☉湖北省恩施州清江外國語學(xué)校 楊昌龍

核心素養(yǎng)的研究是當(dāng)今的熱潮.研究中考試題對(duì)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)，對(duì)教師在平時(shí)的教學(xué)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.下面就一道中考?jí)狠S題為例，談?wù)勠`行核心素養(yǎng)的一些思考.

一、原題呈現(xiàn)，簡約精彩

原題：矩形AOCD繞頂點(diǎn)A（0，5）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置時(shí)，邊BE交邊CD于點(diǎn)M，且ME=2，CM=4.

（1）求AD的長.

（2）求陰影部分的面積和直線AM的解析式.

（3）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式.

圖1

本題文字言簡意賅，圖形直觀、明了，從知識(shí)上看，考查四邊形、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、方程模型等知識(shí)，融合了矩形、直角三角形及相似形、一元二次方程等有關(guān)知識(shí)；從核心素養(yǎng)方面看，考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).下面從題目條件、圖形、設(shè)問等幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

1.條件設(shè)計(jì)精妙

題目條件寥寥數(shù)字，結(jié)合圖形，清晰明白.條件1：矩形AOCD在坐標(biāo)系中，且兩邊在兩坐標(biāo)軸上.條件2：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5）.條件3：矩形ABEF是由矩形AOCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得的，且BE交CD于點(diǎn)M.條件4：ME=2，CM=4.

由條件1、2可知CD=OA=5，AD=OC. 由條件3可知AB=OA=5，BE=OC=AD. 由條件4可知ME=2，BM=BEME=AD-2，DM=CD-CM=OA-CM=5-4=1.

通過對(duì)題目條件的思考，發(fā)現(xiàn)題目條件在巧妙的構(gòu)思中考查學(xué)生對(duì)矩形、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)的掌握情況，更是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查，也體現(xiàn)了對(duì)直觀想象及邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查.

2.圖形簡約、直觀

本題中的圖形由直角坐標(biāo)系和兩個(gè)全等的矩形組成，簡約、直觀，且陰影部分清晰、明了.學(xué)生在分析圖形時(shí)，易看、易懂，容易接受，體現(xiàn)了對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的考查.

3.設(shè)問環(huán)環(huán)相扣

本題共四問，逐層深入，環(huán)環(huán)相扣.第（1）問求AD的長是后三問的基礎(chǔ)，因此第（1）問能否順利解答至關(guān)重要.第（2）問求陰影部分的面積和直線AM的解析式，只要第（1）問中求出了AD的長，陰影部分就可分解成兩個(gè)直角三角形進(jìn)而求出面積.易知點(diǎn)M的坐標(biāo)，也就可以求出直線AM的解析式.第（3）問主要是求B點(diǎn)的坐標(biāo)，只要把B點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，就易求出拋物線的解析式.第（4）問是存在性問題，知道點(diǎn)A、M的坐標(biāo)尋求P點(diǎn)，利用求三角形面積的方法不難得到方程組，但本問涉及分類思想和較繁的計(jì)算，給學(xué)生提供了一個(gè)較大的思維空間，學(xué)生不僅要具備較強(qiáng)的分析能力，而且要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，因此學(xué)生要想得到滿分很困難.每一問相互聯(lián)系，逐次遞進(jìn)，從不同角度考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

二、解法多樣，盡展風(fēng)采

1.構(gòu)建模型，層層遞進(jìn)

本題第（1）問緊緊圍繞矩形的特征、旋轉(zhuǎn)的不變性，尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程模型.本問對(duì)學(xué)生來說，有一定的難度，不易直接找到思考方法，特別是作輔助線利用相似三角形和勾股定理構(gòu)建方程模型，或者直接利用勾股定理構(gòu)建方程模型，是本問的難點(diǎn).這一問不能突破，將直接影響后繼的解題，所以本問是關(guān)鍵.

圖2

解法2：連接AM，設(shè)AD=x，由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知AB=5，BM=x-2，DM=5-4=1.

在Rt△ABM與Rt△ADM中，52+（x-2）2=AM2=x2+12，進(jìn)而可求得AD的長.

