李星占，董興建，岳曉斌，黃 文，彭志科

(1.中國(guó)工程物理研究所 機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng) 621900；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

振動(dòng)響應(yīng)傳遞率是一種描述測(cè)點(diǎn)響應(yīng)之間振動(dòng)傳遞特性的物理參數(shù)，與結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)一樣，振動(dòng)響應(yīng)傳遞率與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性緊密相關(guān)?；谡駝?dòng)傳遞率的動(dòng)力學(xué)特性，近年來(lái)傳遞率已經(jīng)在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如結(jié)構(gòu)響應(yīng)估計(jì)[1]、損傷檢測(cè)[2]、工作模態(tài)分析[3]、頻率響應(yīng)函數(shù)的估計(jì)[4]、力辨識(shí)[5]和傳遞路徑分析[6]等。特別是在工作模態(tài)分析領(lǐng)域，基于振動(dòng)響應(yīng)傳遞率的工作模態(tài)分析方法得到了深入的研究和廣泛的應(yīng)用。

Devriendt等[7-8]最早提出基于單參考點(diǎn)傳遞率的工作模態(tài)分析方法。這種方法依賴于傳遞率的動(dòng)力學(xué)特性。在極點(diǎn)處，結(jié)構(gòu)的傳遞率趨近于結(jié)構(gòu)的振型比，且不受激勵(lì)位置和激勵(lì)類型的影響，兩個(gè)不同激勵(lì)狀態(tài)下的單參考點(diǎn)傳遞率的曲線在極點(diǎn)處交叉。通過(guò)對(duì)多次不同激勵(lì)下的傳遞率矩陣進(jìn)行奇異值分解，即可辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的模態(tài)。之后，Devriendt等[9-10]又將這種方法推廣到基于多變量傳遞率和偽傳遞率的工作模態(tài)分析方法。結(jié)果證明，在多輸入的情況下，仍然可以利用振動(dòng)響應(yīng)傳遞率辨識(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)?；趥鬟f率工作模態(tài)分析方法的根本在于極點(diǎn)處傳遞率對(duì)于輸入的獨(dú)立性。當(dāng)輸入增加時(shí)，傳遞率在極點(diǎn)處的特性會(huì)發(fā)生變化。Weijtjens等[11-12]提出了一種針對(duì)多輸入對(duì)輸出系統(tǒng)的工作模態(tài)分析方法。該方法提出利用多參考點(diǎn)傳遞率，通過(guò)分析獲得一組與不同激勵(lì)狀態(tài)下多參考點(diǎn)傳遞率正交的向量，將系統(tǒng)極點(diǎn)的求解轉(zhuǎn)換為一個(gè)非線性特征值問(wèn)題。采用多參考點(diǎn)復(fù)頻域最小二乘方法求解特征值，獲得系統(tǒng)極點(diǎn)的穩(wěn)定圖。周思達(dá)等[13]提出了一種改進(jìn)的基于多參考點(diǎn)響應(yīng)傳遞率的僅輸出模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法，建立了傳遞率的左矩陣分式多項(xiàng)式的參數(shù)化模型，通過(guò)矩陣偽逆解決了之前方法中載荷工況數(shù)與響應(yīng)點(diǎn)數(shù)和參考點(diǎn)數(shù)的約束問(wèn)題。張永年等[14]利用兩種不同載荷情況下的傳遞率構(gòu)造有理函數(shù)，通過(guò)有理分式Forsythe正交多項(xiàng)式法對(duì)其進(jìn)行擬合，得到模態(tài)參數(shù)，并將該方法在機(jī)翼模型中得到了應(yīng)用。

為更好的應(yīng)用振動(dòng)響應(yīng)傳遞率進(jìn)行工作模態(tài)分析，需要對(duì)振動(dòng)響應(yīng)傳遞率的概念和動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。Lage等[15]從力傳遞率和響應(yīng)傳遞率對(duì)比的角度出發(fā)，對(duì)傳遞率的概念進(jìn)行了詳細(xì)的分析。張昱等[16]對(duì)多自由度系統(tǒng)中標(biāo)量傳遞率的不變性進(jìn)行了分析，證明在多激勵(lì)作用下多自由度系統(tǒng)中標(biāo)量傳遞率在某些條件下具有不變性。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文對(duì)傳遞率的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了更加系統(tǒng)深入的分析。首先對(duì)振動(dòng)響應(yīng)傳遞率的概念進(jìn)行了介紹；然后對(duì)傳遞率在不同輸入情況下在系統(tǒng)零極點(diǎn)處的特性和對(duì)系統(tǒng)輸入的依賴性進(jìn)行解析推導(dǎo)分析；隨后通過(guò)數(shù)值算例對(duì)以上特性進(jìn)行驗(yàn)證，并最終將振動(dòng)傳遞率應(yīng)用于非白噪聲激勵(lì)下梁結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

