薛廣明,鄧國和

(1.廣西財經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計學(xué)院,廣西南寧 530003)

(2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣西桂林 541004)

1 引言

作為經(jīng)典Black-Scholes模型[1]的一類重要擴(kuò)展模型,2000年,Duffie,Pan和Singleton等[2]學(xué)者提出的多元仿射跳擴(kuò)散模型已廣泛應(yīng)用于金融市場中基礎(chǔ)變量的建模和資產(chǎn)定價(如文獻(xiàn)[3–6]).這是因?yàn)槎嘣律涮鴶U(kuò)散模型不僅能表達(dá)金融市場中資產(chǎn)價格的常規(guī)平穩(wěn)運(yùn)動,而且能較好地捕捉市場的非常規(guī)變動(如尖峰厚尾,波動聚集性,價格自身杠桿效應(yīng),突發(fā)事件爆發(fā)的暴漲暴跌等現(xiàn)象)和長期限特點(diǎn).另外,該模型在數(shù)學(xué)分析與計算上具有易處理特性,能比較方便地獲得期權(quán)價格和對沖策略的解析式.我們知道,金融市場交易了大量奇異期權(quán)(例如,障礙期權(quán),亞式期權(quán),cliquet期權(quán)或ratchet期權(quán)等),作為構(gòu)建基礎(chǔ)金融工具的遠(yuǎn)期生效期權(quán)(Forward-starting options)[7]也引起了學(xué)術(shù)界和業(yè)界越來越多的關(guān)注.遠(yuǎn)期生效期權(quán)是一種路徑依賴型期權(quán)(path-dependent options),它是現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)但在未來某個時刻(稱生效日)才生效的一種期權(quán),該時刻也是期權(quán)執(zhí)行價格的確定時間.可見,遠(yuǎn)期生效期權(quán)的收益對基礎(chǔ)資產(chǎn)的波動率非常敏感.另外,具有遠(yuǎn)期生效特征的金融衍生工具(如cliquet期權(quán)或ratchet期權(quán))通常是三年以上的長期限產(chǎn)品.顯然,在長期限內(nèi)假設(shè)利率,波動率等變量是常數(shù)不符合金融實(shí)際變化規(guī)律.同樣地,長期限內(nèi)金融市場也會發(fā)生非常規(guī)變動的突發(fā)事件.因此,需要綜合考慮波動率和利率過程的隨機(jī)變動,同時還需要關(guān)注市場中突發(fā)事件的作用.本文基于此,在多元仿射跳擴(kuò)散模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建一類利率,股價及其波動率過程滿足具有相關(guān)性的隨機(jī)跳躍風(fēng)險的仿射期限結(jié)構(gòu)模型,并在此模型下討論遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價.

