☉山東省臨清市京華中學(xué) 齊 欣

參考文獻(xiàn)［1］指出體會對稱之美，欣賞對稱之妙，是貫穿在整個學(xué)習(xí)過程中的.參考文獻(xiàn)［2］指出，對稱是一種審美心向下的思維走勢，是一種方向性引領(lǐng)，引領(lǐng)我們走出困境，走向澄明.筆者深受啟發(fā)，結(jié)合教學(xué)實踐及閱讀參考文獻(xiàn)［3］的思考，基于兩個案例，分析解題過程中的錯因，注重學(xué)生對其中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，才能讓學(xué)生領(lǐng)悟解題的真諦，達(dá)到“吃一塹，長一智”的目的，還要引導(dǎo)學(xué)生體會解題糾錯中滲透的方法、蘊含的哲理.

一、糾錯案例展示

案例1：（2016年成都卷第24題）實數(shù)a、n、m、b滿足a＜n＜m＜b，這四個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別是A、N、M、B（如圖1），若AM2=BM·AB，BN2=AN·AB，則稱m為a、b的“黃金大數(shù)”，n為a、b的“黃金小數(shù)”.當(dāng)b-a=2時，a、b的黃金大數(shù)與黃金小數(shù)之差m-n=______.

圖1

學(xué)生的困惑：此法先把各線段的長用代數(shù)式表示出來，再分別代入到已知條件中，列出方程組求解，這個答案顯然違背題意，這到底是什么原因呢？

對于本題，還可以求出AB，然后列出關(guān)于AM、BN的方程，再求解.把已知AM2=BM·AB及BN2=AN·AB看作關(guān)于AM（或BM）或AN（或BN）的一元二次方程，即可求出線段AB上任意一條線段.

另解1：由AM2=BM·AB，BM=AB-AM，得AM2=（ABAM）·AB.又AB=b-a=2，則AM2=（2-AM）×2，解得AM=-1.根據(jù)對稱性，得BN=-1.則MN=AM+BNAB=2-4.

另解2：設(shè)MN=x，AN=y，則（x+y）2=2（2-x-y）.將“x+y”視為整體，整理得（x+y+1）2=5，解得x+y=-1（負(fù)值不合題意，舍去）.所以MB=2-（x+y）=3-.根據(jù)對稱性，得AN=3-.所以MN=AB-AN-MB=2-（3-）-（3-）=-4.

盡管得到的“答案”很明顯是錯誤的，但查找錯因并不那么容易.通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思考和基于對稱視角分析，不僅查明了真相，還收獲了借助對稱性來思考問題，及對稱觀念引領(lǐng)下的簡單解法，可謂一舉多得，下面再看一例.

學(xué)生的困惑：錯解1、2的解是怎樣丟掉的？錯解3怎么多了四個解呢？

錯因分析：第一個學(xué)生“由xy=15，得到x、y同號，進(jìn)而想當(dāng)然推出x+y與x-y也同號，從而丟掉了兩個解”.事實上，x、y同為正數(shù)或x、y同為負(fù)數(shù)；當(dāng)x、y同為正數(shù)時，可以得到x、y的和是正數(shù)，但x、y的差呢？并不一定是正數(shù)啊.同樣，當(dāng)x、y同為負(fù)數(shù)時，x、y的和是負(fù)數(shù)，但x、y的差也不一定是負(fù)數(shù).第二個學(xué)生忽視“正數(shù)有兩個平方根……”這一平方根的性質(zhì).第三個學(xué)生“解方程組的過程中，第2個方程兩邊平方了，因此求得方程組的解之后，必須代入原方程組進(jìn)行檢驗，因此結(jié)合x、y必須取同號的值，必須舍掉異號的四個解”.在解題過程中，應(yīng)隨時注意整體與局部的關(guān)系，不能以局部的性質(zhì)代替整體，從而有效規(guī)避錯誤.

學(xué)生如有從對稱的角度分析問題的意識，則成功解題易如反掌，對稱在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用不勝枚舉.如2014年泰州卷第16題：

如圖2，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC交于點P、Q.若PQ=AE，則AP等于______cm.

圖2

圖3

賞析：如果能從對稱的視角來理解則事半功倍（如圖3，兩次利用對稱，第一次是P′Q′與PQ關(guān)于直線m對稱，第二次是AP′與PD對稱），否則，要么容易忽視“確定性”或因思維定式導(dǎo)致丟解，要么事倍功半，即使做出來了，也耗時過多，造成“隱性丟分”，得不償失.關(guān)于本題的研究，錢德春老師在參考文獻(xiàn)［4］中已有詳細(xì)論述，這里不再贅述.

又如概率中用列表法和樹狀圖法求概率，列出的表格和樹狀圖從數(shù)學(xué)的角度來看是對稱的.