以上兩種解法，均是由勾股定理構(gòu)建方程模型，解法1是由相似三角形及完全平方公式的變形獲得關(guān)系式，兩者的結(jié)合是本問的難點(diǎn)；解法2借助兩個(gè)直角三角形公共的斜邊構(gòu)建方程.學(xué)生只要充分思考已知條件，想到方程，這樣層層遞進(jìn)，逐級(jí)思考，就能最終獲得求解.

對(duì)于第（2）問，易得△ABP和△MBQ全等，通過勾股定理構(gòu)建方程，求得MQ的長，于是可得BQ的長，陰影部分的面積就易得了，然后利用待定系數(shù)法求直線AM的解析式.也可直接求Rt△ABM與Rt△ADM的面積和.

對(duì)于第（3）問，只要確定B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式.因此，求B點(diǎn)的坐標(biāo)尤為關(guān)鍵.若第（1）問用三角形相似求解，則B點(diǎn)的坐標(biāo)易知.若按解法2，則需要作輔助線求點(diǎn)B的坐標(biāo).

2.挖掘內(nèi)涵，演繹分類

第（4）問屬存在性問題，是中考?jí)狠S題?？嫉膯栴}，全方位考查學(xué)生的能力，對(duì)學(xué)生要求較高.特別是分類思想，學(xué)生最易出現(xiàn)問題.因此，充分挖掘題目的內(nèi)涵，找準(zhǔn)關(guān)鍵所在，尋求恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能使問題得以解決.

方法1：設(shè)P點(diǎn)在線段AM下方的拋物線上時(shí)，過P點(diǎn)作縱軸的平行線，利用三角形面積為水平寬度與鉛直高度乘積的一半構(gòu)建方程，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).由P點(diǎn)的坐標(biāo)，易求過點(diǎn)P且平行于AM的直線的解析式，從而得到P點(diǎn)到直線AM的豎直高度.通過平移，可得過線段AM上方拋物線上P點(diǎn)的直線的解析式，聯(lián)立拋物線和直線的解析式，進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

方法2：求出了拋物線的解析式，掌握了求三角形面積的方法，自然可以得到各種情況，不需首先考慮分類.三角形面積是水平寬度與鉛直高度的積的一半.在拋物線上兩定點(diǎn)的水平距離稱為水平寬度，過動(dòng)點(diǎn)作拋物線的對(duì)稱軸的平行線，與經(jīng)過兩定點(diǎn)的直線相交，其交點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)之間的線段的長度稱為鉛直高度.這樣第（4）問中，水平寬度為AD的長7，鉛直高度為動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元二次方程，求出方程的解，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

當(dāng)然第（4）問在解一元二次方程時(shí)，計(jì)算較復(fù)雜，要求學(xué)生不僅有熟練的計(jì)算能力，而且要能靈活變形.

三、探究數(shù)學(xué)思想，貫徹核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的核心.中考?jí)狠S題是滲透數(shù)學(xué)思想方法一個(gè)很好的平臺(tái).本題從多個(gè)角度讓數(shù)學(xué)思想方法得到了充分體現(xiàn)，貫徹了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1.建模思想

新課程標(biāo)準(zhǔn)給出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)方面，其中一個(gè)就是數(shù)學(xué)建模.本題在第（1）問就是利用勾股定理構(gòu)建方程模型，如解法（2）中利用Rt△ABM與Rt△ADM兩個(gè)直角三角形有公共的斜邊AM，作為等量關(guān)系，構(gòu)建方程，從而求得AD的長.當(dāng)然，本題中的模型構(gòu)建有一定的難度，輔助線不易想到，入口較窄，致使學(xué)生思維受困.