遠(yuǎn)期生效期權(quán)有兩種基本類型,一種是期權(quán)的執(zhí)行價格被設(shè)定為標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)在期權(quán)生效日時價格的一定比例.另一種形式是基于標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)的收益率,這種情形可以看成標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)為到期日價格與生效日價格比值的歐式期權(quán).這種引入不確定性執(zhí)行價格的作用不僅能增強(qiáng)期權(quán)自身作為風(fēng)險管理和投資工具的靈活性,而且增加了確定期權(quán)費(fèi)用的難度.因此,該期權(quán)在金融風(fēng)險管理和產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計中有廣泛應(yīng)用.金融實(shí)務(wù)中,遠(yuǎn)期生效期權(quán)常常被保險公司用來管理蘊(yùn)含于擔(dān)保型股權(quán)掛鉤壽險產(chǎn)品的風(fēng)險,有時也被用來對雇員實(shí)施獎勵,但對其定價僅是最近才受到關(guān)注.在經(jīng)典Black-Scholes模型下,遠(yuǎn)期生效期權(quán)的定價可以較方便地轉(zhuǎn)化為類似的歐式期權(quán)定價,如Rubinstein[8],Wilmott[9],Zhang[10]等.隨后,Luci′c[11],Kruse和N¨ogel[12],Amerio[13],以及黃國安[14]等學(xué)者將經(jīng)典Black-Scholes模型中的常數(shù)波動率推廣到隨機(jī)波動率模型,并在Heston隨機(jī)波動率模型下給出了遠(yuǎn)期生效期權(quán)價格的解析解,并分析了解析解的數(shù)值計算.Hsieh[15],Ahlip和Rutkowski[16],Van Haastrecht和Pelsser[17]在假設(shè)標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)價格過程同時包含隨機(jī)利率和隨機(jī)波動率的情況下獲得了遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價公式.Romo[18],Zhang和Sun[19]考慮了多因子隨機(jī)波動率模型下的遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價問題,并給出了其解析表達(dá)式.Beyer和Kienitz[20]給出了時變Levy過程下的遠(yuǎn)期生效期權(quán)價格的解析表達(dá)式,并分析了VG,NIG等幾個具體模型的定價封閉式解.Ramponi[21]討論了結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換跳擴(kuò)散模型下的遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價問題,分析了兩個狀態(tài)轉(zhuǎn)換Merton跳擴(kuò)散模型下的數(shù)值實(shí)例,并將其與經(jīng)典Black-Scholes模型下的價格作比較.這些研究成果,盡管考慮了波動率過程,利率過程的時變性和隨機(jī)性,也引入了跳擴(kuò)散過程來刻畫市場中的突發(fā)事件,但對波動率過程,利率過程的建模假設(shè)僅限于平穩(wěn)運(yùn)動且基于利率過程與標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)之間的獨(dú)立假定.顯然,這些假設(shè)條件過于簡單.因?yàn)榻鹑诂F(xiàn)實(shí)中,波動率,利率過程均與標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)之間具有緊密的統(tǒng)計依賴關(guān)系,且可能存在共同的跳躍風(fēng)險作用.

本文在前人已有研究成果的基礎(chǔ)上,討論一類含跳風(fēng)險的隨機(jī)波動率和隨機(jī)利率仿射擴(kuò)散模型下遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價問題.主要貢獻(xiàn)為:首先,利用多元仿射跳擴(kuò)散過程的特點(diǎn)建立了瞬時利率,基礎(chǔ)資產(chǎn)及其波動率行為的動力學(xué)模型,該模型中波動率,利率過程與基礎(chǔ)資產(chǎn)均受常規(guī)和非常規(guī)的因素影響,且利率,波動率過程與基礎(chǔ)資產(chǎn)之間存在共同跳躍風(fēng)險成分.利用帶跳的Feynman-Kac定理建立了歐式未定權(quán)益滿足的偏微分-積分方程,并利用仿射期限結(jié)構(gòu)特點(diǎn),獲得了多元隨機(jī)變量的折現(xiàn)聯(lián)合條件特征函數(shù)的顯示解.其次,應(yīng)用Fourier反變換方法和遠(yuǎn)期概率測度技術(shù),研究了兩類歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的定價,分別獲得這些期權(quán)價格計算的顯示公式,為金融風(fēng)險管理(如對沖策略的計算)提供便利.最后,給出數(shù)值計算實(shí)例,比較了利率或波動率過程對期權(quán)價格的不同表現(xiàn),以及利率,波動率過程中共同跳躍風(fēng)險因素對期權(quán)價格和?對沖策略的影響.

2 模型設(shè)定

考慮一個無套利,無摩擦,且可連續(xù)自由進(jìn)行交易的不完全市場,交易有限期限為T=[0,T],T<∞.該市場存在兩類交易證券,第一類證券為無風(fēng)險債券或銀行存款賬戶,其收益按年無風(fēng)險利率進(jìn)行連續(xù)復(fù)利計算.第二類證券為風(fēng)險資產(chǎn)(也稱標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn).例如,股票),其收益St受市場中不確定性因素的影響.現(xiàn)設(shè)市場中所有不確定性因素均定義在一個帶有信息濾波的給定完備概率空間(?,F,(Ft)t∈T,Q)上,其中該概率空間上定義了四維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動{Wt=(W1,t,W2,t,W3,t,W4,t)0,t∈T}和三維純跳躍過程Q是風(fēng)險中性概率測度,信息濾波(Ft)t∈T為滿足通常條件的完備參考族.假定在風(fēng)險中性概率Q下,股票對數(shù)回報Xt=lnSt滿足下列帶跳的隨機(jī)微分方程

