路廣霖，羅亞軍，張希農(nóng)，李錄賢，馬馳騁

(1.西安交通大學 航天航空學院 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安 710049；2.山東理工大學 力學部，山東 淄博 255000)

美國戈達德空間飛行中心曾對早期發(fā)射的57顆衛(wèi)星作過統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果表明：在衛(wèi)星發(fā)射第一天星上發(fā)生的事故中，有30%～60%是由發(fā)射飛行過程中的振動環(huán)境所引起的[1]。作為整個箭體結(jié)構(gòu)的動力裝置，火箭發(fā)動機工作時引起的箭體振動問題無法忽視，發(fā)動機振動劇烈時可能會導致機械損傷和破壞、產(chǎn)品功能下降或失效以及對宇航員身體造成影響，因此研究火箭發(fā)動機振動機理具有重要意義。

火箭發(fā)動機振動問題的公開研究資料大多集中于定性分析。例如，研究表明[2]，火箭發(fā)射時特別是當發(fā)動機燃料燃燒不穩(wěn)定時會對箭體產(chǎn)生較強的隨機形式的推力脈動。由于二級和三級發(fā)動機距離衛(wèi)星較近，其隨機振動的影響將會相當顯著，通常頻率范圍為20～2 000 Hz。然而考慮到發(fā)動機結(jié)構(gòu)、工作環(huán)境的復雜性，在對發(fā)動機實施振動抑制之前，還需要定量分析發(fā)動機上各個振源對關(guān)心位置的振動影響大小，即發(fā)動機的振動傳遞路徑分析。Christensen等[3]利用振動響應(yīng)等效方法研究了火箭發(fā)動機多源隨機載荷的識別問題，但試驗操作要求較高、需要多次測試，在振動傳遞路徑分析方面需要加強。為了克服上述不足，本文通過引入傳遞路徑分析技術(shù)(Transfer Path Analysis，TPA)，定量分析火箭發(fā)動機的主要振動傳遞路徑，以便為發(fā)動機的振動抑制提供依據(jù)。

傳遞路徑技術(shù)的核心難題是確定振動傳遞路徑界面間的動載荷，而這些地方的動載荷往往測不到、測不準[4-8]。圍繞著載荷識別這一難題，近年來涌現(xiàn)多種TPA方法，比如經(jīng)典傳遞路徑分析法、工況傳遞路徑分析法(Operational Transfer Path Analysis,OTPA)[9]和基于模型傳遞路徑分析法(Operational-X Transfer Path Analysis,OPAX)[10]。其中，應(yīng)用最為廣泛和發(fā)展最早的傳統(tǒng)TPA所用的頻響函數(shù)(Frequency Response Function，F(xiàn)RF)矩陣求逆法[11]。受頻響函數(shù)矩陣條件值和數(shù)據(jù)測量誤差的影響，載荷識別是不適定問題，所以基于矩陣求逆法的傳統(tǒng)TPA可能會有較大分析誤差。為了提高發(fā)動機多源激勵載荷識別精度以提供可靠的振動傳遞路徑分析結(jié)果，本文提出一種基于加權(quán)正則化的改進傳遞路徑分析技術(shù)。

相對于基于頻響函數(shù)矩陣求逆法的傳統(tǒng)傳遞路徑分析技術(shù)，本文所提出的方法主要優(yōu)勢在于：通過引入加權(quán)正則化理論，提高了多源載荷識別精度，進而能提供更加可靠的振動傳遞路徑分析結(jié)果。某火箭發(fā)動機試驗結(jié)果證明了所提方法的準確性、可靠性。