1 振動(dòng)傳遞率的基本概念

對(duì)于一個(gè)多自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為

(1)

式中，M、C、K分別表示系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)(t)為Ni×1的系統(tǒng)輸入向量，x(t)為No×1的系統(tǒng)響應(yīng)向量。

假定系統(tǒng)的初始位移和速度為零，對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行Laplace變換，轉(zhuǎn)換到頻域?yàn)?/p>

X(s)=H(s)F(s)

(2)

其中，H(s)=(Ms2+Cs+K)-1為傳遞函數(shù)。

按照公分母模型，傳遞函數(shù)可表示為

(3)

式中，B(s)為傳遞函數(shù)的公分母模型中的分子多項(xiàng)式，A(s)為分母多項(xiàng)式。任意輸入點(diǎn)i和輸出點(diǎn)o之間的傳遞函數(shù)Hoi(s)為

(4)

式中，φor為第r階模態(tài)向量，Lir為第r階模態(tài)參與因子。系統(tǒng)的極點(diǎn)可以通過(guò)A(s)的根求得，而結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型和模態(tài)參與因子可通過(guò)對(duì)留數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解得到。

已知系統(tǒng)Ni個(gè)激勵(lì)的載荷向量為F(s)，將系統(tǒng)所有的輸出分為兩類，一類為Nr個(gè)參考輸出xR(s)，其它(No-Nr)≥1個(gè)輸出為非參考輸出xL(s)。根據(jù)以上對(duì)傳遞函數(shù)的分析，建立輸出與輸入之間的關(guān)系式

(5)

式中，HL(s)為激勵(lì)到非參考輸出的(No-Nr)×Ni的傳遞函數(shù)矩陣，HR(s)為激勵(lì)到參考輸出的Nr×Ni的傳遞函數(shù)矩陣。定義參考輸出和非參考輸出之間振動(dòng)傳遞率為

xL(s)=TLR(s)xR(s)

(6)

(1)Nr=1

系統(tǒng)中參考輸出的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，式(6)簡(jiǎn)化為單參考點(diǎn)的傳遞率

(7)

單參考點(diǎn)傳遞率可由頻域響應(yīng)的比值直接獲得。

(2)Nr≥2

系統(tǒng)中參考輸出有多個(gè)，式(6)表示多參考點(diǎn)的傳遞率。由式(5)，消除外載荷向量，建立參考輸出和非參考輸出之間的關(guān)系式

(8)

其中，(·)+表示矩陣的偽逆。

結(jié)合式(5)和(8)，定義多參考點(diǎn)的傳遞率為

(9)

如果Nr

2 振動(dòng)傳遞率的特性研究

2.1 輸入的分類

在對(duì)傳遞率的性質(zhì)進(jìn)行研究之前，首先需要對(duì)系統(tǒng)的輸入進(jìn)行分類。根據(jù)各輸入之間是否相關(guān)，可以將輸入的類型分為離散輸入和分布式輸入。離散輸入的激勵(lì)位置與激勵(lì)之間一一對(duì)應(yīng)，不同激勵(lì)位置之間的激勵(lì)不相關(guān)。此時(shí)，激勵(lì)的個(gè)數(shù)Ni與激勵(lì)源的個(gè)數(shù)Ns相同，載荷向量可以表示為

(10)

分布式輸入的不同激勵(lì)之間空間相關(guān)，同一激勵(lì)位置可能對(duì)應(yīng)多個(gè)激勵(lì)，因此，激勵(lì)的個(gè)數(shù)Ni要大于激勵(lì)源Ns的個(gè)數(shù)。此時(shí)，載荷向量可以表示為不相關(guān)激勵(lì)源線性組合的形式