其中rt為短期瞬時無風(fēng)險利率,vt是股票的波動率過程,ρ1為股價St與其波動率vt之間的相關(guān)系數(shù),ρ2為股價St與無風(fēng)險利率rt之間的相關(guān)系數(shù),且ρ1,ρ2均為常數(shù).另外,參數(shù)κ1,θ1,σ1與κ2,θ2,σ2分別刻畫波動率與無風(fēng)險利率各自的均值回復(fù)速度,長期平均水平和標(biāo)準(zhǔn)差,假定它們均為非負(fù)常數(shù),并滿足2κiγi≥σ2i,i=1,2.純跳躍過程Zt=(Zxt,Zvt,Zrt)0的分量定義分別為下列復(fù)合Poisson過程

這里N1,t與N2,t是強(qiáng)度參數(shù)分別為常數(shù)λ1與λ2的兩個相互獨(dú)立的Poisson過程,Nt=N1,t+N2,t,λ=λ1+λ2.序列Y1=(Y1,n)n≥1獨(dú)立同分布,表示股價的隨機(jī)跳躍幅度,序列Y2=(Y2,n)n≥1獨(dú)立同分布,表示股票波動率的隨機(jī)跳躍幅度,序列Y3=(Y3,n)n≥1獨(dú)立同分布,表示利率的隨機(jī)跳躍幅度.假設(shè)Zt的聯(lián)合隨機(jī)跳躍幅度之分布具有跳變換θ:

其中

這里ρv,ρr分別是隨機(jī)變量序列Y1與Y2,以及Y1與Y3之間的相關(guān)系數(shù).系數(shù)c1,c2,c3∈C,μ = θ(1,0,0)?1.假定ρv,ρr,μv,μr,μx,v,μx,r,σx,v與σx,r均為常數(shù).

注 2.1式(2.3)–(2.4)的跳變換來源于下述假定:且即模型 (2.1)–(2.4) 不僅考慮了股價與其波動率之間的共同跳躍,并且考慮了股價與無風(fēng)險利率之間的共同跳躍.它們共同跳躍的強(qiáng)度分別為λ1和λ2,且基于波動率,無風(fēng)險利率的跳躍幅度邊際分布滿足指數(shù)分布的條件下對應(yīng)的股價跳躍幅度服從正態(tài)分布.進(jìn)一步,還可以考慮股價,波動率過程,以及無風(fēng)險利率各自的獨(dú)立跳躍情形,將模型(2.1)–(2.4)擴(kuò)展至一般情形,這只需修改假設(shè)(2.2)–(2.3),增加獨(dú)自的跳變換,理論研究上與本文無本質(zhì)差異,但實(shí)證研究與數(shù)學(xué)計算上會很復(fù)雜.本文記這類模型為JSVSI模型(Stochastic Volatility and Stochastic Interest Rate with Jumps).

注2.2當(dāng)λ1=0,λ2=0時,JSVSI模型退化為Ahlip和Rutkowski[16],以及Deng[22]的工作.當(dāng)λ1=0,λ2=0且rt=0時,JSVSI模型變?yōu)镠eston的隨機(jī)波動率模型(即SV模型[23]).當(dāng)λ2=0且rt=0時,JSVSI模型變?yōu)殡S機(jī)波動率跳擴(kuò)散模型(即JSV模型[24]).當(dāng)λ1=0且vt=0時,JSVSI模型變?yōu)殡S機(jī)利率跳擴(kuò)散模型(即JSI模型).故本文市場模型具有較廣泛的適應(yīng)性.

注2.3應(yīng)用Duffie等人[2]方法,容易驗(yàn)證模型(2.1)–(2.4)具有仿射結(jié)構(gòu)特征.另外,考慮利率與波動率之間存在相關(guān)的情形,這將導(dǎo)致模型不再是仿射結(jié)構(gòu)模型,且數(shù)學(xué)上不易處理,可能需要近似計算(見文獻(xiàn)[25]).

按照風(fēng)險中性定價原理,該市場中所有交易證券的折現(xiàn)過程是(?,Ft)-鞅過程.記該市場中到期期限為T,收益依賴于變量(Xt,vt,rt)的任意可交易證券t時刻的價格為F(t,x,v,r),且該證券到期日T時的收益為H(XT,vT,rT)∈L2(?,FT,Q),于是在風(fēng)險中性概率Q下,有

進(jìn)一步,應(yīng)用半鞅It?o公式與帶跳的Feynman-Kac定理,可得F=F(t,x,v,r)滿足下列拋物型偏微分–積分方程

其中R2=(?∞,+∞)×(?∞,+∞),以及fY1,Y2(y1,y2)和fY1,Y3(y1,y3)分別是隨機(jī)向量(Y1,Y2)和(Y1,Y3)的聯(lián)合概率密度函數(shù),其值由注2.1確定.

