江學(xué)良，牛家永，楊 慧，王飛飛

(1.中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410004；2.中南林業(yè)科技大學(xué) 巖土工程研究所，長(zhǎng)沙 410004)

下伏隧道的邊坡結(jié)構(gòu)形式[1]頻繁地出現(xiàn)在我國(guó)地震頻發(fā)的西南山區(qū)中，尤其在2017年8月8日四川九寨溝縣發(fā)生7.0級(jí)地震后，含隧道邊坡的地震穩(wěn)定性問題逐漸成為巖土工程中的研究熱點(diǎn)[2]。

在含隧道邊坡的地震動(dòng)力穩(wěn)定性分析中，確定其屈服加速度是一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。近年來，大量學(xué)者基于擬靜力法對(duì)地震作用下邊坡的屈服加速度進(jìn)行了極限分析[3-4]。文暢平[5]采用塑性極限分析上限定理和正交試驗(yàn)法，對(duì)多級(jí)支護(hù)邊坡屈服加速度及因素敏感性進(jìn)行分析，給出了地震作用下基覆邊坡水平屈服加速度系數(shù)影響因素的敏感性順序。王桂林等[6]將擋土墻和填土看成一個(gè)系統(tǒng)，推導(dǎo)了重力式擋土墻在旋轉(zhuǎn)位移下的水平屈服加速度系數(shù)理論計(jì)算公式。羅渝等[7]根據(jù)極限分析上限定理并結(jié)合多塊體速度場(chǎng)理論，建立地震作用下邊坡地震屈服加速度的多元函數(shù)，提出了一種計(jì)算重力式擋墻加固邊坡動(dòng)力穩(wěn)定性的新方法。肖世國(guó)等[8]基于極限分析上限定理，推導(dǎo)了邊坡地震屈服加速度計(jì)算公式，并結(jié)合 Newmark滑塊位移法推導(dǎo)了坡體地震永久位移的詳細(xì)計(jì)算公式。年廷凱等[9]結(jié)合擬靜力法和極限分析法，推導(dǎo)了多排錨加固復(fù)雜邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)和屈服加速度系數(shù)解析式，提出了錨固土質(zhì)邊坡地震穩(wěn)定性的通用極限分析上限方法。陳春舒等[10]基于極限分析原理，考慮了滑坡體下滑轉(zhuǎn)角和邊坡幾何參數(shù)的影響，推導(dǎo)了邊坡實(shí)時(shí)屈服加速度系數(shù)、實(shí)時(shí)角加速度以及震后水平位移的計(jì)算表達(dá)式。

上述成果僅針對(duì)不含隧道的支護(hù)結(jié)構(gòu)與邊坡系統(tǒng)[11]，目前很少有學(xué)者針對(duì)含有隧道的邊坡進(jìn)行極限分析[12]，關(guān)于含隧道邊坡的屈服加速度研究更是未見文獻(xiàn)報(bào)道，有關(guān)其地震穩(wěn)定性及結(jié)構(gòu)計(jì)算方面的理論遠(yuǎn)沒有跟上工程建設(shè)的步伐[13]，基于此，本文結(jié)合擬靜力法[14]，強(qiáng)度折減法和極限分析上限定理，構(gòu)建含隧道邊坡的破壞模式，以期推導(dǎo)其水平屈服加速度的計(jì)算公式。在此基礎(chǔ)上，對(duì)主要影響因素進(jìn)行敏感性分析。

1 極限分析上限法

極限分析上限法是常用的穩(wěn)定性極限分析方法，在邊坡穩(wěn)定性問題中應(yīng)用廣泛，可以敘述為在所有機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速度場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載最小。其特點(diǎn)是需要構(gòu)造合適的破壞模式和速度場(chǎng)，破壞模式一般由剛塑性體體系構(gòu)成，剛塑性體間由滑動(dòng)面(速度間斷線)隔開，整個(gè)剛塑性體體系的運(yùn)動(dòng)方式需滿足上限定理要求的塑性流動(dòng)和速度相容條件。對(duì)于任意機(jī)動(dòng)容許的破壞機(jī)制，其外力功率不大于內(nèi)能耗散功率。外力功率一般包括由巖土體重力、孔隙水壓力、邊坡超載以及地震荷載所做的功率。內(nèi)能耗散功率則包括破壞面內(nèi)能耗散功率和支護(hù)結(jié)構(gòu)抗力所做的功率。

