☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 印冬建

中考試題研究是一項(xiàng)日常的教學(xué)工作.在中考結(jié)束后，很多老師立即投入到新的中考題的研究中去，他們熱衷于對(duì)新穎考題、壓軸考題解法的研究，而對(duì)考題教學(xué)價(jià)值的研究不夠深入.筆者認(rèn)為，這樣的試題研究是不全面、不科學(xué)的.中考具有極強(qiáng)的導(dǎo)向作用，它是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的重要依據(jù).日常教學(xué)中，“四基”的教與學(xué)該到什么程度，學(xué)生發(fā)展的底在哪里，每一年的中考試題都有明示，都需要我們這些一線教師從試題中挖掘出來，并在教學(xué)中加以落實(shí).近期，筆者結(jié)合南通市2018年中考卷進(jìn)行了部分考題的教學(xué)價(jià)值分析，明晰了教學(xué)的方向，現(xiàn)將其呈現(xiàn)，供大家參考.

一、抓住核心知識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)

核心知識(shí)是學(xué)段中最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，它們具有較強(qiáng)的應(yīng)用性和發(fā)展性，在解決問題和后續(xù)學(xué)習(xí)中能發(fā)揮出巨大的作用.因而，對(duì)核心知識(shí)的考查也就成為了中考的重點(diǎn).綜觀2018年各地的中考卷，需要用到方程、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)的圖像及性質(zhì)等為代表的核心知識(shí)的考題屢見不鮮.中考試題的研究，理所應(yīng)當(dāng)該透過試題找核心，從考題中發(fā)現(xiàn)我們“司空見慣”的那些數(shù)學(xué)知識(shí)中真正的“核心”，給它們以準(zhǔn)確的教學(xué)定位，力求通過日常教學(xué)的強(qiáng)化，使學(xué)生逐步形成自覺應(yīng)用的意識(shí).

題1：（原卷第24題）如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，且交⊙O于點(diǎn)E.連接OC、BE，相交于點(diǎn)F.

（1）求證：EF=BF；

（2）若DC=4，DE=2，求直徑AB的長(zhǎng).

考題簡(jiǎn)析：本題是一道以圓為背景的綜合題，主要考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).解答第（1）問可根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂徑定理逐步證得；解答第（2）問應(yīng)先證明四邊形EFCD是矩形，然后由勾股定理建構(gòu)出含有半徑r的方程r2=（r-2）2+42，進(jìn)而求出直徑AB的長(zhǎng)是10.顯然，第（2）問的解答需要用到勾股定理、方程、矩形的性質(zhì)與判定等學(xué)段核心知識(shí).

教學(xué)啟示：與一般數(shù)學(xué)知識(shí)相比，核心知識(shí)具有較強(qiáng)的應(yīng)用性和發(fā)展性，在中考中有很多的應(yīng)用，因而它們理應(yīng)走向數(shù)學(xué)教學(xué)的“前臺(tái)”.在上面的分析中，之所以說勾股定理、方程等是學(xué)段核心知識(shí)，是因?yàn)樵?018年南通卷中對(duì)這些知識(shí)的考查還有多處.先來說說說對(duì)勾股定理的考查，第27題至少三處需要用到勾股定理求解，其中有一處和題1一樣需要將勾股定理和方程鏈接在一起解題，第22題需要將勾股定理與三角函數(shù)結(jié)合起來解決實(shí)際問題.至于方程，全卷考查的“點(diǎn)”不下十處，如第20題的解方程，第25題的列方程解決實(shí)際問題，第18題的列方程解決幾何問題等.如此多的考查點(diǎn)分布，充分體現(xiàn)了勾股定理與方程的重要地位，一線教師務(wù)必高度重視.關(guān)于勾股定理，記得科學(xué)家曾試圖用它與外星人溝通，足見勾股定理在數(shù)學(xué)界的地位.從南通卷對(duì)勾股定理的多次同卷考查可見，初中學(xué)段的勾股定理教學(xué)絕不能僅僅停留在知其然的地步，我們應(yīng)努力在學(xué)生知其所以然的基礎(chǔ)上，讓他們經(jīng)歷更多的勾股定理與相關(guān)核心知識(shí)鏈接與融合的過程，使他們?cè)诜治鰡栴}和解決問題的過程中能將勾股定理作為一個(gè)重要的工具自覺提取出來并加以應(yīng)用.方程的重要性，筆者不再贅述了.通過2018年南通卷的分析發(fā)現(xiàn)，僅僅會(huì)解方程是不夠的.初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（組）、分式方程等多種形式的方程，對(duì)這些方程的學(xué)習(xí)都是按照“定義—解法—應(yīng)用”的流程展開的，而且應(yīng)用主要側(cè)重于實(shí)際問題中的列方程與解方程.事實(shí)上，方程作為解題模型應(yīng)用的范圍是很廣的.在教學(xué)中，我們應(yīng)創(chuàng)設(shè)更為豐富的數(shù)學(xué)情境或生活情境，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷“抽象數(shù)學(xué)問題—建構(gòu)方程模型—解模檢驗(yàn)—解決問題”的過程，從而讓學(xué)生體會(huì)到方程模型的價(jià)值所在，不斷提高用方程解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的能力.