記 Φ(t,x,v,r;u1,u2,u3,T)為隨機(jī)向量(XT,vT,rT)基于t時刻值(xt,vt,rt)=(x,v,r)下的折項(xiàng)聯(lián)合條件特征函數(shù),其中u1,u2,u3∈C,t∈[0,T],i為虛數(shù)單位.

引理2.1設(shè)股價St滿足模型(2.1)–(2.4),則聯(lián)合條件特征函數(shù)Φ(t,x,v,r;u1,u2,u3,T)具有解析表達(dá)式 exp{iu1x+A(τ,u1,u2,u3)+B(τ,u1,u2,u3)v+C(τ,u1,u2,u3)r},其中

證應(yīng)用半鞅It?o公式與帶跳的Feynman-Kac定理,可得函數(shù)Φ=Φ(t,x,v,r;u1,u2,u3,T)也滿足拋物型偏微分–積分方程(2.6),且邊界條件

由于市場模型具有仿射結(jié)構(gòu)特征.因此,方程(2.6)的解Φ具有指數(shù)形式

于是,將其代入方程(2.6),則待定系數(shù)

分別滿足下列常系數(shù)一階線性微分方程

和

以及

先解方程(2.10),(2.11).應(yīng)用文[6]中引理2.1的證明,可得(2.7),(2.8)式.

下面解方程(2.12).顯然

將(2.7),(2.8)式中的B(t),C(t)代入(2.13)式中右邊四個定積分,經(jīng)繁瑣計算,分別得

由(2.13)式及上述四個積分表達(dá)式,整理得(2.9)式.

注 2.4(1) 當(dāng)λ1= ρ1= κ1= γ1= σ1=0時(即JSI模型),則

(2) 當(dāng)λ2= ρ2= κ2= γ2= σ2=0時(即JSV 模型),則

現(xiàn)令u1=u2=u3≡0,并記T?期無風(fēng)險零息票債券t(t

引理2.2在模型(2.1)–(2.4)下,T-期無風(fēng)險零息票債券t時刻的價格,P(t,T)=P(t,r,t+τ)等于

其中 a(τ)=A(τ,0,0,0),c(τ)=C(τ,0,0,0).

3 遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價

本節(jié)考慮標(biāo)的資產(chǎn)為股票的歐式遠(yuǎn)期生效期權(quán)定價.首先給出遠(yuǎn)期生效期權(quán)的定義,再給出歐式遠(yuǎn)期生效期權(quán)的定價.遠(yuǎn)期生效期權(quán)是一種在未來某指定時刻才開始生效的金融工具,它有兩種類型.一類是該期權(quán)在到期日T時刻的收益基于標(biāo)的資產(chǎn)ST,但執(zhí)行價卻設(shè)定為標(biāo)的資產(chǎn)在生效時刻T0(T00,稱絕對執(zhí)行價).于是,遠(yuǎn)期生效期權(quán)在到期日T時刻的收益為

這里x+=max{x,0}且η=1表示看漲期權(quán)(call option),η=?1表示看跌期權(quán)(put option).本節(jié)僅討論歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的定價,即η=1.對于看跌情形可類似討論.

記類型I(或類型II)的歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)在t∈[0,T]時刻的價格為CI(t,x,v,r,T0,T,k)(或CII(t,x,v,r,T0,T,K)).于是由(2.5)式可得

或

定理3.1設(shè)股價St滿足模型(2.1)–(2.4),則當(dāng)t∈[T0,T]時,

這里<[·]表示[·]的實(shí)部,i是虛數(shù)單位,函數(shù)A,B,C 的值由(2.7)–(2.9)式給出.