1.1 基本假定

在參考相關(guān)研究成果的基礎(chǔ)上，為了便于分析作出如下基本假定：

①該巖質(zhì)邊坡為各向同性的均質(zhì)軟巖邊坡；②隧道圍巖視為理想彈塑性體，且服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的c-φ材料；③破壞面為對(duì)數(shù)螺旋線破壞面，通過坡趾并穿過隧道；④將含隧道邊坡穩(wěn)定性分析簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題；⑤將隧道簡(jiǎn)化成圓形截面進(jìn)行計(jì)算，作用在隧道拱頂?shù)呢Q向圍巖壓力簡(jiǎn)化為線性均布荷載q，作用在邊墻處的水平圍巖壓力簡(jiǎn)化為線性均布荷載e；⑥巖土體材料的抗剪強(qiáng)度參數(shù)不隨地震作用而產(chǎn)生變化，并用擬靜力法分析地震效應(yīng)。

1.2 破壞機(jī)構(gòu)

構(gòu)建合理的破壞模式是極限分析上限法的前提和關(guān)鍵。運(yùn)用MIDAS GTS/NX的強(qiáng)度折減法分析模塊模擬含隧道邊坡的破壞模式，圖1為含隧道邊坡的等效應(yīng)變?cè)茍D。由圖1可知滑移面由坡腳穿過隧道的左邊墻和右拱肩，向上延伸至接近坡頂處。這與文獻(xiàn)[15]所給出的空區(qū)在邊坡內(nèi)的最不利位置相同，當(dāng)空區(qū)在滑動(dòng)帶上時(shí)，邊坡的穩(wěn)定性相比于空區(qū)完全處于滑動(dòng)帶內(nèi)和空區(qū)完全處于滑動(dòng)帶外時(shí)最弱。參考相關(guān)文獻(xiàn)[16]，對(duì)數(shù)螺旋線破壞面與實(shí)際破壞面相一致，其滿足運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)的破壞模式與實(shí)際破壞模式較為接近，所以本文采用對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)。

圖1 含隧道邊坡等效應(yīng)變?cè)茍DFig.1 Equivalent effective strain nephogram of slope with tunnel

本文采用如圖1所示的對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)，其破壞面穿過隧道的左邊墻C點(diǎn)和右拱肩B點(diǎn)，隧道半徑為R，O′點(diǎn)至坡腳D點(diǎn)的水平和豎直距離分別為d1和d2。將ABCDA′A區(qū)域視為剛塑性體，以角速度Ω繞旋轉(zhuǎn)中心O(尚未確定)相對(duì)對(duì)數(shù)螺旋面AD以下的靜止材料作剛體旋轉(zhuǎn)，因此AD面為本文研究的破壞機(jī)制的速度間斷面?；鶞?zhǔn)線OA、OD的長(zhǎng)度和傾角分別為r0、θ0和rh、θh，直線OB、OC的長(zhǎng)度和傾角分別為rB、θB和rC、θC。整體破壞機(jī)構(gòu)的高度為H，坡頂距離隧道右拱肩B點(diǎn)的垂直高度為α3H，B點(diǎn)和C點(diǎn)的垂直高度為α2H，隧道左邊墻C點(diǎn)距離坡腳D點(diǎn)的垂直高度為α1H，其中α1，α2和α3為高度系數(shù)，可由方程組(3)確定，A′A長(zhǎng)度為L(zhǎng)。破壞機(jī)構(gòu)由θ0，θh和β確定。

對(duì)數(shù)螺旋曲線方程可表示為[17]

r(θ)=r0·exp[(θ-θ0)·tanφ]

(1)

式中：φ為滑動(dòng)面上任一點(diǎn)處的應(yīng)變速度矢量V與該點(diǎn)處的滑動(dòng)線所成的夾角，即圍巖的內(nèi)摩擦角(°)。r，θ分別為滑動(dòng)面上任一點(diǎn)與O點(diǎn)連線的長(zhǎng)度和傾角。則基準(zhǔn)線OD的長(zhǎng)度為

rh=r0·exp[(θh-θ0)·tanφ]