如圖4，一只螞蟻自由自在地在用七巧板拼成的正方形中爬來爬去（每一塊的表面完全相同）.

（1）分別計算它最終停留在1號板和2號板上的概率；

（2）它最終停留在3號板上的概率是多少？

圖4

圖5

分析：如圖5，加上這三條輔助線后，借助對稱便直觀地看出停在2、3號板上的概率分別是多少了.

又如，求滿足（n+1）n2-2n-3=1的整數(shù).

錯解：由x0=1，x≠0，得n2-2n-3=0，且n+1≠0，解得n=3.

分析：對于ab=1，上述解法只考慮了非零數(shù)的零次方等于1，而忽略了底數(shù)n+1等于1（指數(shù)為任意數(shù)）和-1（指數(shù)為偶數(shù)）的情況.如果想象有一條數(shù)軸，那么1、-1是關(guān)于原點對稱的.

總之，對稱，是觀念，也是方法，是一種或圖或式的靈活運用，在對稱視角下辨析錯因，澄清了錯誤，走出了困惑，同時開闊了視野，豐富了解題思路.

二、教學(xué)建議

1.解題教學(xué)要理解基礎(chǔ)知識，重視等價轉(zhuǎn)化，探索一題多解

通過對錯解引發(fā)的一題多解的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，其根源是沒有重視等價轉(zhuǎn)化，思考不嚴(yán)密或基礎(chǔ)知識不扎實.轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化兩種形式.等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果.非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如分式方程化為整式方程可能會出現(xiàn)增根，因此要驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口.但是一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確（如案例1中的錯解，看似經(jīng)得起推敲卻百密一疏，又如案例2及參考文獻(xiàn)［3］中對“解”的“純粹性”與“完備性”的分析）.等價轉(zhuǎn)化思想方法是高中數(shù)學(xué)解題的基本方法，在歷年高考中也常見，因此我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識，這有利于強化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.

2.解題要讓學(xué)生學(xué)會自覺分析，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生解題水平取決于對知識本質(zhì)的理解.案例1、案例2及參考文獻(xiàn)［3］中的錯解，這些錯誤產(chǎn)生的原因都是隱性的.羅增儒教授說過數(shù)學(xué)解題不僅要關(guān)注“答案”，更要對過程進(jìn)行“自覺分析”.因此數(shù)學(xué)解題要讓學(xué)生養(yǎng)成自覺分析、反思質(zhì)疑的良好習(xí)慣.從核心知識和概念入手，深挖教材，設(shè)計核心例題，充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)（如本文中的對稱思想、等價轉(zhuǎn)化思想等）.站在教育者的角度，數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)該包括數(shù)與形的客觀規(guī)律，知識所處的背景、地位、作用、聯(lián)系、區(qū)別及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、思維過程.

3.解題教學(xué)要揭示數(shù)學(xué)思想方法與思維的形成

解題教學(xué)要推動學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、知識的內(nèi)在聯(lián)系和問題的解決途徑，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的正遷移，滲透學(xué)習(xí)方法，轉(zhuǎn)換視角，借助數(shù)學(xué)思想化錯、融錯、究錯，使學(xué)生在科學(xué)精神、思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進(jìn)步；體會解決問題的過程，學(xué)會數(shù)學(xué)的表達(dá)和交流，積累經(jīng)驗；在掌握“四基”的同時提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)更高層次的思維突破.

4.解題要注重生成，教學(xué)相長

數(shù)學(xué)問題都是運用所學(xué)過的知識加以解決的，知識轉(zhuǎn)化才是一切轉(zhuǎn)化思想與方法的本源.學(xué)生參與的解題活動不僅包括外顯的、可觀察的解題過程，也包括學(xué)生積極展示內(nèi)隱的思維活動.作為一線教師，要想讓學(xué)生做到“吃一塹，長一智”，不僅要會講授，更要學(xué)會“傾聽”，要大膽放手，讓學(xué)生嘗試.布魯納說過：“學(xué)生的錯誤都是有價值的.”著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括錯誤.錯誤也從一定角度反映出學(xué)生對知識的掌握程度及暴露出來的教與學(xué)方面存在的問題.因此要善待學(xué)生的出錯，讓錯誤成為轉(zhuǎn)機，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，重視生成性資源的教學(xué)，采用逐步深入糾錯的方法，讓學(xué)生樂于糾錯，踏實糾錯.學(xué)生的主動好學(xué)定能讓數(shù)學(xué)課堂出彩.在教學(xué)中要教會學(xué)生進(jìn)行錯解分析，挖掘錯誤的根源，從而鞏固和加深基礎(chǔ)知識，真正做到教學(xué)相長.總之，通過辨析錯解產(chǎn)生的原因，訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性、批判性與獨創(chuàng)性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.以上論述還很粗淺，希望得到批評與指正.