二、滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.為了凸顯數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，發(fā)揮中考的導(dǎo)向作用，在各地的中考卷中，都會(huì)設(shè)計(jì)一些指向抽象、分類、類比、模型、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的考題.面對(duì)這些考題，我們不僅要考慮數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的價(jià)值，還應(yīng)從思想方法的角度挖掘考題的價(jià)值，從發(fā)展學(xué)生理性思維的高度明晰數(shù)學(xué)思想的教學(xué)方向.這種扎根于中考試題的深度研究，將有助于我們真正理解數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，從而在教學(xué)過程中把握教學(xué)契機(jī)，滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在思想感悟與應(yīng)用中不斷發(fā)展數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成“言之有理，述之有據(jù)，反思質(zhì)疑”的良好習(xí)慣.

題2：（原卷第26題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2-2（k-1）x+k2-k（k為常數(shù)）.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，k2），求k的值；

（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2k，y1）和（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍；

（3）若將拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值-，求k的值.

教學(xué)啟示：理性思維是一種較常見的思維方式，是建立在證據(jù)和邏輯推理法則之上的思維方式.可見，以理性思維為主的數(shù)學(xué)思維應(yīng)遵循邏輯性，追求嚴(yán)密性，它有著明確的方向，需要充分的依據(jù).上面的題2，就是一道能很好地考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考題.結(jié)合考題分析不難發(fā)現(xiàn)，如果沒有理性思維的高度參與，在本題的解答過程中遺漏情形或誤增結(jié)果都是極有可能出現(xiàn)的.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，務(wù)必重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.而隨著對(duì)中考試題的深入分析，我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)大量數(shù)學(xué)思維參與解題時(shí)，一定會(huì)有許多數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含其中.上面的題2自不必說，在對(duì)第（3）問中k的取值的探索過程中，需要分類討論，需要數(shù)形結(jié)合，還需要數(shù)學(xué)模型，幾種常見數(shù)學(xué)思想的作用都得到了極致發(fā)揮，而且只有將這些數(shù)學(xué)思想的價(jià)值真正發(fā)揮出來，我們才有可能正確地給出本題的求解過程.我們?cè)賮砜丛嚲碇械囊坏捞羁疹}：（原卷第13題）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則它的周長(zhǎng)為______cm.本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系.給出的條件“等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為4cm和9cm”，并沒有明確底邊和腰，因此要分兩種情況討論：①當(dāng)腰是4cm、底邊是9cm時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去；②當(dāng)?shù)走吺?cm、腰長(zhǎng)是9cm時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)=4+9+9=22（cm）.這道題同樣需要分類討論參與，而且僅僅分類討論還不行，最后還必須對(duì)所得結(jié)果能否滿足三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，這就需要數(shù)學(xué)思維的高度參與.所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該注意到數(shù)學(xué)思維往往與數(shù)學(xué)思想“伴生共長(zhǎng)”這一特性，將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思想教學(xué)結(jié)合在一起，有效融入教學(xué)進(jìn)程中.在新知探索與問題解決過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生梳理其涉及的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)思維過程中不同數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，從而養(yǎng)成堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤、反思質(zhì)疑的意識(shí)和習(xí)慣.