(2)

(3)

根據(jù)圖2中的幾何關(guān)系可得

H=rhsinθh-r0sinθ0

(4)

(5)

L=r0cosθ0-rhcosθh-Hcotβ

(6)

(7)

圖2 含隧道邊坡對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)Fig.2 Log-spiral failure mechanisms of slope with tunnel

2 上限分析能耗計(jì)算

2.1 外力功率

2.1.1 巖土體重力做功功率

(8)

式中：γ為土的重度(kN·m-3)。f1～f4為關(guān)于(θh，θ0)的函數(shù)，見式(9)～(12)。

圖3為各對(duì)數(shù)螺旋線BCC′區(qū)域的計(jì)算詳圖。因?yàn)槠鋷r土體區(qū)域相對(duì)于整體旋轉(zhuǎn)區(qū)域較小，故將BCC′區(qū)域簡(jiǎn)化為梯形求解該區(qū)域巖土體的重力做功功率。

exp[3(θh-θ0)tanφ]-3tanφcosθ0-sinθ0}

(9)

(10)

(11)

exp[(θh-θ0)tanφ]·cosθh-

(12)

圖3 函數(shù)f4的詳細(xì)計(jì)算圖Fig.3 Detailed calculations of function f4

2.1.2 地震慣性力做功功率

(13)

(14)

式中：參數(shù)f1，f2，f3及f4同上，f5～f8為關(guān)于(θh，θ0)的函數(shù)，見式(15)～(18)。

exp[3(θh-θ0)tanφ]-3tanφsinθ0+cosθ0}

(15)

(16)

(17)

(R+d2-α1H-α2H)·(R+d2-α1H)+

(18)

所以外力做功的總功率為

(19)

令F1=f1-f2-f3-f4，F(xiàn)2=f5-f6-f7-f8，則式(19)變?yōu)?/p>

(20)

2.2 內(nèi)能耗散功率

2.2.1 速度間斷面上的能量耗散

邊坡發(fā)生塑性破壞時(shí)，可認(rèn)為剛塑性區(qū)ABCDA′A內(nèi)部不發(fā)生功率耗散并且局部變形基本一致，速度間斷面AD上的能量耗散可通過積分由下式計(jì)算

(21)

式中：c為土體黏聚力(MPa)，Vcosφ為跨間斷面的切向間斷速度，其他參數(shù)同上。

(22)

2.2.2 襯砌抗力功率

因?qū)?shù)螺旋破壞面穿過隧道，故僅考慮對(duì)數(shù)螺旋面上方巖土體的垂直和水平圍巖壓力。襯砌結(jié)構(gòu)上所承受的力可以看作圍巖壓力，由于襯砌結(jié)構(gòu)阻止圍巖發(fā)生破壞，故襯砌抗力所做的功率與圍巖壓力做的功率大小相等，符號(hào)相反。假定垂直圍巖壓力合力作用點(diǎn)在B′、C′水平距離的中點(diǎn)，水平圍巖壓力合力作用點(diǎn)分別在BB′點(diǎn)和CC′的中點(diǎn)。

(23)

(24)

式中：Fq為豎向圍巖壓力，F(xiàn)el，F(xiàn)er分別為隧道左右兩側(cè)的水平圍巖壓力。f10,、f11和f12為關(guān)于(θh，θ0)的函數(shù)，見式(25)、(26)和(27)。

(25)

(26)

(27)

總襯砌抗力做功為

r0Ω·(Fqf10+Felf11-Ferf12)

(28)

因此，總的內(nèi)能耗散功率為

(29)

由極限分析上限定理可知，當(dāng)外力功率等于內(nèi)能耗散功率，即可求得含隧道邊坡的水平屈服加速度上限解。

(30)

將式(20)、(29)，以及kv=akh(a為水平和豎向地震力比例系數(shù))代入式(30)，整理可得式(31)

(31)

(32)