(11)

式中，F(xiàn)i表示第i個(gè)激勵(lì)源對(duì)應(yīng)的空間分布向量，μi(s)表示第i個(gè)激勵(lì)源的激勵(lì)譜值，F(xiàn)μ表示激勵(lì)的空間分布矩陣，μ(s)表示激勵(lì)譜矩陣。

圖1給出了包含兩個(gè)激勵(lì)源的離散輸入和分布式輸入的激勵(lì)分布示例?？梢钥闯?，分布式輸入是離散輸入的廣義推廣。當(dāng)分布式輸入每一個(gè)Fi中只含有一個(gè)非零元素時(shí)，各個(gè)激勵(lì)之間不存在空間相關(guān)性時(shí)，分布式輸入蛻化為簡(jiǎn)單的離散輸入。

圖1 離散輸入(左)與分布式輸入(右)Fig.1 Discrete inputs (left)and distributed inputs (right)

2.2 對(duì)輸入和系統(tǒng)零極點(diǎn)的依賴性

由式(9)所示，傳遞率定義為參考輸出和非參考輸出的之間的關(guān)系。響應(yīng)是激勵(lì)作用在系統(tǒng)上的結(jié)果，由激勵(lì)和傳遞函數(shù)獲得，而傳遞函數(shù)包含了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性?；诖?，研究在不同的輸入情況下激勵(lì)和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性對(duì)傳遞率的影響。

2.2.1Nr=1，Ni=Ns=1

考慮單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在單個(gè)離散輸入下的情況。假設(shè)在k點(diǎn)處激勵(lì)系統(tǒng)，激勵(lì)力為Fk(s)。由式(3)和(7)，任意一個(gè)非參考輸出點(diǎn)與參考輸出點(diǎn)之間的振動(dòng)傳遞率為

(12)

式中，A(s)的根為系統(tǒng)的極點(diǎn)，B(s)的根為系統(tǒng)的零點(diǎn)。傳遞率在運(yùn)算的過(guò)程中消掉了系統(tǒng)的極點(diǎn)，而傳遞函數(shù)HRk(s)的零點(diǎn)成為傳遞率的極點(diǎn)。

由式(12)可知，此時(shí)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入幅值和系統(tǒng)的極點(diǎn)，受系統(tǒng)零點(diǎn)和激勵(lì)位置的影響，傳遞率的極點(diǎn)與系統(tǒng)的極點(diǎn)不重合。

2.2.2Nr=1，Ni=Ns≥2

考慮單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在多個(gè)離散輸入下的情況。為方便推導(dǎo)，以Ni=Ns=2為例進(jìn)行證明。假設(shè)在k、l兩點(diǎn)分別受到激勵(lì)Fk(s)和Fl(s)，由式(7)，任意一個(gè)非參考輸出點(diǎn)與參考輸出點(diǎn)之間的振動(dòng)傳遞率為

(13)

此時(shí)，激勵(lì)Fk(s)和Fl(s)不能直接消掉。將輸出點(diǎn)的響應(yīng)表達(dá)為矩陣形式

(14)

對(duì)式(14)中的矩陣求逆，消掉激勵(lì)力矩陣，此時(shí)傳遞率表示為

(15)

進(jìn)一步，將式(3)中傳遞函數(shù)的公分母模型代入式(15)，可得

(16)

由式(16)可知，對(duì)于多個(gè)離散輸入情況，傳遞率同樣不受系統(tǒng)輸入幅值的影響，獨(dú)立于系統(tǒng)的極點(diǎn)，與系統(tǒng)的零點(diǎn)相關(guān)。

2.2.3Nr=1，Ni≥2，Ns=1

考慮單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在單個(gè)分布式輸入下的情況。假設(shè)系統(tǒng)受到單個(gè)分布式激勵(lì)Fk(s)，作用在Ni≥2個(gè)點(diǎn)上，由式(11)

(17)

由式(7)，任意一個(gè)非參考輸出點(diǎn)與參考輸出點(diǎn)之間的振動(dòng)傳遞率為

(18)

分布式輸入中，F(xiàn)μ表示激勵(lì)源對(duì)應(yīng)的空間分布向量，決定了各點(diǎn)激勵(lì)的幅值和位置的關(guān)系，μi(s)表示激勵(lì)源的激勵(lì)譜值。對(duì)式(18)進(jìn)行運(yùn)算，并代入公分母模型