1 基于逆矩陣法的傳統(tǒng)TPA理論及誤差分析

1.1 傳統(tǒng)TPA理論

傳遞路徑分析的目的是研究不同振源到目標點的振動貢獻量，以確定主要傳遞路徑，分析時把包含振源激勵的部分稱為主動端，包含目標點響應(yīng)的部分稱為被動端。然而由于振源一般位于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)內(nèi)部而很難對其進行定量分析，因此在傳遞路徑分析中經(jīng)常用等效載荷(力或力矩等形式)替代振源進行研究。試驗中等效載荷一般位于靠近振源的結(jié)構(gòu)表面上，以便等效載荷和真實振源在目標點的響應(yīng)能充分接近，并利于測量頻響函數(shù)?？紤]到實際試驗中目標點響應(yīng)數(shù)量往往比較少并且遠離等效載荷位置，因此常常在等效載荷周圍布置足夠多的參考點，利用參考點響應(yīng)和頻響函數(shù)進行等效載荷識別。設(shè)等效載荷力譜為F(f)∈M×1，目標點、參考點響應(yīng)譜分別為X(f)∈N×1、Y(f)∈K×1，f表示頻率，傳遞路徑分析示意圖見圖1。

系統(tǒng)在振源激勵作用下，目標點和參考點響應(yīng)可以用等效載荷表示為

(1)

式中，HX(f)∈N×M、分別表示等效載荷到目標點和參考點響應(yīng)的頻響函數(shù)矩陣。

圖1 傳遞路徑分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of method of TPA

在傳統(tǒng)傳遞路徑分析中，一般通過頻響矩陣求逆進行等效載荷識別

F=HY,+Y

(2)

其中，

HY,+=(HY,HHY)-1HY,H

(3)

為頻響函數(shù)矩陣的廣義逆矩陣，(·)H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

在貢獻量分析中，一般用下式計算各載荷所對應(yīng)路徑在目標點的振動貢獻量

(4)

以上即是基于FRF矩陣逆矩陣法的傳統(tǒng)傳遞路徑計算分析流程。雖然基于逆矩陣法的載荷識別法雖然原理簡單、容易計算，但實際操作時載荷識別結(jié)果可能有較大的誤差，下節(jié)推導分析基于逆矩陣法進行載荷識別時的誤差界限。

1.2 逆矩陣法TPA的誤差分析

在試驗中，考慮模型誤差和測量誤差的影響，則測量的頻響函數(shù)矩陣和參考點響應(yīng)與實際值有偏差

(5)

此時載荷與參考點響應(yīng)之間的關(guān)系為

(HY+△HY)(F+△F)=Y+△Y?

(6)

其中，△F表示實際載荷與利用逆矩陣法求得載荷之間的差異。

由式(6)可得

(7)

所以

(8)

對式(8)取范數(shù)，得

(9)

由于

(10)

(11)

(12)

式(12)表明，利用逆矩陣法進行載荷識別時，頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)、誤差及響應(yīng)數(shù)據(jù)的測量誤差均會降低載荷識別精度。試驗中為了盡可能降低頻響函數(shù)矩陣的誤差，可以采取提高建模精度和多次測量等方法；而對于頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)和響應(yīng)誤差，下節(jié)將分別通過加權(quán)矩陣和貝葉斯理論以降低二者對載荷識別的不利影響。

2 基于加權(quán)正則化的TPA分析理論

2.1 加權(quán)矩陣

現(xiàn)在通過引入加權(quán)矩陣W來降低頻響函數(shù)矩陣的廣義條件數(shù)，同時也盡可能的去抑制頻響函數(shù)誤差和響應(yīng)誤差的擴大[12]，以達到降低載荷識別誤差的目的。

在式(6)中引入加權(quán)矩陣，此時系統(tǒng)方程為

(13)

其中，根據(jù)文獻[12]，加權(quán)矩陣應(yīng)滿足以下條件

(14)

根據(jù)式(14)，加權(quán)矩陣W可以選為

(15)

其中，

(16)

2.2 基于貝葉斯理論的載荷識別

對于式(13)，假設(shè)頻響函數(shù)誤差足夠小，則可以將其與響應(yīng)誤差結(jié)合，此時系統(tǒng)方程為

(17)

式中，N是加權(quán)矩陣、頻響函數(shù)誤差、響應(yīng)誤差等的函數(shù)，統(tǒng)稱為噪聲。

根據(jù)式(17)，利用貝葉斯理論[13]進行載荷識別的公式為

(18)

(19)

從式(19)可以看出，載荷識別的準確性依賴于似然函數(shù)和先驗分布的準確性，接下來對這二者進行分析。

首先分析響應(yīng)的似然函數(shù)。如前所示，似然函數(shù)是對噪聲N的不確定性的刻畫，因此可以寫成

(20)

