☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星匯學(xué)校 高雅嵐

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》，參考文獻(xiàn)［1］～［3］倡導(dǎo)中考專題復(fù)習(xí)（或微專題），讀來(lái)引發(fā)共鳴.筆者近年來(lái)在一些較難習(xí)題講評(píng)時(shí)多采取這種同類習(xí)題關(guān)聯(lián)組合出現(xiàn)講評(píng)的方法，效果很好.本文結(jié)合近期收集到的兩份九上期末試卷上的把關(guān)題，關(guān)聯(lián)在一起呈現(xiàn)這兩道“形同質(zhì)異”考題，先給出思路突破，再跟進(jìn)教學(xué)思考，供分享和研討.

一、兩道“形同質(zhì)異”考題的思路突破

考題1：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0，2）的直線y=kx+b與拋物線y=x2+1交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)A、B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D.

（1）當(dāng)CD=3時(shí)，求k、b的值.

（2）分別用S1、S2、S3表示△ACE、△ECD、△EDB的面積，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)t，使得S22=tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路突破：（1）由過(guò)點(diǎn)E（0，2）的直線，可知b=2，所以y=kx+2.

圖1

（2）依題意，S2=CD·OE=（x2-x1）·2=x2-x1.由（1）得CD=x2-x1=，則S22=（x2-x1）2=k2+4.

回顧反思：這道習(xí)題關(guān)鍵在于第（2）問(wèn)，但第（1）問(wèn)分析出的CD=x2-x1=，對(duì)于第（2）問(wèn)的思路突破很有幫助.將面積公式轉(zhuǎn)化為兩根x1、x2的表達(dá)式進(jìn)行演算、變形，是求解的關(guān)鍵.

考題2：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（0，1），點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，過(guò)點(diǎn)N作y軸的垂線l，動(dòng)點(diǎn)R滿足到直線l的距離等于線段MR的長(zhǎng)度.記點(diǎn)R的軌跡為Γ.

充分發(fā)揮農(nóng)機(jī)合作組織的帶動(dòng)和引導(dǎo)作用。一是建議各級(jí)政府和相關(guān)部門加大對(duì)農(nóng)機(jī)合作組織和種植大戶的培育力度，提高農(nóng)機(jī)合作組織的農(nóng)機(jī)裝備水平；二是建議農(nóng)機(jī)部門引導(dǎo)農(nóng)機(jī)合作社積極投入主要農(nóng)作物產(chǎn)前、產(chǎn)中、產(chǎn)后全程機(jī)械化生產(chǎn)作業(yè)服務(wù)，通過(guò)農(nóng)機(jī)服務(wù)組織率先應(yīng)用先進(jìn)適用農(nóng)機(jī)新機(jī)具、新技術(shù)，不斷擴(kuò)大影響范圍，進(jìn)一步擴(kuò)大農(nóng)機(jī)作業(yè)面積，以點(diǎn)帶面，加快主要農(nóng)作物全程機(jī)械化發(fā)展，進(jìn)一步提高全市農(nóng)機(jī)化水平。

（1）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出Γ是什么圖形.

（2）我們把這里的點(diǎn)M稱為曲線Γ的焦點(diǎn)，直線l稱為曲線Γ的準(zhǔn)線.

已知直線y=kx+b（k≠0）過(guò)曲線Γ的焦點(diǎn)，并與曲線Γ交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作曲線Γ的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P、Q.

①求∠PMQ的大??；

圖2

思路突破：（1）圖形Γ是一條拋物線，函數(shù)的解析式為y=x2.

圖3

接下來(lái)重點(diǎn)攻克y1y2的值.

回顧反思：解這道考題第（2）題第②問(wèn)的關(guān)鍵是將“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化，并通過(guò)含y1、y2及含x1、x2的式子運(yùn)算，獲得問(wèn)題進(jìn)展.當(dāng)然，問(wèn)題結(jié)構(gòu)中拋物線的準(zhǔn)線與焦點(diǎn)性質(zhì)對(duì)于最初轉(zhuǎn)化變形也是關(guān)鍵步驟.

二、關(guān)于“同類問(wèn)題”的教學(xué)思考

1.重視收集整理“同類問(wèn)題”開(kāi)展專題復(fù)習(xí)

中考專題復(fù)習(xí)往往按知識(shí)點(diǎn)開(kāi)展一輪復(fù)習(xí)，再按題型進(jìn)行所謂的二輪復(fù)習(xí)，很多專題復(fù)習(xí)課時(shí)的選題之間關(guān)聯(lián)度不大，常常是一題接一題的題海戰(zhàn)術(shù)，優(yōu)秀學(xué)生常常處于“空轉(zhuǎn)”狀態(tài)，復(fù)習(xí)課的品質(zhì)難以提升.我們認(rèn)為，教師重視收集整理“同類問(wèn)題”并開(kāi)展專題復(fù)習(xí)是一種可行的備課方式.具體來(lái)說(shuō)，就上文兩道考題就可開(kāi)展一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)主題可定位為基于拋物線與直線相交的深入探究，側(cè)重于數(shù)形結(jié)合（以形助數(shù)、以數(shù)馭形）思想方法的復(fù)習(xí)與指導(dǎo).一節(jié)課兩道習(xí)題就足夠，題量不宜太大，讓學(xué)生有充分的時(shí)間獨(dú)立思考，并且安排學(xué)生之間積極對(duì)話、充分展示，教師適時(shí)追問(wèn)并成果擴(kuò)大，特別是在回顧反思階段，要引導(dǎo)學(xué)生辨析問(wèn)題的關(guān)鍵一步、難點(diǎn)所在，兩道考題之間的“同與不同”等.