(19)

從式(19)可以看出，單個(gè)分布式輸入下的單參考點(diǎn)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)的極點(diǎn)，與系統(tǒng)的零點(diǎn)有關(guān)；獨(dú)立于激勵(lì)內(nèi)部的相關(guān)性，與激勵(lì)的位置有關(guān)。

2.2.4Nr≥2，Ni≥2，Ns≥2

考慮多參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在多個(gè)分布式輸入下的情況。此時(shí)，由式(5)和(11)，系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為

(20)

假設(shè)HR(s)F可逆，消掉μ(s)，式(20)可以轉(zhuǎn)化為

xL(s)=HL(s)Fμ(HR(s)Fμ)-1xR(s)

(21)

由此，根據(jù)式(9)傳遞率的定義，可得

TLR(s)=HL(s)Fμ(HR(s)Fμ)-1

(22)

同樣，將式(3)中傳遞函數(shù)的公分母模型代入，可得

TLR(s)=BL(s)Fμ(BR(s)Fμ)-1

(23)

由式(22)和(23)可知，當(dāng)HR(s)F可逆時(shí)，多個(gè)分布式輸入下的多參考點(diǎn)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)的極點(diǎn)，與系統(tǒng)的零點(diǎn)有關(guān)；獨(dú)立于激勵(lì)內(nèi)部的相關(guān)性，與激勵(lì)的位置有關(guān)。在考慮多參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率時(shí)，需要首先判斷互不相關(guān)的輸入的個(gè)數(shù)Ns，然后據(jù)此選擇參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)Nr，使得HR(s)F可逆，才能使傳遞率獨(dú)立于輸入譜μ(s)。

由以上四種情況下的討論，可以得出以下結(jié)論:①振動(dòng)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)本身的極點(diǎn)，與系統(tǒng)的零點(diǎn)相關(guān)；②在離散輸入情況下，振動(dòng)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入幅值；在分布式輸入情況下，當(dāng)HR(s)F矩陣可逆時(shí)，振動(dòng)傳遞率受到系統(tǒng)輸入位置的影響，獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入譜。

2.3 在系統(tǒng)極點(diǎn)處的特性

由2.2節(jié)的分析可知，振動(dòng)傳遞率的極點(diǎn)與系統(tǒng)的極點(diǎn)不重合，不能直接用振動(dòng)傳遞率幅值的峰值估計(jì)系統(tǒng)的極點(diǎn)。本節(jié)將對(duì)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處的特性進(jìn)行研究。

2.3.1Nr=1，Ni=Ns=1

首先，對(duì)最簡(jiǎn)單的單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在單個(gè)離散輸入下的情況進(jìn)行研究。由式(12)可知，此時(shí)兩點(diǎn)之間的傳遞率取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，將式(4)代入，可得

(24)

當(dāng)趨近于系統(tǒng)某一階模態(tài)時(shí)，s趨近于此階的系統(tǒng)極點(diǎn)λm，式(24)轉(zhuǎn)化為

(25)

由上式可知，振動(dòng)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處收斂于系統(tǒng)的模態(tài)向量的比值，且不受激勵(lì)位置和激勵(lì)幅值的影響。

2.3.2Nr=1，Ni=Ns≥2

考慮單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在多個(gè)離散輸入下的情況。以Ni=Ns=2為例進(jìn)行證明。由式(13)可得

(26)

當(dāng)趨近于系統(tǒng)某一階模態(tài)時(shí)，s趨近于此階的系統(tǒng)極點(diǎn)λm，式(26)轉(zhuǎn)化為

(27)

由上式可知，在多個(gè)離散輸入下，單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處仍收斂于系統(tǒng)模態(tài)向量的比值。

2.3.3Nr=1，Ni≥2，Ns=1

考慮單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在單個(gè)分布式輸入下的情況。由式(5)和(17)

(28)

當(dāng)趨近于系統(tǒng)某一階模態(tài)時(shí)，s趨近于此階的系統(tǒng)極點(diǎn)λm，式(28)可以轉(zhuǎn)化為

(29)

將式(4)代入，可得

(30)

(31)