(21)

假設(shè)噪聲N各成分之間獨立同分布，將其假定為均值為0、方差為α2的多變量高斯分布，即

(22)

由式(20)、(21)、(22)，似然函數(shù)可寫為

(23)

接下來分析載荷的先驗分布。假設(shè)要識別的載荷為高斯分布，則載荷的先驗分布為

(24)

將式(23)、(24)代入到式(19)中，可得

(25)

其中，λ=α2/β2>0表示正則化參數(shù)，可以通過L曲線準則[14]、交叉驗證準則[15]等方法取得。

通過求解式(25)即可得到載荷值。式(25)即為Tikhonov正則化[16-17]方法進行載荷識別的公式，可見Tikhonov正則化方法是對噪聲和載荷進行特定假設(shè)下的結(jié)果。

2.3 路徑振動貢獻量計算方法的改進

利用式(4)計算的各路徑振動貢獻量為復數(shù)，無法進行直觀的比較。因此綜合幅值與相位影響，提出一種實數(shù)域上的量——綜合振動貢獻量Rcontri，其中第m個振源載荷在第n個目標點綜合振動貢獻量計算公式如下

(26)

3 某火箭發(fā)動機的振動傳遞路徑分析

3.1 試驗描述

火箭發(fā)動機熱試車試驗操作復雜、成本高昂，在實行熱試車試驗前應(yīng)先對發(fā)動機進行地面常溫振動可控試驗，以便初步驗證所提方法適用于發(fā)動機的振動傳遞路徑分析。為此利用某火箭發(fā)動機搭建動力載荷振動測試平臺，利用激振器對發(fā)動機進行單源和多源隨機激勵，測量關(guān)心點的振動加速度響應(yīng)。

試驗中，以發(fā)動機機體到渦輪泵方向為+Y向、豎直向下為+Z向，將發(fā)動機機架部位固定在基座上。結(jié)合發(fā)動機所受載荷特點和試驗條件，選擇發(fā)動機表面推力室頭部-Z向、渦輪泵+X向、氣體發(fā)生器-Z向三個位置作為載荷源(激勵點)，用激振器激勵并在其頂桿一端布置力傳感器以測量激勵值；在每個載荷源周圍布置三個載荷計算參考點(X、Y、Z三向)，選擇關(guān)心位置處作為目標點(X、Y、Z三向)，利用三向加速度傳感器測量載荷計算參考點和目標點振動響應(yīng)。試驗中共有3個路徑載荷(分別為推力室頭部-Z向、渦輪泵+X向、氣體發(fā)生器-Z向)、9個載荷計算參考點和19個目標點(分別為發(fā)生器氧化劑入口單向閥、燃料劑入口單向閥等)，見圖2。

圖2 火箭發(fā)動機振動試驗傳遞路徑示意圖Fig.2 A schematic diagram of the transmission path of the rocket engine vibration test

按照圖3安裝好發(fā)動機振動測試系統(tǒng)并進行振動試驗。首先分別單獨在激勵點推力室頭部-Z向、渦輪泵+X向、氣體發(fā)生器-Z向施加隨機激勵進行單源激勵試驗，以便計算激振載荷到載荷計算參考點和目標點信號間的相干函數(shù)和頻響函數(shù)；然后3個激勵點同時激勵，測量激振器處激振載荷、載荷計算參考點和目標點的振動響應(yīng)，以便傳遞路徑分析并比較各方法優(yōu)劣。

圖3 火箭發(fā)動機振動試驗系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of vibration test system for rocket engine

3.2 試驗分析

利用單源激勵試驗得到的激勵、響應(yīng)數(shù)據(jù)計算各載荷源與載荷計算參考點、目標點信號之間的相干函數(shù)與頻響函數(shù)，其中推力室頭部到氧化劑主導管中部的計算結(jié)果如圖4所示。