證先證(3.5)式.由于當(dāng)前時間t∈[T0,T],故ST0是一個已知數(shù),于是(3.2)式退化為歐式標(biāo)準(zhǔn)看漲期權(quán)的計算.為此記?K=kST0,由(3.2)式可知

其中IA是集合A的示性函數(shù).仿文[22]的思想,應(yīng)用計價單位變換法簡化計算式(3.7)中的兩個條件期望值.對第一個期望值,選擇股價St作為計價單位,并將概率測度Q變換到測度Q1,第二個期望值選擇T-期遠(yuǎn)期測度P(t,T)作為計價單位且將測度Q變換到測度Q2.此時,測度變換的Radon-Nikod′ym 導(dǎo)數(shù)分別為

容易驗(yàn)證,測度Q1和Q2都是概率測度Q的等價鞅測度.因此,在新的概率測度Q1和Q2下,式(3.7)可改寫成

這里φj(u),j=1,2是隨機(jī)變量XT分別在Q1和Q2下基于Ft-的條件特征函數(shù),即

下面在原概率測度Q下計算條件特征函數(shù)φj(u),j=1,2.由式(3.8)及引理2.1,可得

以及

現(xiàn)證(3.6)式.由(3.3),(3.4)式可知

得證(3.6)式.

定理3.2設(shè)股價St滿足模型(2.1)–(2.4),則當(dāng)t∈[0,T0]時,

這里τ0=T?T0,?τ=T0?t,函數(shù)A,B,C的值由(2.7)–(2.9)式給出.

證先證(3.11)式.由于t∈[0,T0],此時ST0不再是一個已知數(shù).由(3.3)式可知

其中IA是集合A的示性函數(shù).顯然,由(3.8)式中的概率測度變換Q1,則(3.13)式的第一項(xiàng)可改寫成

由于隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其特征函數(shù)的唯一確定性關(guān)系,應(yīng)用Fourier反變換法可以由特征函數(shù)求出分布函數(shù).因此的計算僅需要計算隨機(jī)變量基于Ft的條件特征函數(shù),即顯然,由引理2.1及條件期望的迭代性質(zhì)知

下證(3.13)式的第二項(xiàng)中的條件期望.由于

由Fourier反變換法可知

又由引理2.2知

故

以及

結(jié)合(3.15),(3.16)式得證(3.11)式.

最后證明(3.12)式.由(3.3)–(3.5)式,以及當(dāng)t∈[0,T0]時,可知

顯然

其中

以及

其中

故結(jié)合上述式子,整理得證(3.12)式.

期權(quán)的Greek參數(shù)值在管理金融風(fēng)險過程中扮演重要作用,Greeks參數(shù)值中重要的對沖風(fēng)險策略是?值,它是期權(quán)價格關(guān)于標(biāo)的基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的一階偏導(dǎo)數(shù),是描述基礎(chǔ)資產(chǎn)變動1個單位時期權(quán)價格的變化大小,也是應(yīng)用期權(quán)對沖基礎(chǔ)資產(chǎn)的份額.

推論3.3設(shè)股價St滿足(2.1)–(2.4)式,則第I類型的遠(yuǎn)期生效期權(quán)的?對沖策略為

4 數(shù)值計算實(shí)例

本節(jié)應(yīng)用數(shù)值計算實(shí)例分析市場JSVSI模型下歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的價格影響因素.以類型I為主要分析對象.首先,分析歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)分別在JSI,JSV與JSVSI三類模型下價格性能的表現(xiàn).其次,在JSVSI模型下以t∈[0,T0]情形為重點(diǎn)分析利率或波動率模型中幾個重要參數(shù)異動對歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的價格影響.最后,討論利率或波動率與股價之間相關(guān)系數(shù)的敏感性.數(shù)值計算選用Mathematica 8.0和Matlab2015R軟件編程在Intel(R)Core(TM)i5-2500 CPU 3.30GHz,4 GB RAM聯(lián)想計算機(jī)上實(shí)現(xiàn).JSVSI模型的參數(shù)值設(shè)定如下表1,其中部分參數(shù)選自Eraker等人[26]實(shí)證S&P 500指數(shù)的估計值.