由式(31)，在單個(gè)分布式輸入下，單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處仍收斂于系統(tǒng)的模態(tài)向量的比值。

2.3.4Nr≥2，Ni≥2，Ns≥2

考慮多參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在多個(gè)分布式輸入下的情況。將式(5)和(11)代入式(8)

TLR(s)=HL(s)Fμμ(s)[HR(s)Fμμ(s)]-1

(32)

TLR(s)是一個(gè)(No-Nr)×Nr的矩陣，當(dāng)s趨近于此階的系統(tǒng)極點(diǎn)λm時(shí)，傳遞率在系統(tǒng)的極點(diǎn)處不再趨近于模態(tài)向量的比值。因此，需要建立一種多維的矩陣運(yùn)算去研究傳遞率在極點(diǎn)處的特性。

對(duì)于式(6)，當(dāng)s趨近于此階的系統(tǒng)極點(diǎn)λm時(shí)

(33)

將模態(tài)模型式(4)代入，可得

ΦLm=TLR(λm)ΦRm

(34)

由上式可知，在系統(tǒng)的極點(diǎn)處，傳遞率將參考輸出的模態(tài)振型與非參考輸出的模態(tài)振型聯(lián)系在一起。將上式進(jìn)行變換

(35)

?l=1,2,…,Nl

(36)

其中

(37)

對(duì)于Nl個(gè)不同的激勵(lì)狀態(tài)，可以組成矩陣形式

(38)

由此，可以將極點(diǎn)λm和模態(tài)振型向量Φm的求解轉(zhuǎn)換為式(38)的非線性特征值的求解問(wèn)題。在系統(tǒng)的極點(diǎn)處，傳遞率將參考輸出的模態(tài)振型與非參考輸出的模態(tài)振型聯(lián)系在一起，因而可以利用此特性重新構(gòu)建傳遞率與系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)。

由以上四種情況下的討論，可以得出以下結(jié)論:①單參考點(diǎn)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處趨近于該階模態(tài)向量的比值；②多參考點(diǎn)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處不趨近于模態(tài)向量的比值，需要重新構(gòu)造傳遞率矩陣與模態(tài)向量矩陣的正交關(guān)系，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)。

3 數(shù)值驗(yàn)證

基于圖2所示的4自由度的彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)對(duì)傳遞率的特性進(jìn)行驗(yàn)證。

圖2 四自由度系統(tǒng)Fig.2 Four DOFs system

四自由度系統(tǒng)中，m=1 kg，k=1 000 N/m，c=0.5 N/(m/s)，采用Newmark方法計(jì)算梁的響應(yīng)，系統(tǒng)的固有頻率分別為3.11、5.92、8.14、9.57 Hz。

首先考慮不同輸入下的單參考點(diǎn)傳遞率。圖3(a)為單個(gè)離散輸入情況下單參考點(diǎn)的傳遞率。深色和淺色的曲線分別表示系統(tǒng)在第1和第2點(diǎn)受到白噪聲激勵(lì)下的傳遞率T12。由圖中可知，傳遞率連續(xù)光滑，表示其獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入；傳遞率的峰值與系統(tǒng)的極點(diǎn)不重合，表示其獨(dú)立于系統(tǒng)的極點(diǎn)。兩種不同激勵(lì)位置下的傳遞率相交于系統(tǒng)的極點(diǎn)，但交點(diǎn)的個(gè)數(shù)多余實(shí)際的系統(tǒng)極點(diǎn)。在系統(tǒng)辨識(shí)時(shí)，可通過(guò)增加激勵(lì)狀態(tài)或求解奇異值的方法剔除多余的計(jì)算極點(diǎn)。

依次對(duì)圖3(b)中多個(gè)離散輸入，圖3(c)中單個(gè)分布式輸入，圖3(d)中多個(gè)分布式輸入下單參考點(diǎn)的傳遞率分析，可以得出單參考點(diǎn)傳遞率在任意輸入形式下都相交于系統(tǒng)的極點(diǎn)，但交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能多于極點(diǎn)數(shù)；除多分布輸入外，其它輸入下的單參考點(diǎn)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入。

圖3 不同輸入情況下的單參考點(diǎn)傳遞率及其與系統(tǒng)極點(diǎn)(虛線)的關(guān)系

Fig.3 Transmissibility under different input and the system poles (dotted line)