(a)相干函數(shù)——推力室頭部到氧化劑主導管中部

(b)頻響函數(shù)——推力室頭部到氧化劑主導管中部

在圖4(a)中，整個頻域上相干函數(shù)小于0.6，部分頻率處相干函數(shù)極低，可能原因是在測試中由于發(fā)動機結(jié)構(gòu)復雜、體型龐大，激振器激振能量不足，引起響應(yīng)測量處響應(yīng)較小，傳感器測量誤差較大所致，這提高了準確識別載荷的難度。在圖4(b)中，頻響函數(shù)較大共振峰值點對應(yīng)的頻率主要在1 000 Hz以后，這說明當振源頻率較高時氧化劑主導管處比較容易發(fā)生幅值較大的共振。

引入加權(quán)矩陣前后頻響函數(shù)矩陣條件數(shù)見圖5，可以看出加權(quán)矩陣可以顯著降低矩陣條件數(shù)。

圖5 矩陣和條件數(shù)對比Fig.5 Comparison of the condition number between and

為了說明加權(quán)正則化方法在載荷識別準確性方面具有優(yōu)勢并進而能更準確地進行傳遞路徑分析，接下來分別利用逆矩陣法和加權(quán)正則化方法對三個振源(推力室頭部、渦輪泵、氣體發(fā)生器)進行路徑載荷識別。以振源渦輪泵處載荷為例進行對比分析，見圖6。

圖6 渦輪泵激勵載荷測量與計算結(jié)果Fig.6 Measurement and calculation of excitation load of the Turbopump

從圖6可以看出：(1)當頻率大于800 Hz時，兩種方法識別出的激勵載荷與測量值吻合較好，即識別精度較高；(2)當頻率小于800 Hz時，相對于測量值，兩種方法在部分頻率上識別誤差較大(如在250 Hz以下、400～450 Hz等，加權(quán)正則化方法激勵載荷識別結(jié)果不理想)，但與廣義逆矩陣法識別結(jié)果相比，加權(quán)正則化方法識別精度相對較高。

計算各路徑在目標點的綜合振動貢獻量和總綜合振動貢獻量，現(xiàn)以目標點氧化劑主導管中部為例進行分析，如圖7、8所示。

圖7 氧化劑主導管中部振動響應(yīng)測量值與計算值比較Fig.7 Comparison between measured and calculated values of vibration response of the oxidant main conduit’s central section

圖8 各路徑在氧化劑主導管中部的振動貢獻量Fig.8 The contribution of each path to the middle of the oxidant main conduit’s central section

從圖7中可以看出，在整個頻域上目標點測量值與計算值吻合的較好。結(jié)合圖6、圖7，基于加權(quán)正則化的傳遞路徑分析技術(shù)具有較高的可靠性。

從圖8可以看出，對于目標點氧化劑主導管中部：路徑推力室頭部在350～600 Hz頻段內(nèi)振動貢獻量較大，且在550 Hz左右處振動貢獻量極大；渦輪泵在1 000～1 250 Hz頻段內(nèi)振動貢獻量較大；氣體發(fā)生器在830～900 Hz頻段振動貢獻量較大。需要注意的是，圖8中在某些頻率處(如渦輪泵振源在500 Hz處)，振源對應(yīng)的振動路徑所對應(yīng)的綜合振動貢獻量在數(shù)值上為負，這是因為該路徑的振動貢獻量與目標點響應(yīng)間的相位差大于90°，即該路徑引起的振動部分抵消了其他路徑引起的振動。

4 結(jié) 論

為了提高火箭發(fā)動機的振動傳遞路徑分析結(jié)果可靠性，本文推導了利用頻響函數(shù)逆矩陣法時載荷識別誤差上界，然后利用加權(quán)矩陣和貝葉斯理論改善了載荷識別精度，提出了基于加權(quán)正則化理論的傳遞路徑分析技術(shù)，最后以某一火箭發(fā)動機為對象進行振動試驗與分析。本文以目標點氧化劑主導管中部為例，進行了傳遞路徑分析。分析結(jié)果表明，相對于利用逆矩陣法進行載荷識別的傳統(tǒng)傳遞路徑分析法，本文所提方法載荷識別結(jié)果更加準確、振動傳遞路徑分析結(jié)果因而更加可靠，并得到了不同頻域上的主要傳遞路徑。確定出主要傳遞路徑后，接下來的工作是對發(fā)動機進行相應(yīng)的振動抑制以檢驗分析結(jié)果的正確性。