.2(°)/h)2,(0.2(°)/h)2,(1×10-4)2,(1×10-5)2,(1×10-5)2},q=diag{(25 μg)2,(25 μg)2,(0.04(°)/h)2,(0.04(°)/h)2,(0.04(°)/h)2},R=diag{(0.01 m/s)2,(0.01 m/s)2}。

仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯?，本文方法提高了航向角的收斂速度。統(tǒng)計(jì)500 s以后載體姿態(tài)的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)，如表2所示。

從表2可以看出，本文方法得到的航向角誤差為0.022 4°，而傳統(tǒng)方法得到航向角誤差為0.031 4°，精度提高了約29%。且俯仰角和橫滾角估計(jì)精度也有小幅提升。

從圖2可以看出，本文方法估計(jì)出的水平陀螺常值漂移分別為0.19(°)/h、0.20(°)/h，而同樣條件下傳統(tǒng)方法得到的水平陀螺常值漂移分別為0.17(°)/h、0.18(°)/h，水平陀螺常值漂移的估計(jì)精度得到提高，同時(shí)可以看出水平陀螺和天向陀螺收斂速度加快。

圖1 姿態(tài)角誤差估計(jì)Fig.1 Estimation of attitude angle errors

方法航向角誤差俯仰角誤差橫滾角誤差傳統(tǒng)方法0.03140.00170.0019本文方法0.02240.00110.0012

圖2 水平陀螺常值漂移估計(jì)Fig.2 Estimation of horizontal gyroscope constant drift

從圖3可以看出，本文方法的水平加速度計(jì)常值零偏估計(jì)分別為81 μg、87 μg，而傳統(tǒng)方法精對(duì)準(zhǔn)下分別為71 μg、73 μg，水平加速度計(jì)常值零偏的估計(jì)精度有明顯提高。

從圖4可以看出，本文方法可估計(jì)出陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差δKgx和安裝誤差Egxz、Egyz。仿真條件設(shè)置的δKgx為100 ppm，估計(jì)出的δKgx為178ppm；設(shè)置的Egxz、Egyz為1×10-5(°)，估計(jì)出的Egxz、Egyz分別為8.08×10-6(°)、4.11×10-6(°)。

圖3 水平加速度計(jì)常值零偏估計(jì)Fig.3 Estimation of horizontal accelerometer constant null bias

圖4 陀螺的 δKgx及Egxz、Egyz估計(jì)Fig.4 Estimation of δKgx,Egxz and Egyz of gyroscope

5 結(jié) 論

1) 考慮了陀螺和加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差，擴(kuò)展為28維的精對(duì)準(zhǔn)模型。

2) 對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程各狀態(tài)變量的可觀測(cè)度變化進(jìn)行分析，將精對(duì)準(zhǔn)模型優(yōu)化為13維。

3) 仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法航向角對(duì)準(zhǔn)精度提高了約29%，且提高了水平陀螺常值漂移、加速度計(jì)常值零偏估計(jì)，同時(shí)還可估計(jì)出δKgx及Egxz、Egyz。

4) 如何在系統(tǒng)繞雙軸或者三軸旋轉(zhuǎn)時(shí)進(jìn)行對(duì)準(zhǔn)并進(jìn)一步提高陀螺和加速度計(jì)的誤差參數(shù)估計(jì)精度將是今后的研究方向。