為進(jìn)一步驗(yàn)證傳遞率對(duì)輸入的獨(dú)立性，計(jì)算有色噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)的傳遞率。圖4為系統(tǒng)在包含有單個(gè)有色噪聲輸入下的響應(yīng)頻譜。有色噪聲中包含頻率為4 Hz的信號(hào)分量，在其激勵(lì)下，系統(tǒng)的響應(yīng)中4 Hz信號(hào)分量的幅值大于第二、三、四階固有頻率的幅值。計(jì)算在此激勵(lì)下的單參考點(diǎn)傳遞率，圖5所示為在點(diǎn)1和2兩個(gè)位置激勵(lì)下傳遞率T12的曲線。可以看出，最終獲得的傳遞率不受有色噪聲成分的影響，且仍相交于系統(tǒng)的極點(diǎn)。

圖4 有色噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的頻譜圖Fig.4 Spectrum of response under colored noise excitation

為驗(yàn)證多參考點(diǎn)傳遞率的特性，計(jì)算在多個(gè)分布式輸入下的多參考點(diǎn)傳遞率。圖6為系統(tǒng)在兩個(gè)分布式輸入下的多參考點(diǎn)傳遞率。選取1和2為參考點(diǎn)，3和4點(diǎn)即為非參考點(diǎn)，采用H1估計(jì)方法計(jì)算兩參考點(diǎn)的傳遞率。由圖6可知，計(jì)算獲得的多參考點(diǎn)傳遞率連續(xù)光滑，表明此時(shí)其獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入。但多參考點(diǎn)傳遞率的交點(diǎn)與系統(tǒng)的極點(diǎn)不再重合，因此無(wú)法直接通過(guò)不同輸入情況下的傳遞率相交獲得系統(tǒng)的極點(diǎn)，且傳遞率的峰值與系統(tǒng)的極點(diǎn)也不重合。

圖5 單個(gè)有色噪聲輸入下的單參考點(diǎn)傳遞率:Nr=1,Ni=Ns=1Fig.5 Single reference trans-missibility under single colored noise input: Nr=1,Ni=Ns=1圖6 兩個(gè)分布式輸入下的多參考點(diǎn)傳遞率:Nr=2,Ni=3,Ns=2Fig.6 Multiple reference trans-missibility under two distributed inputs: Nr=2,Ni=3,Ns=2

4 在梁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

在以上對(duì)振動(dòng)傳遞率特性研究和分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)用振動(dòng)傳遞率對(duì)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行工作模態(tài)分析。圖7所示為梁結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)實(shí)驗(yàn)裝置。使用兩個(gè)由彈性繩懸吊的激振器對(duì)兩端固支的梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，7個(gè)加速度傳感器均布在固支梁上。由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生激勵(lì)信號(hào)，通過(guò)兩個(gè)功率放大器分別驅(qū)動(dòng)兩個(gè)激振器；由LMS數(shù)據(jù)采集前端采集產(chǎn)生的加速度信號(hào)，通過(guò)測(cè)試軟件LMS Test.Lab獲得時(shí)域響應(yīng)信號(hào)。

圖7 梁結(jié)構(gòu)工作模態(tài)實(shí)驗(yàn)Fig.7 Operational modal analysis of beam structures

為驗(yàn)證振動(dòng)傳遞率的特性，選擇兩種不同的激勵(lì)信號(hào)，第一種情況下采用白噪聲激勵(lì)，第二種情況下采用有色噪聲激勵(lì)。每種激勵(lì)情況下，考慮兩種不同的激勵(lì)狀態(tài)，第一種激勵(lì)狀態(tài)下，只開(kāi)啟圖7中左邊的激振器；第二種激勵(lì)狀態(tài)下，只開(kāi)啟右邊的激振器。采樣頻率為2 048 Hz，采樣時(shí)間為50 s。