3 影響因素敏感性分析

3.1 影響因素正交分析

含隧道邊坡水平屈服加速度的影響因素主要有邊坡設(shè)計(jì)參數(shù)，邊坡巖土體物理力學(xué)參數(shù)，淺埋偏壓隧道設(shè)計(jì)參數(shù)和地震荷載參數(shù)。為了簡(jiǎn)化分析，選取以下7個(gè)因素進(jìn)行正交分析：邊坡高度H，坡角β，巖土體的強(qiáng)度折減系數(shù)Fs，黏聚力c，隧道距坡腳的距離d1，隧道半徑R，水平和豎向地震力比例系數(shù)a。根據(jù)實(shí)際工程設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，每個(gè)因素取3個(gè)水平，每個(gè)水平對(duì)應(yīng)9組試驗(yàn)，不考慮各因素之間的交互作用，布置在L27(37)正交試驗(yàn)表中用于正交試驗(yàn)分析[18]。其它因素在計(jì)算時(shí)取：γ=20 kN/m3，φc=50°，α1=0.1，α2=0.2，α3=0.7，d2=4 m。正交試驗(yàn)方案表如表1和表2所示。以每個(gè)因素的每一個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的ky平均值作為該因素的水平屈服加速度臨界值，進(jìn)行各因素的極差分析。正交試驗(yàn)極差分析表如表3所示。

表1 正交試驗(yàn)方案表Tab.1 Table of orthogonal test scheme

表2 正交試驗(yàn)表Tab.2 Table of orthogonal tests

表3 正交試驗(yàn)極差表Tab.3 Range of orthogonal test

極差越大表示試驗(yàn)結(jié)果對(duì)該因素的敏感性越大。由表3可知，以上7個(gè)影響因素的敏感性大小依次為：H>Fs>β>c>d1>R>a。其中，水平屈服加速度對(duì)邊坡高度H，坡角β和巖土體的強(qiáng)度折減系數(shù)Fs的敏感性較大，對(duì)隧道距坡腳的距離d1，隧道半徑R，水平和豎向地震力比例系數(shù)a的敏感性則較小。

3.2 水平屈服加速度影響因素分析

采用控制變量法[19]對(duì)以上7個(gè)影響因素進(jìn)行研究。計(jì)算的基本參數(shù)為：H=15 m，β=45°，φ=30°，c=30 kPa，γ=20 kN/m3，φc=50°，α1=0.1，α2=0.2，α3=0.7，d1=12 m，d2=4 m，R=5 m，F(xiàn)s=1.2，a=1/3。

計(jì)算時(shí)分別取β=40°、45°、50°、55°和60°，其他參數(shù)不變。圖4給出了水平屈服加速度隨坡角的變化規(guī)律。隨著坡角的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)近似線性減小的趨勢(shì)。

圖4 水平屈服加速度系數(shù)隨坡腳的變化規(guī)律Fig.4 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the slope angle

計(jì)算時(shí)分別取Fs=1.0、1.2、1.4、1.6和1.8，其他參數(shù)不變。圖5給出了水平屈服加速度隨強(qiáng)度折減系數(shù)的變化規(guī)律。隨著強(qiáng)度折減系數(shù)的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)非線性減小的趨勢(shì)。

圖5 水平屈服加速度系數(shù)隨強(qiáng)度折減系數(shù)的變化規(guī)律Fig.5 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the shear strength reduction coefficient

計(jì)算時(shí)分別取H=9 m、12 m、15 m、18 m和21 m，其他參數(shù)不變。圖6給出了水平屈服加速度隨邊坡高度的變化規(guī)律。隨著邊坡高度的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)非線性減小的趨勢(shì)。相較于坡角和強(qiáng)度折減系數(shù)，邊坡高度的ky變化幅度最大，說明邊坡高度對(duì)水平屈服加速度系數(shù)的影響程度最大，坡角和強(qiáng)度折減系數(shù)的影響次之。

圖6 水平屈服加速度系數(shù)隨邊坡高度的變化規(guī)律Fig.6 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the height of slope

計(jì)算時(shí)分別取c=20 kPa、25 kPa、30 kPa、35 kPa和40 kPa，其他參數(shù)不變。圖7給出了水平屈服加速度隨黏聚力的變化規(guī)律。隨著黏聚力的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)近似線性增大的趨勢(shì)，其變化幅度適中，說明黏聚力對(duì)水平屈服加速度系數(shù)有一定影響。

圖7 水平屈服加速度系數(shù)隨黏聚力的變化規(guī)律Fig.7 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the cohesion