三、注重實(shí)踐體驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱《課標(biāo)（2011版）》）提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)……使學(xué)生增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力”（下稱“四能”）.顯然，解答中考題不只需要知識(shí)，還需要一定的數(shù)學(xué)能力作為支撐.因而，只有我們?cè)谥锌荚囶}研究中厘清了解題的能力需求，才可能在接下來的教學(xué)中有的放矢地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.在2018年南通中考卷中，就存在著一些能力要求高于知識(shí)要求的考題，這些考題對(duì)一些具體的能力，如閱讀、作圖、運(yùn)算、數(shù)據(jù)整理、建構(gòu)模型等顯性數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求.而這些數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成，無一不與學(xué)生的自主實(shí)踐有著很大關(guān)聯(lián).因而，日常教學(xué)中，我們就應(yīng)圍繞中考解題所需要的數(shù)學(xué)能力設(shè)計(jì)一些能引導(dǎo)學(xué)生自主實(shí)踐的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓他們?cè)隗w驗(yàn)中逐步形成個(gè)性化的數(shù)學(xué)能力.

題3：（原卷第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（2t，0）、B（0，-2t）、C（2t，4t）三點(diǎn)，其中t＞0，函數(shù)y=的圖像分別與線段BC、AC交于點(diǎn)P、Q.若S△PAB-S△PQB=t，則t的值為______.

教學(xué)啟示：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能一直都是十分重視的，在《課標(biāo)（2011版）》引入了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，“四基”才真正進(jìn)入了一線教師的視野.要注意的是，雖然“四能”與“四基”同時(shí)出現(xiàn)在《課標(biāo)（2011版）》中，但沒能引起一線教師的足夠重視.通過對(duì)2018年南通卷的分析，筆者發(fā)現(xiàn)命題人給出了多道考查閱讀、作圖、數(shù)據(jù)整理等數(shù)學(xué)能力的考題，這無疑給我們的教學(xué)敲響了警鐘.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要重視“四基”，還應(yīng)重視“四能”.我們應(yīng)根據(jù)學(xué)生能力發(fā)展的進(jìn)程合理設(shè)置有梯度的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在自主實(shí)踐體驗(yàn)中，不斷提升數(shù)學(xué)能力.比如，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，我們可以從文本、圖形、符號(hào)等多個(gè)維度設(shè)計(jì)單獨(dú)或混合多種素材的閱讀材料，引導(dǎo)學(xué)生開展自主閱讀并提供相應(yīng)的指導(dǎo)與幫助，從而提高他們的數(shù)學(xué)閱讀能力；而作圖能力的提升離不開作圖過程的自主歷練，我們要在學(xué)生掌握基本作圖的情況下，引導(dǎo)他們進(jìn)一步探索復(fù)雜圖形的規(guī)范作法，明晰其中的原理，并通過反復(fù)應(yīng)用，使這些作圖的方法與原理逐步固化為學(xué)生的作圖能力……

圖2

四、弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，涵養(yǎng)家國(guó)情懷

不管哪一門學(xué)科，都需要堅(jiān)持正確的育人方向，數(shù)學(xué)也不例外.中考是具有明顯導(dǎo)向性的考試，一線教師應(yīng)堅(jiān)持的正確育人方向?qū)?huì)很好地體現(xiàn)在這場(chǎng)綜合性測(cè)試中.因而，在研究數(shù)學(xué)中考題時(shí)，除了關(guān)注考題涉及的“四基”和“四能”，我們還應(yīng)關(guān)注考題所蘊(yùn)含的育人力量，努力挖掘并放大考題中的正能量.2018年的中考卷，試題情境十分豐富，除了常見的數(shù)學(xué)情境，還從我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的研究成果和我國(guó)改革開放四十年輝煌成就中選取了很多典型素材作為考題背景.這些基于國(guó)家背景和時(shí)代背景的考題，意在讓考生和一線教師知道國(guó)家歷史之悠久，國(guó)家實(shí)力之強(qiáng)大，國(guó)家發(fā)展之快速……很好地傳遞中考命題人的家國(guó)情懷，這給一線教師帶來的啟示莫過于：在日常教學(xué)中注意弘揚(yáng)祖國(guó)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化，涵養(yǎng)學(xué)生的家國(guó)情懷.