圖8所示為在白噪聲激勵(lì)情況下，第4個(gè)傳感器測(cè)試獲得加速度響應(yīng)的頻譜圖?？梢钥闯?，在1 000 Hz內(nèi)，梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)譜中清晰可見(jiàn)有5個(gè)峰值。估算響應(yīng)的振動(dòng)傳遞率，如圖9顯示的是第3個(gè)和第4個(gè)響應(yīng)之間的傳遞率T34在兩次不同激勵(lì)狀態(tài)下的曲線，虛線表示梁結(jié)構(gòu)的前五階實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率。可以看出，曲線光滑，表明沒(méi)有受到輸入幅值的影響；兩條曲線在每一階模態(tài)頻率處存在交點(diǎn)，表明此時(shí)不同的輸入下單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處都收斂于模態(tài)向量的比值；除了極點(diǎn)處之外，兩條曲線還存在冗余的交點(diǎn)，表明僅依靠?jī)蓷l曲線進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)會(huì)產(chǎn)生虛假模態(tài)。

圖8 梁結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的頻譜圖Fig.8 Spectrum of response of beam under white noise excitation

為提高辨識(shí)的準(zhǔn)確度，采用Devriendt等提出的方法構(gòu)建基于單參考點(diǎn)傳遞率的偽逆矩陣。首先，基于多次激勵(lì)的響應(yīng)，構(gòu)建矩陣如下

(39)

式中，Nl表示激勵(lì)的次數(shù)，k為矩陣的參考點(diǎn)。經(jīng)證明，該矩陣的偽逆矩陣的極點(diǎn)與系統(tǒng)的極點(diǎn)一致，因此，通過(guò)對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解，由矩陣的奇異值即可指示系統(tǒng)的極點(diǎn)。

圖10所示為白噪聲激勵(lì)下梁結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)極點(diǎn)指示圖。由于有兩次激勵(lì)，獲得矩陣的奇異值曲線有兩條，其中數(shù)值最大的第一條奇異值曲線指示出梁結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)頻率。可以看出，此時(shí)辨識(shí)出在該頻率內(nèi)結(jié)構(gòu)存在5階固有頻率，與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的結(jié)果一致。

圖9 不同激勵(lì)點(diǎn)白噪聲輸入下的單參考點(diǎn)傳遞率T34Fig.9 Single reference trans-missibility T34 under different white noise input圖10 白噪聲激勵(lì)下梁結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)指示圖Fig.10 Poles indicator of beam structure under white noise input

在第二種情況下，采用有色噪聲激勵(lì)梁結(jié)構(gòu)。激勵(lì)信號(hào)中帶有60 Hz的諧波信號(hào)，在圖11所示的響應(yīng)譜圖中可以看出，響應(yīng)中存在60 Hz和960 Hz兩個(gè)比較明顯的諧波成分。估算響應(yīng)的振動(dòng)傳遞率，圖12顯示的是傳遞率T34的曲線?？梢钥闯觯藭r(shí)傳遞率曲線依舊光滑，相交于系統(tǒng)的極點(diǎn)，且存在冗余的交點(diǎn)。

圖11 梁結(jié)構(gòu)在有色噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的頻譜圖Fig.11 Spectrum of response of beam under colored noise excitation

同樣對(duì)響應(yīng)進(jìn)行工作模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，圖13顯示的是系統(tǒng)極點(diǎn)的指示圖，可以看出此時(shí)的辨識(shí)結(jié)果沒(méi)有受到有色噪聲成分的影響，辨識(shí)結(jié)果仍然只有五個(gè)峰值。表1對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析和兩次不同輸入情況下的工作模態(tài)分析辨識(shí)的模態(tài)頻率進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明兩次工作模態(tài)分析的模態(tài)頻率辨識(shí)結(jié)果非常準(zhǔn)確。表2對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析和兩次工作模態(tài)分析辨識(shí)的模態(tài)阻尼進(jìn)行了的對(duì)比。首先，工作模態(tài)分析無(wú)法建立頻響函數(shù)，模態(tài)阻尼的辨識(shí)不夠精確；其次，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中錘擊時(shí)激振器靜止懸吊，而工作模態(tài)分析時(shí)激振器發(fā)生振動(dòng)，兩種情況下系統(tǒng)的剛度和阻尼發(fā)生變化，且阻尼受到的影響更大，導(dǎo)致阻尼辨識(shí)結(jié)果存在差異。表3和表4分別展示了兩次工作模態(tài)分析獲得的模態(tài)振型，并對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析和工作模態(tài)分析辨識(shí)的振型進(jìn)行了對(duì)比，由振型的MAC值可以看出，兩次工作模態(tài)分析中振型的辨識(shí)結(jié)果都非常準(zhǔn)確。

