☉浙江師范大學(xué)附屬嘉善實驗學(xué)校 陳世文

2018年11月，筆者參加了本縣九年級素養(yǎng)測試數(shù)學(xué)試卷的命制工作，其中最后一道壓軸題在二次函數(shù)表達式中引入?yún)?shù)，抓住“變”中“不變”的量來設(shè)計問題，層層推進，其中既有學(xué)生熟悉的味道，又有些變化與新意，既重視基礎(chǔ)與能力，又關(guān)注學(xué)生的素養(yǎng)與發(fā)展，受到教師和考生的一致好評.現(xiàn)將本題的命制過程呈現(xiàn)如下，與同行交流分享.

一、原題呈現(xiàn)

圖1

（1）求證：點M在直線AB上.

（2）設(shè)拋物線與直線AB的另一交點為點N，在平面內(nèi)找一點P，使四邊形OMPN為平行四邊形.

①當(dāng)點P在拋物線上時，求點P的坐標(biāo).

②?OMPN的面積是否為定值？若是，請求出它的面積；若不是，請說明理由.

二、試題解析

②如圖2，作MC//x軸，NC//y軸，兩者相交于點C.

圖2

三、命制過程

1.命題立意

本題作為整張試卷的壓軸題，根據(jù)雙向細目表和試卷的整體布局，需編制一道綜合性強、區(qū)分度高的試題，要融合初中代數(shù)與幾何領(lǐng)域的核心知識，如函數(shù)、方程、（特殊）平行四邊形、相似三角形等知識，同時注重能力的考查，關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)與持續(xù)發(fā)展.

2.素材選擇

素材：已知點M為二次函數(shù)y=-（x-b）2+4b+1圖像的頂點，直線y=mx+5分別交x軸的正半軸、y軸于點A、B.

（1）判斷頂點M是否在直線y=4x+1上，并說明理由.

（2）如圖3，若二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點A、B，且mx+5＞-（xb）2+4b+1，根據(jù)圖像，寫出x的取值范圍.

圖3

本題為2018年嘉興市中考試題，該題在二次函數(shù)表達式中引入?yún)?shù)，給人眼前一亮的感覺，也讓整個題目顯得鮮活靈動許多，特別是第（3）問需要學(xué)生抓住“變”中蘊含著的“不變”的量作為解題的突破口，深刻考查學(xué)生的思維和能力，給試題增色不少！這給了筆者極大的啟示，于是也想命制一道類似的含參數(shù)的二次函數(shù)綜合試題，抓住“變”中“不變”的量來作“文章”，既考查學(xué)生的基礎(chǔ)與能力，又關(guān)注學(xué)生的素養(yǎng)與發(fā)展，以期與近幾年中考接軌，也與本次素養(yǎng)測試?yán)砟钕喾?

圖4

3.嘗試編題

圖5

（1）求證：點M在直線l上.

（2）設(shè)拋物線與直線l的另一交點為點N，求MN的長.

（3）在拋物線上是否存在點P，使O、M、N、P四個點構(gòu)成平行四邊形？若存在，請求出該平行四邊形的面積及點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：筆者在二次函數(shù)的表達式中引入?yún)?shù)，在用幾何畫板探究過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其頂點運動成一條直線時，若把這條直線畫出來，則它被拋物線截得的線段長是一個定值，于是筆者抓住這點來設(shè)計第（1）、（2）、（3）問，基本體現(xiàn)當(dāng)初的預(yù)想與規(guī)劃.但在磨題過程中，有老師提出兩點意見：①三個小問的梯度太小，特別是第（2）問求MN的長，為第（3）問求平行四邊形的面積做好了鋪墊，指向性太強，作為整張試卷的壓軸題，其思維跨度不夠大，區(qū)分度不夠高；②第（3）問把點P固定在拋物線上求P點的坐標(biāo)和平行四邊形的面積，對學(xué)生的思維考查深度不夠，也讓整個題目缺少靈動感，亮點不足.

（1）求M、N兩點的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）.

圖6

（2）在平面內(nèi)找一點P，使四邊形OMPN為平行四邊形.

①當(dāng)點P在拋物線上時，求點P的坐標(biāo).

②?OMPN的面積是否為定值？若是，請求出它的值；若不是，請說明理由.

分析：第2稿針對初稿中的問題進行了修改.第（1）問直接求兩個交點的坐標(biāo)，難度提高了很多，但為了稍微降低計算難度，對題干中二次函數(shù)表達式的呈現(xiàn)方式進行了修改.第（2）問改為“在平面內(nèi)找一點P，使四邊形OMPN為平行四邊形”，然后分解成兩小問，第①問屬于比較經(jīng)典、常規(guī)的壓軸題，第②問直接問“?OMPN的面積是否為定值”，由于點P為平面內(nèi)一點，對學(xué)生的思維要求更高，需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變”中“不變”的一些量，也讓整個題目顯得靈活、深刻許多，在磨題研討時，我們感覺第（2）問這樣設(shè)計很好，但第（1）問難度有點兒大，很多學(xué)生可能這題1分都拿不到，起點需要再低點，于是綜合初稿和第2稿形成第3稿.

