宋海風(fēng),彭臨平,2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

(2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100191)

1 引言

眾所周知,研究多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)是實(shí)平面微分系統(tǒng)定性理論的重要部分之一,這類問題的主要研究方法有逆積分因子法,Abelian積分法及平均方法等.對(duì)于光滑系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù),已經(jīng)得到了很多重要結(jié)論[1?10].

由于非光滑現(xiàn)象廣泛存在于自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域,近年來非光滑系統(tǒng)越來越被重視,特別是關(guān)于非光滑系統(tǒng)極限環(huán)分支的研究工作更是層出不窮,其中有兩個(gè)重要的工作要特別指出:Liu和Han研究了平面分段光滑的Hamilton系統(tǒng)的閉軌族的極限環(huán)分支問題,推導(dǎo)證明了分段光滑系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)計(jì)算公式[11];Llibre等介紹了不連續(xù)系統(tǒng)的平均理論,給出了平均函數(shù)的表達(dá)式[12].又如Liang和Han利用Melnikov方法,研究了擦邊閉軌內(nèi)外兩側(cè)閉軌族分支出的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù),給出了廣義同宿分支的條件及二重廣義分支的條件[13].Li和Liu研究了分段光滑二次微分系統(tǒng)的閉軌族的極限環(huán)分支問題,借助于不連續(xù)微分系統(tǒng)的平均理論和復(fù)方法,估計(jì)了所考慮的系統(tǒng)在n次擾動(dòng)下分支產(chǎn)生的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)[14].Cen等利用一階平均方法及Chebyshev準(zhǔn)則,研究了一類二次等時(shí)中心在分段光滑的二次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)分支現(xiàn)象,給出了分支產(chǎn)生的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)[15].

本文選取了如下三次可積非Hamilton系統(tǒng)

顯然,系統(tǒng)(1.1)有首次積分

系統(tǒng)(1.1)的相圖如圖1所示.

圖1 :系統(tǒng)(1.1)的相圖

利用非光滑系統(tǒng)的一階平均方法,研究系統(tǒng)(1.1)的任意分段三次多項(xiàng)式小擾動(dòng)即

的極限環(huán)分支現(xiàn)象,其中0<|ε|?1,Pi(x,y),Qi(x,y)(i=1,2)是關(guān)于變量x和y的三次多項(xiàng)式,表達(dá)式如下

根據(jù)系統(tǒng)特點(diǎn),借助于一些數(shù)學(xué)技巧,證明了下述定理.

定理1.1對(duì)于三次等時(shí)中心(1.1),在任意小的分段三次多項(xiàng)式擾動(dòng)下,從未擾系統(tǒng)的周期環(huán)域中至多分支出7個(gè)極限環(huán),而且此上界是可以達(dá)到的.

注 Li和Zhao已在文獻(xiàn)[1]中研究了系統(tǒng)(1.1)在光滑擾動(dòng)情況下的極限環(huán)分支問題,得到的結(jié)論是最多可以從未擾動(dòng)系統(tǒng)的周期環(huán)域中分支出3個(gè)極限環(huán).與得到的結(jié)論相比可知,非光滑擾動(dòng)比光滑擾動(dòng)能分支出更多的極限環(huán).

本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分簡(jiǎn)要介紹非光滑系統(tǒng)的一階平均理論；第三部分計(jì)算系統(tǒng)(1.2)的一階平均函數(shù)；第四部分證明定理1.1.

2 非光滑系統(tǒng)的平均理論

在定理1.1的證明過程中將會(huì)用到一階平均方法,所謂的平均方法即是將極限環(huán)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究一階平均函數(shù)的簡(jiǎn)單零點(diǎn)個(gè)數(shù).下面首先對(duì)平均理論做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹,詳細(xì)論述見文獻(xiàn)[12,16,17].

引理2.1[12]考慮如下非光滑微分系統(tǒng)

其中

F1,F2:R×D→R,R1,R2:R×D×(?ε0,ε0)→R,h:R×D→R都是連續(xù)函數(shù),且這些函數(shù)均是關(guān)于變量θ以T為周期的周期函數(shù),D是R中的開子集,sign(h)是如下定義的符號(hào)函數(shù)

假定h(θ,r)是C1函數(shù)且0為其正則值,記M=h?1(0),Σ ={0}×D*M,Σ0=定義系統(tǒng)(2.1)的一階平均函數(shù)f:D→R如下

假定系統(tǒng)(2.1)滿足下面(i),(ii),(iii)三個(gè)條件.

(i)F1,F2,R1,R2和h關(guān)于r滿足局部Lipschitz條件;

(ii)對(duì)于a∈Σ0,存在a的一個(gè)鄰域V,使得對(duì)任意的z∈ˉV{a},有f(z)6=0及Brouwer度函數(shù)dB(f,V,a)6=0;

為了更方便地驗(yàn)證引理2.1中的條件(ii),本文中我們用文獻(xiàn)[16]中一個(gè)充分條件來代替條件(ii).