圖12 不同激勵(lì)點(diǎn)有色噪聲輸入下的單參考點(diǎn)傳遞率T34Fig.12 Single reference transmissibility T34 under dif-ferent colored noise input圖13 有色噪聲激勵(lì)下梁結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)指示圖Fig.13 Poles indicator of beam structure under colored noise input

表1 模態(tài)頻率辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of natural frequencies using different methods

表2 模態(tài)阻尼辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of modal damping using different methods

表3 白噪聲激勵(lì)下的模態(tài)振型及與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型的對(duì)比Tab.3 Comparison of modal shape between EMA and white noise excited OMA

模態(tài)1模態(tài)2模態(tài)3模態(tài)4模態(tài)5MAC=1.00MAC=1.00MAC=0.98MAC=0.99MAC=1.001.000 02.975 34.533 54.821 04.049 02.496 00.827 41.000 02.152 11.735 00.069 9-1.542 8-2.053 4-0.965 61.000 01.076 0-0.681 4-1.517 4-0.439 81.211 50.933 31.000 01.015 3-0.703 2-1.402 5-0.264 61.148 30.881 51.000 0-0.076 8-1.541 80.261 41.412 5-0.923 0-1.815 4

表4 有色噪聲激勵(lì)下的模態(tài)振型及與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型的對(duì)比Tab.4 Comparison of modal shape between EMA and colored noise excited OMA

模態(tài)1模態(tài)2模態(tài)3模態(tài)4模態(tài)5MAC=1.00MAC=1.00MAC=0.96MAC=0.99MAC=1.001.000 02.974 64.533 54.821 24.049 02.485 10.815 11.000 02.150 01.740 00.069 9-1.542 2-2.051 2-0.963 91.000 01.078 8-0.681 4-1.516 4-0.439 11.211 00.933 31.000 01.015 3-0.703 2-1.401 9-0.267 01.147 90.880 91.000 0-0.076 9-1.540 80.260 91.412 0-0.922 4-1.816 5

在傳統(tǒng)的工作模態(tài)分析中，通常需要額外的方法剔除辨識(shí)結(jié)果中的諧波模態(tài)[17]。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明單參考傳遞率沒(méi)有受到輸入成分的影響，可以很好的解決諧波模態(tài)對(duì)工作模態(tài)辨識(shí)結(jié)果的影響。

5 結(jié) 論

從系統(tǒng)研究振動(dòng)響應(yīng)傳遞率動(dòng)力學(xué)特性的角度出發(fā)，本文對(duì)振動(dòng)傳遞率的定義進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，介紹了單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率和多參考振動(dòng)傳遞率的概念；對(duì)系統(tǒng)的輸入類型進(jìn)行了分類，研究了在不同輸入類型、輸入個(gè)數(shù)下振動(dòng)傳遞率對(duì)輸入和零極點(diǎn)的依賴性，以及在極點(diǎn)處的特性；通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)解析推導(dǎo)獲得特性進(jìn)行分析驗(yàn)證，并將其應(yīng)用在梁結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)辨識(shí)中。結(jié)論如下：

(1)在離散輸入情況下，單參考點(diǎn)振動(dòng)傳遞率獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入幅值；在分布式輸入情況下，振動(dòng)傳遞率受到系統(tǒng)輸入位置的影響，在一定條件下，可獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入譜。

(2)單參考點(diǎn)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處趨近于該階模態(tài)向量的比值；多參考點(diǎn)傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處不趨近于模態(tài)向量的比值，需要重新構(gòu)造傳遞率矩陣與模態(tài)向量矩陣的正交關(guān)系，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)。

(3)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)應(yīng)用的結(jié)果顯示，基于振動(dòng)傳遞率的工作模態(tài)辨識(shí)方法無(wú)需其它附加的模態(tài)驗(yàn)證算法，本質(zhì)上即可避免系統(tǒng)輸入中諧波成分的影響，剔除虛假模態(tài)，提高辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性，獲得非白噪聲激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，但目前該方法需測(cè)得多個(gè)不同激勵(lì)狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，在實(shí)際工程應(yīng)用中受到了一定的限制。