（1）求證：點M在直線l上.

（2）設(shè)拋物線與直線l的另一交點為點N，在平面內(nèi)找一點P，使四邊形OMPN為平行四邊形.

①當(dāng)點P在拋物線上時，求點P的坐標(biāo).

②?OMPN的面積是否為定值？若是，請求出它的值；若不是，請說明理由.

圖7

分析：經(jīng)過3輪修改，已經(jīng)很好地體現(xiàn)了命題意圖，感覺很完美了.但在具體解答過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)設(shè)計非常不好，在求點P的坐標(biāo)的過程中，b的值就出現(xiàn)了無理數(shù)，導(dǎo)致根本無法計算出點P的坐標(biāo)，于是要對數(shù)據(jù)進行重新設(shè)計.如何修改數(shù)據(jù)呢？由于涉及太多變量，命題組嘗試了好久都沒找到合適的數(shù)據(jù)，最后筆者僅僅修改了二次函數(shù)的系數(shù)a，即設(shè)拋物線y=a（x-b）2-b+3，然后聯(lián)立直線與拋物線的解析式表示出點化簡得：4ab2-3b-12=0，Δ=9+192a.欲使此方程易解，則Δ必須為一個完全平方數(shù)，筆者嘗試發(fā)現(xiàn)，既要使Δ為完全平方數(shù)，又要函數(shù)圖像比較美觀，此時a=比較合適.又由于在求MN的過程中，需要構(gòu)造出一個三角形與直線l和坐標(biāo)軸所圍成的三角形相似，于是把直線l與坐標(biāo)軸的兩個交點也給出，便于學(xué)生后續(xù)解答書寫，同時對題目的表述又做了些修改，從而形成終稿.

四、命題思考

1.對試題的思考

本題作為整張試卷的壓軸題，表述簡潔明了，第（1）問判斷點M是否在直線上，只需求出點M的坐標(biāo)，然后看它是否滿足直線的表達式即可，起點較低但又富有一些變化（如點M的坐標(biāo)含有參數(shù)）.第（2）問①探究平行四邊形的存在性問題，是近幾年比較經(jīng)典、常見的壓軸題，主要考查學(xué)生的分類思想與數(shù)形結(jié)合思想，但含有參數(shù)的運算對學(xué)生來說是一個難點，也是一個挑戰(zhàn).第（2）問②“平行四邊形的面積是否是一個定值”，需要學(xué)生洞悉在這個變化過程中一些不變的量——MN的長及點O到直線AB的距離，然后將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為△OMN的面積，從而順利求解，主要考查相似的知識和構(gòu)造、轉(zhuǎn)化的思想方法.三道小題銜接自然又富有梯度，起點較低，學(xué)生容易上手，但又有些變化與新意，富有挑戰(zhàn).二次函數(shù)表達式中的參數(shù)引入讓整個題目鮮活靈動，是一個難點，也是以后高中學(xué)習(xí)的核心點，對學(xué)生的運算能力、抽象思維、幾何直觀等要求較高，具有較好的區(qū)分度和效度.

2.對教學(xué)的啟示

縱觀整道試題，既重視基礎(chǔ)與能力，又關(guān)注學(xué)生的素養(yǎng)與發(fā)展.因此在平時的教學(xué)中，我們首先要夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，要注意基礎(chǔ)知識、基本技能的落實，因為不管是整張試卷還是所謂的“壓軸題”，其基礎(chǔ)還是占大部分的.如本題第（1）問“判斷點M是否在直線上”，第（2）問“求點P的坐標(biāo)”.落實基礎(chǔ)知識和基本技能，不意味著反復(fù)訓(xùn)練，而是要求教師重視教材和典型例題的使用和挖掘，注重變式與通性通法的教學(xué)，而不要舍“本”逐“末”，一味追求“快”“難”“多”，搞“題海戰(zhàn)”.其次要重視過程與方法的教學(xué)，要重視思維的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的提升.在日常教學(xué)中，很多教師為趕進度將數(shù)學(xué)知識灌輸給學(xué)生或進行偽探究草草收場，注重結(jié)論的使用技巧而忽略知識的形成過程；在復(fù)習(xí)教學(xué)時，把數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)等同于做題目，但在講題時沒有展示解題思路是如何形成的，解決方法是如何構(gòu)想的，這樣的教學(xué)使得學(xué)生以操練經(jīng)驗代替理性思考，善于模仿而不善于思考，一遇到陌生問題就一籌莫展，數(shù)學(xué)思維能力得不到實質(zhì)性提高.因此在平時教學(xué)時要處理好過程與結(jié)果、知識與方法之間的關(guān)系，要重視基本思想方法和基本活動經(jīng)驗的積累，它是落實六大核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、幾何直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理”的基礎(chǔ)和保證，是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性和靈活性的必要手段.