2.數(shù)形結(jié)合思想

在壓軸題中，數(shù)形結(jié)合思想非常普遍，幾乎每道題都有涉及，通過坐標(biāo)系建立起點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，既可應(yīng)用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答.本題中數(shù)形結(jié)合較多，第（1）問求AD的長就利用點(diǎn)A的坐標(biāo)得到了AB的長，進(jìn)而獲得解答.第（3）問求拋物線的解析式，也是通過求點(diǎn)B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求得解析式.第（4）問更是體現(xiàn)得淋漓盡致，方法1就是通過圖形得到P點(diǎn)的幾種情況，把直線平移，得到其解析式，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).無論是由坐標(biāo)得線段長度，還是由圖形得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，都是從數(shù)到形，或者從形到數(shù)的過程，充分體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.

3.分類討論思想

分類討論思想是對(duì)學(xué)生更高層次的考查，不僅檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)水平，更檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和嚴(yán)密性，常常通過條件的多變性或結(jié)論的不確定性來考查.本題的第（4）問就需要進(jìn)行分類討論，點(diǎn)P在直線AM的下方，以及P點(diǎn)在直線AM的上方，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后，還要進(jìn)一步考查P點(diǎn)的合理性.

通過對(duì)本題涉及的思想方法的分析，中考題可以以不同的方式進(jìn)行考查，但數(shù)學(xué)思想方法始終在壓軸題中得以體現(xiàn)，因此，平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)化對(duì)中考題的研究，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，有效貫徹核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

四、引申推廣，拓展探究

1.改變條件

本題第（1）問還可以把條件改變，如：把邊BE交邊CD于點(diǎn)M改為直線BE交直線CD于點(diǎn)M，且ME=m，CM=n，這樣在求AD的長的過程中，就需要考慮M點(diǎn)的不同位置了，盡管結(jié)果一樣，但對(duì)學(xué)生的思維的要求提升了.還可把矩形旋轉(zhuǎn)改為矩形折疊，比如，恩施州2016年中考第24題.

2.改變結(jié)論

第（2）問求直線AM的解析式可改為求直線AE、AF、BF、EF等的解析式，主要考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)及一次函數(shù)知識(shí)的掌握情況.

第（3）問求拋物線的解析式也可改為過點(diǎn)A、E、D的拋物線，過點(diǎn)A、F、D的拋物線等，主要考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.第（4）問是存在性問題，可改為求極值問題，比如，在直線AM下方的拋物線上找一點(diǎn)P，使三角形PAM的面積最大.

五、對(duì)教學(xué)的啟示

1.重視方法總結(jié)，探究渠道多樣

平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)積極研究中考試題及命題方法，有意識(shí)地把相關(guān)的知識(shí)與方法貫穿于教學(xué)中.中考?jí)狠S題的教學(xué)應(yīng)注重以下幾個(gè)方面.（1）數(shù)學(xué)思想，主要是數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、從特殊到一般的思想.大部分中考?jí)狠S題幾乎都涉及這幾種數(shù)學(xué)思想方法的考查.本題就注重考查數(shù)形結(jié)合、分類討論及數(shù)學(xué)建模等.（2）探究問題，主要是三角形、平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形等）、圓等的探究；動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)圖形的探究，比如，本題就是動(dòng)圖形的探究；特殊角（直角、45°角、60°角等）的探究；線段極值、面積極值的探究；圖形變換中特殊點(diǎn)活動(dòng)范圍的探究等.（3）解題方法，主要是直觀觀察法、數(shù)形結(jié)合法、解析法等.

2.注重學(xué)生能力，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查是每一份中考試題都必須關(guān)注的.壓軸題就是知識(shí)點(diǎn)的綜合，思想方法的集中，解決辦法的多變，思維高度的提升.從背景取材到問題設(shè)置，不僅綜合性強(qiáng)，而且創(chuàng)新性強(qiáng)，既注重知識(shí)的考查，又注重能力方法的考查，多方面考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，從本題中可見一斑，方程的數(shù)學(xué)建模、畫圖后的直觀想象、變化圖形的數(shù)學(xué)抽象、每問的邏輯推理及最后一問運(yùn)算能力的考查等都得以體現(xiàn).因此，在平時(shí)的教學(xué)過程中，要重視知識(shí)的梳理歸納、計(jì)算能力的培養(yǎng)、實(shí)際問題中數(shù)學(xué)問題的抽象、數(shù)學(xué)思想方法的滲透等，最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.W