☉安徽省六安市舒城第二中學 張 軍

縱觀全國各地的中考試卷，絕大部分壓軸題都與二次函數密切相關.對于二次函數壓軸題，只要我們認真審題、把握試題的特點與結構，注意轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想的應用，不斷總結解型規(guī)律與方法，問題解決自然水到渠成.

原始母題：（2018·自貢）如圖1，拋物線y=ax2+bx-3過A（1，0）、B（-3，0）兩點，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為-2，點P（m，n）是線段AD上的動點.

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ最長？

分析：對于第（1）問，根據待定系數法，可得拋物線的解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得D點的坐標，再根據待定系數法，可得直線的解析式.對于第（2）問，根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案.

圖1

當x=-2時，y=（-2）2+2×（-2）-3y=-3，即點D（-2，-3）.

（2）由于點P在直線y=x-1上，可設P點的坐標為（m，m-1）.

由PQ∥y軸，得點Q的橫坐標也為m.又點Q在拋物線y=x2+2x-3上，則點Q的坐標為（m，m2+2m-3）.

點評：與y軸平行的豎直線段的長等于上點的縱坐標減去下點的縱坐標，同理，與x軸平行的水平線段的長等于右點的橫坐標減去左點的橫坐標.求兩個函數圖像上兩點距離的最值需要建立二次函數關系式，利用二次函數最值的性質去解答.設點的坐標，然后用表示坐標的代數式表示線段長是解決動點問題常用的方法.

變式方向一：求水平線段的最值

承原始母題第（2）問，如圖2，過點Q作QM∥x軸，交直線AD于點M，則線段MQ有最大值還是最小值？請求出這個最值.

分析：我們已經求得線段PQ的最大值，線段PQ與線段QM在同一三角形中，如果能得到這兩條線段的關系，就能利用線段PQ的最值求得線段QM的最值.

解析：由直線AD的解析式為y=x-1，得直線AD與直線y=x平行.又直線y=x與x軸的夾角是45°，則直線AD與x軸的夾角也為45°，即∠BAO=45°.又直線PQ∥y軸，即直線PQ垂直于x軸，則∠TPA=45°，則∠MPQ=45°.

圖2

點評：從本題得：欲求水平線段的最值，需要把水平線段轉化為豎直線段，通過豎直線段建立二次函數模型，求出豎直線段的最值，從而得到水平線段的最值，這里體現了轉化的數學思想.不能認為只有△PQM是特殊直角三角形，才能得到線段PQ與線段QM的關系，其實△PQM只要是直角三角形即可，因為易證△PQM與△OSA相似，而△OSA的三邊已確定.

變式方向二：求斜線段的最值

承原始母題第（2）問，如圖3，過點Q作QE⊥AD，垂足為點E，則線段QE有最大值還是最小值？請求出這個最值.

圖3

分析：在第（2）問的基礎上，已經求得線段PQ的最大值，線段PQ與線段EQ同在△PEQ中，得到線段EQ與PQ的關系，就可以求得斜線段EQ的最值.

點評：從本題可以看到：欲求斜線段的最值，也需要把斜線段轉化為與y軸平行的豎直線段，因為與y軸平行的豎直線段的長與動點的橫坐標之間易建立二次函數關系式，利用二次函數最值的性質得豎直線段的最值，從而得到斜線段的最值.這里有一個中間環(huán)節(jié)，即得到線段EQ與PQ的關系式，上述解法是根據等腰直角三角形的性質得到的，也可以根據△EPQ與△OSA相似，由相似三角形對應邊成比例，得到斜線段EQ與豎直線段PQ的關系.

變式方向三：求三角形周長的最值

承原始母題第（2）問，如圖3，過點Q作QE⊥AD，垂足為點E，則△PQE的周長有最大值還是最小值？請求出這個最值.

分析：△PQE的周長=EP+EQ+PQ，在第（2）問中，已得線段PQ的最值，如果能將其他兩條線段都轉化為用PQ表示的式子，就可以將△PQE的周長轉化為用線段PQ表示的式子，從而求得△PQE的周長的最值.

點評：從本題可以看出，欲求三角形周長的最值，也需要將三角形的周長轉化為豎直線段的長，其實，解答數學問題的過程就是不斷轉化的過程，把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題轉化簡單的問題，把大問題轉化為小問題，從而實現問題的解答.

變式方向四：求三角形面積的最值

承原始母題第（1）問，如圖4，在直線AD下方的拋物線上有一點Q，連接QD、AQ，則△ADQ的面積有最大值還是最小值？請求出這個最值.

分析：當點Q在直線AD下方的拋物線上移動時，△ADQ的面積隨點Q位置的變化而變化，即隨點Q橫坐標的變化而變化，所以需要建立△ADQ的面積與點Q橫坐標的函數關系式，然后求最值.

圖4

圖5

解析：如圖5，過點Q作QF⊥x軸，交x軸于點F，交直線AD于點P，過點D作DH⊥FQ于點H，則△ADQ的面積=△DPQ的面積+△APQ的面積=PQ·DH+PQ·AF=PQ·（DH+AF）.由DH+AF就是點A與點D的水平距離，點A（1，0）、D（-2，-3），得DH+AF=1-（-2）=3.則△ADQ的面積=PQ，則當PQ最大時，△ADQ的面積也最大.由原始母題第（2）問，得：設P點的坐標為（m，m-1），點Q的坐標為（m，m2+2m-3），則PQ=（m-1）-（m2+2m-3）=-.則△ADQ的面積

點評：從本題可以看出，欲求三角形面積的最值，同樣需要將三角形面積轉化為用豎直線段表示的式子，從而利用二次函數最值的性質解答.在坐標系中求三角形的面積，如果三角形的任何一邊都不是水平的或豎直的，應將三角形分割與添補，使分割或添補后的三角形至少有一邊是水平的或豎直的，這樣才可能用點的坐標表示線段的長，從而將圖形的面積轉化為用點的坐標表達的式子.

在二次函數壓軸題的最值問題中，牢記一條線段：豎直線段，一個數學思想：轉化思想，四種轉化：水平線段轉化為豎直線段，斜線段轉化為豎直線段，三角形的周長轉化為豎直線段，三角形的面積轉化為豎直線段.其實，知識就像蘑菇一樣，會成堆地生長，只要我們細心觀察與思考，很多知識或試題有相通的地方，通過這樣的總結與訓練，有利于提高學生分析問題與解決問題的能力，更有利于學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).W