計(jì)算時(shí)分別取d1=9 m、11 m、13 m、15 m和17 m，其他參數(shù)不變。圖8給出了水平屈服加速度隨隧道距坡腳距離的變化規(guī)律。隨著隧道距坡腳距離的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)近似線性減小的趨勢(shì)，其變化幅度較小，說明隧道距坡腳距離對(duì)水平屈服加速度系數(shù)影響較小。

圖8 水平屈服加速度系數(shù)隨隧道距坡腳距離的變化規(guī)律Fig.8 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the distance between the tunnel and the slope foot

計(jì)算時(shí)分別取R=4 m、4.5 m、5 m、5.5 m和6 m，其他參數(shù)不變。圖9給出了水平屈服加速度隨隧道半徑的變化規(guī)律。隨著隧道半徑的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)近似線性增大的趨勢(shì)，其變化幅度很小，說明隧道半徑對(duì)水平屈服加速度系數(shù)影響很小。

圖9 水平屈服加速度系數(shù)隨隧道半徑的變化規(guī)律Fig.9 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the tunnel radius

計(jì)算時(shí)分別取a=0、1/3、1/2、2/3和1，其他參數(shù)不變。圖10給出了水平屈服加速度隨水平和豎向地震力比例系數(shù)的變化規(guī)律。隨著地震力比例系數(shù)的增加，水平屈服加速度系數(shù)呈現(xiàn)近似線性減小的趨勢(shì)，其變化幅度很小，說明地震力比例系數(shù)對(duì)水平屈服加速度系數(shù)影響很小。

圖10 水平屈服加速度系數(shù)隨水平和豎向地震力比例系數(shù)的變化規(guī)律Fig.10 Change law of the horizontal yield acceleration coefficient with the coefficient of horizontal and vertical seismic force

4 結(jié) 論

基于極限分析上限定理和擬靜力法，推導(dǎo)了地震作用下含隧道邊坡的水平屈服加速度系數(shù)計(jì)算公式，并對(duì)影響因素進(jìn)行敏感性和影響程度分析，主要結(jié)論如下：

(1)建立了含隧道邊坡的對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)，通過對(duì)外力做功功率和內(nèi)部能量耗散功率的計(jì)算，得到了含隧道邊坡的水平屈服加速度系數(shù)上限解。該上限解考慮了隧道位置、隧道埋深、支護(hù)結(jié)構(gòu)抗力、地震慣性力系數(shù)、巖體的黏聚力和強(qiáng)度折減系數(shù)等因素。根據(jù)本文提供的極限分析方法，可進(jìn)一步建立臨界高度上限解和支護(hù)最小抗力上限解，綜合分析邊坡的穩(wěn)定性。

(2)含隧道邊坡水平屈服加速度系數(shù)影響因素的敏感性由大到小依次為：邊坡高度H、巖土體的強(qiáng)度折減系數(shù)Fs、坡角β、黏聚力c、隧道距坡腳的距離d1、隧道半徑R、水平和豎向地震力比例系數(shù)a。

(3)含隧道邊坡的水平屈服加速度系數(shù)隨著邊坡高度H、坡角β、巖土體的強(qiáng)度折減系數(shù)Fs、隧道距坡腳的距離d1和地震力比例系數(shù)a的增大而減小，隨著黏聚力c和隧道半徑R的增大而增大。其中，邊坡高度H，坡腳β、巖土體的強(qiáng)度折減系數(shù)Fs對(duì)水平屈服加速度系數(shù)的影響較大，而黏聚力c、隧道距坡腳的距離d1、隧道半徑R，水平和豎向地震力比例系數(shù)a的影響較小。

(4)本文含隧道邊坡極限分析方法的思想可行，結(jié)果準(zhǔn)確，但仍存在一些不足。本文假設(shè)對(duì)數(shù)螺旋破壞面通過坡腳，并穿過隧道，當(dāng)坡腳很小或?qū)?shù)螺旋面不穿過隧道時(shí)，此類假設(shè)并不合適。在計(jì)算隧道圍巖壓力時(shí)并未考慮偏壓的影響，在一定程度上影響計(jì)算結(jié)果。因此，要得到一種完善且簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，還需要進(jìn)行深入的研究。