表1 :JSVSI模型的基本參數(shù)值設(shè)定

4.1 三類模型下期權(quán)價格的性能表現(xiàn)

表2 :三類模型下歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)價格的性能表現(xiàn)

表2考查了遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)在JSI模型,JSV模型與JSVSI模型下隨著當(dāng)前時間t和當(dāng)前股價S值變化時的價格變化情況.三類模型的基本參數(shù)值見表1,選取當(dāng)前股價St=60,80,100,當(dāng)前時間t=0.0,0.5,0.8,1.0,1.5,2.0,3.5.從表中可以看出,在JSI和JSV模型下遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)價格隨著當(dāng)前時間t的增大(從價內(nèi)期權(quán)變化到價外期權(quán))而減少,但在JSVSI模型下,期權(quán)價格隨著當(dāng)前時間t的增大而增大,在臨近到期日時變小.另外,在三類模型下遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的價格相差較大,其中JSV模型下期權(quán)價格最大,JSVSI模型下次之,JSI模型下期權(quán)價格最小,這是因?yàn)樵贘SVSI模型下同時考慮了利率和股價波動率過程對股價的影響,且波動率與利率對股價的杠桿作用不同.

圖1考查了三類模型下生效日T0對遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)價格和?對沖策略的敏感性.圖1(a),(b)分別繪制了期權(quán)價格和?對沖策略隨生效日T0的變化情況.從圖示可以看出,三類模型下的遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)價格和?對沖策略都是生效日T0的減函數(shù),但JSVSI模型下遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)價格和其?對沖策略的值介于JSV模型和JSI模型相應(yīng)值之間,這與表2分析一致.

圖1 :三類模型下生效日T0對期權(quán)價格和?對沖策略的影響

4.2 JSVSI模型下共同跳躍風(fēng)險參數(shù)的作用

下面在JSVSI模型下分別討論利率rt,波動率過程vt中與股價Xt共同跳躍風(fēng)險參數(shù)對期權(quán)價格及?對沖策略值的影響.

(1)考察波動率過程與股價之間共同跳躍風(fēng)險參數(shù)λ1,μx,v,ρv,σx,v異動時對期權(quán)價格及?對沖策略值的作用,模型中其他參數(shù)值選取同表1,股價當(dāng)前值St設(shè)定為100,當(dāng)前時間t=0.計算結(jié)果見表3.從表3可以看到,跳躍強(qiáng)度參數(shù)λ1對期權(quán)價格及?對沖策略值的影響是反向的,但股價的共同跳躍幅度參數(shù)μx,v和σx,v對期權(quán)價格及?對沖策略值的影響是正向的.同樣地,期權(quán)價格及?對沖策略值是基于股價波動率過程跳躍幅度與股價跳躍大小之間的相關(guān)系數(shù)ρv的增函數(shù).

(2)考察利率過程與股價之間共同跳躍風(fēng)險參數(shù)λ2,μx,r,ρr,σx,r異動時對期權(quán)價格及?對沖策略值的作用,計算結(jié)果見表4.表4表明,跳躍強(qiáng)度參數(shù)λ2對期權(quán)價格及?對沖策略值的影響也是反向的,且影響是顯著的.但利率對股價的共同跳躍幅度參數(shù)μx,r和σx,r影響反映在期權(quán)價格及?對沖策略值的表現(xiàn)是不同的,其中μx,r的影響是反向的,而σx,r的影響正向的.另外,期權(quán)價格及?對沖策略值是基于利率過程跳躍幅度與股價跳躍大小之間的相關(guān)系數(shù)ρr的增函數(shù).

表3 :波動率過程vt與股價Xt共同跳躍風(fēng)險參數(shù)的敏感性

表4 :利率過程rt與股價Xt共同跳躍風(fēng)險參數(shù)的敏感性

5 結(jié)論

本文在一類瞬時利率,股價的瞬時波動率和股價均滿足隨機(jī)跳擴(kuò)散模型且利率,波動率與股價相關(guān)的環(huán)境下應(yīng)用隨機(jī)分析、Fourier反變換等方法給出了歐式遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)定價解析式.這類定價模型能較好地擬合金融實(shí)際中利率,股價的運(yùn)動行為,捕捉金融市場中突發(fā)事件和波動的聚集性.最后,應(yīng)用數(shù)值實(shí)例分析了利率,波動率對期權(quán)價格和?對沖策略值的影響.結(jié)果表明,利率和波動率因子對期權(quán)價格及對沖有顯著影響.這類模型對進(jìn)一步研究其他奇異期權(quán)的定價有非常好的現(xiàn)實(shí)意義.