注2.1假定f:D→R是C1函數(shù)且f(a)=0,其中D是R中的開子集且a∈D.如果雅克比行列式Jf(a)6=0時(shí),存在a的一個(gè)鄰域V使得對(duì)所有的有

考慮如下形式的平面微分系統(tǒng)

其中P(x,y),Q(x,y),p(x,y),q(x,y):R2→R是連續(xù)函數(shù),ε是小參數(shù).假設(shè)系統(tǒng)(2.3)|ε=0圍繞中心(0,0)的周期環(huán)域

其中H(x,y)=h是系統(tǒng)(2.3)|ε=0的一個(gè)首次積分,hc和hs分別對(duì)應(yīng)中心和分界線處的Hamilton函數(shù)值.

引理2.2[16]考慮系統(tǒng)(2.3)|ε=0及其首次積分H(x,y)=h.假設(shè)對(duì)于周期環(huán)域中的所有(x,y),都有xQ(x,y)?yP(x,y)60成立.設(shè)是一個(gè)連續(xù)函數(shù),并且對(duì)所有的和θ∈ [0,2π)都有

其中μ=μ(x,y)是系統(tǒng)(2.3)|ε=0相應(yīng)于首次積分H(x,y)=h的積分因子,x=ρ(r,θ)cosθ,y= ρ(r,θ)sinθ.P,Q,p 和q 同前.

3 平均函數(shù)的計(jì)算

對(duì)于系統(tǒng)(1.1)的Hamilton函數(shù)

選擇如下的函數(shù)

使得

對(duì)系統(tǒng)(1.2)做變換

則有

其中

這里Pi(θ,r)和Qi(θ,r)是(1.2)式中的Pi(x,y),Qi(x,y)(i=1,2)通過(3.1)式變換得到的.令

則系統(tǒng)(3.2)可以寫成以下標(biāo)準(zhǔn)形式

其中

易驗(yàn)證方程(3.3)滿足引理2.1中的三個(gè)條件,其一階平均函數(shù)為

對(duì)上式中第二個(gè)積分做變量替換θ→π?θ,則(3.4)式轉(zhuǎn)化為

其中

直接計(jì)算可得下列結(jié)論.

引理3.1以下積分等式成立

將引理3.1代入(3.5)式整理得

其中

且

命題3.1式(3.6)中的8個(gè)函數(shù)fi:(0,+∞)→R(i=1,2,3,4,5,6,7,8)是線性無關(guān)的且系數(shù)k1,k2,···,k8關(guān)于擾動(dòng)參數(shù)是相互獨(dú)立的.

證 易知函數(shù)fi:(0,+∞)→R(i=1,2,3,4,5,6,7,8)在r=0處的泰勒展開式分別為

通過計(jì)算可以得到

所以這些函數(shù)是線性無關(guān)的.進(jìn)一步有

由此可知系數(shù)k1,k2,···,k8關(guān)于擾動(dòng)參數(shù)是相互獨(dú)立的.

4 主要結(jié)果的證明

這一部分主要研究f(r)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),為此介紹一個(gè)重要的引理.

引理4.1[2]考慮n個(gè)線性無關(guān)的解析函數(shù)hi(x):D→R,i=1,2,···,n,其中D?R是一個(gè)區(qū)間.假設(shè)存在k∈{1,2,···,n}使得hk(x)在D 上不變號(hào),則一定存在n個(gè)常數(shù)ci(i=1,2,···,n) 使得在D上至少有n?1個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn).

由此引理及命題3.1得

命題4.1函數(shù)f(r)在區(qū)間(0,+∞)上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值至少為7.

定理1.1的證明為了估計(jì)f(r)在r∈(0,+∞)上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小上界,令F(r)=rf(r).顯然F(r)和f(r)在r∈(0,+∞)上有完全相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù).進(jìn)一步有

對(duì)F(r)求五階導(dǎo)得

那么

則函數(shù)(4.1)變?yōu)?/p>

其中

由于多項(xiàng)式B(t)的系數(shù)是對(duì)稱的,若t06=0是其零點(diǎn)的話,則1/t0也為其零點(diǎn),所以g(t)在(0,1)上至多有3個(gè)零點(diǎn),即F(5)(r)在(0,+∞)上至多有3個(gè)零點(diǎn),從而F(r)在[0,+∞)上至多有8個(gè)零點(diǎn).由于F(0)≡0,所以F(r)在(0,+∞)上至多有7個(gè)零點(diǎn),由其定義知函數(shù)f(r)在(0,+∞)至多有7個(gè)零點(diǎn).再根據(jù)命題4.1得f(r)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為7.

根據(jù)引理2.1,系統(tǒng)(1.2)至多有7個(gè)極限環(huán)從未擾動(dòng)系統(tǒng)的周期環(huán)域中分支出來,而且最大個(gè)數(shù)7是可以達(dá)到的.定理1.1得證.