2.引導(dǎo)學(xué)生辨析“形同質(zhì)異”與“形異質(zhì)同”

慢，也是這個(gè)道理.審題，就是要看清問(wèn)題的條件是什么，求解目標(biāo)和方向是什么，問(wèn)題與此前練習(xí)過(guò)的哪些問(wèn)題的結(jié)構(gòu)相同或相近，問(wèn)題的關(guān)鍵一步如何突破，要注意哪些易錯(cuò)點(diǎn)，等等，這些都值得認(rèn)真辨析.試想，有些學(xué)生看到考題1及圖1，首先“潛在假設(shè)”只是想到拋物線準(zhǔn)線與焦點(diǎn)的性質(zhì)，則方向就會(huì)走偏，浪費(fèi)寶貴的解題時(shí)間.

3.函數(shù)圖像問(wèn)題要注重精準(zhǔn)構(gòu)圖能力的培養(yǎng)

我們知道，處理幾何圖形問(wèn)題時(shí)，對(duì)于一些特殊圖形，要特別注意構(gòu)圖的準(zhǔn)確性，因?yàn)橐粋€(gè)不準(zhǔn)的圖形往往會(huì)影響、干擾解題方向.如等邊三角形畫(huà)不準(zhǔn)，圍繞等邊三角形開(kāi)展的后續(xù)圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系的探究常常陷入僵局.在探究函數(shù)圖像相關(guān)問(wèn)題時(shí)，也有類似的現(xiàn)象.如考題2揭示了拋物線的幾何性質(zhì)：拋物線上任意一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離相等，如果拋物線的準(zhǔn)線與焦點(diǎn)找得不準(zhǔn)，拋物線開(kāi)口大小畫(huà)得不當(dāng)，則會(huì)嚴(yán)重干擾解題方向.比如考題2的圖并不完整，解題過(guò)程中往往需要畫(huà)出圖形進(jìn)行分析，教學(xué)過(guò)程中，常常發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生將考題2的圖形畫(huà)成像考題1中圖1一樣的圖形，這樣會(huì)對(duì)探求直角形成很大的干擾，若畫(huà)成一個(gè)45°左右的銳角，怎么也難以想到探求直角的思路上.可見(jiàn)，平時(shí)在教學(xué)與訓(xùn)練過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出一個(gè)相對(duì)精準(zhǔn)的草圖是十分重要的.當(dāng)然，一個(gè)精準(zhǔn)的圖形背景是對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的充分解讀和深刻揭示.

三、寫(xiě)在后面

解題即研究，對(duì)于教師的解題研究，我們認(rèn)為，應(yīng)該包括解法探究（一題多解與多解歸一），并在解后反思環(huán)節(jié)想清辨明問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵步驟、易錯(cuò)點(diǎn)所在，等等.在此基礎(chǔ)上，還需要思考由這道題構(gòu)思研發(fā)專題復(fù)習(xí)課有哪些注意事項(xiàng)，需要預(yù)設(shè)哪些鋪墊問(wèn)題，可進(jìn)行怎樣的變式改編，有哪些問(wèn)題可以關(guān)聯(lián)、鏈接，帶領(lǐng)學(xué)生一起思考，提高學(xué)生快速識(shí)別問(wèn)題結(jié)構(gòu)的眼力.可見(jiàn)，教師在解題研究中要做的事還很多，出發(fā)點(diǎn)、用力點(diǎn)和落腳點(diǎn)都應(yīng)該在教學(xué)研究的方向上.

專題復(fù)習(xí)課宜選擇兩種類型的問(wèn)題進(jìn)行關(guān)聯(lián)、鏈接與對(duì)比復(fù)習(xí).如“形異質(zhì)同”問(wèn)題，有些問(wèn)題看似不在同一個(gè)問(wèn)題背景之中，但是求解策略、解題方法、關(guān)鍵步驟等都是相同或相近的，這類問(wèn)題在訓(xùn)練時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生辨析、感悟、體會(huì)它們之間的一致性，發(fā)現(xiàn)深層結(jié)構(gòu)的相似性，這樣能有效訓(xùn)練學(xué)生的“眼力”，在限時(shí)獨(dú)立解題中能提高解題效率.還有一類是“形同質(zhì)異”問(wèn)題，像上文兩道考題這樣，從圖1、圖2來(lái)看差不多，但圖2是與拋物線的準(zhǔn)線、焦點(diǎn)相關(guān)的性質(zhì)，而圖1與準(zhǔn)線、焦點(diǎn)是無(wú)關(guān)的，辨析清楚這些深層結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生盡快明確解題方向，找準(zhǔn)解題思路.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生在解題時(shí)常常對(duì)問(wèn)題的題設(shè)（條件）還沒(méi)有看清辨明就匆忙下手，導(dǎo)致往前進(jìn)展很久，才發(fā)現(xiàn)出發(fā)點(diǎn)就是錯(cuò)的，我們常常說(shuō)審題要