題4：（原卷第15題）古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之.意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里.慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為______.

考題簡(jiǎn)析：本題是一道關(guān)于一元一次方程的名題，素材取自于我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰的著作《算學(xué)啟蒙》.題中不僅給出了著作中的原題，還將其轉(zhuǎn)譯成現(xiàn)代文.這樣的命題設(shè)計(jì)，很好地體現(xiàn)了命題人的學(xué)生視角和數(shù)學(xué)視角：一方面，兩種文本的對(duì)照呈現(xiàn)，有效規(guī)避了文言文單一陳述可能帶來的閱讀偏差，減少“非數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”出現(xiàn)的機(jī)會(huì)；另一方面，兩種文本的對(duì)比，能讓學(xué)生很好地體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家取得的輝煌成就，初步感知這一成就在世界數(shù)學(xué)史中的領(lǐng)先地位，增強(qiáng)民族自豪感.解答本題，讀懂現(xiàn)代文陳述的數(shù)學(xué)問題并抽象數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵.根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，抓住題中給出的“快馬追上慢馬”這一結(jié)果，可以抽象出“快馬走的路程=慢馬12天走的路程+慢馬12天后走的路程”的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程240x=12×150+150x.

教學(xué)啟示：魯迅先生說：只有民族的，才是世界的.幾千年來，中華民族取得了豐碩的數(shù)學(xué)成就，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn).這些成就理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師最重要的教學(xué)素材，在日常教學(xué)活動(dòng)中合理呈現(xiàn)并有效應(yīng)用.數(shù)學(xué)教學(xué)，育人為先.章建躍教授說數(shù)學(xué)教學(xué)要“發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在的育人力量，謀求學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展”，我想，弘揚(yáng)祖國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化應(yīng)該是有效的途徑之一吧.無論是過去、現(xiàn)在還是將來，一線教師都應(yīng)將國(guó)家成就與學(xué)生好好分享，隨時(shí)隨地有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生對(duì)祖國(guó)的熱愛.如教學(xué)2018年南通卷第4題時(shí)，不僅要讓學(xué)生弄懂“如何用科學(xué)記數(shù)法表示827 000”，更要讓學(xué)生從“數(shù)字之大”上感知到“2017年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到827 000億元，穩(wěn)居世界第二”這一巨大發(fā)展成就及其獲得之不易.我想，只有如筆者所述這樣，將知識(shí)教學(xué)與情感育人融為一體，數(shù)學(xué)內(nèi)在的育人力量才能真正得以發(fā)揮出來，從而在弘揚(yáng)祖國(guó)優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，涵養(yǎng)學(xué)生的家國(guó)情懷.

研究中考試題，幾乎每一位初中數(shù)學(xué)教師都會(huì)做.緊盯新穎題和壓軸題，深度探索解題方法，本無可厚非，但如果只關(guān)注對(duì)這些考題解法的探索，而無視其教學(xué)價(jià)值分析，筆者認(rèn)為這是十分不妥的.中考試題的價(jià)值是多維的，但指向教學(xué)無疑是最重要的.因而，我們研究中考題，更應(yīng)站在教學(xué)的角度分析考題：摸清考查的核心知識(shí)，在漸進(jìn)訓(xùn)練中發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；關(guān)注涉及的數(shù)學(xué)思想，在反復(fù)感悟中鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；理解試題的探索歷程，在實(shí)踐操作中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；把握考題的文化脈絡(luò)，在浸潤(rùn)體驗(yàn)中涵養(yǎng)學(xué)生的家國(guó)情懷……一年一度的中考又要來了，一大批“新鮮”的中考試題又將“迎面走來”，但愿本文所陳述的觀點(diǎn)與做法能給大家一些啟示.