張思娜,鄭李云,陳正爭(zhēng)

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230601)

1 引言

考慮如下一維非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組

其中v,u,θ,p,e分別表示流體的比容、速度、溫度、壓強(qiáng)和內(nèi)能,μ,κ分別是粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù).

本文假設(shè)粘性系數(shù)μ是熱傳導(dǎo)系數(shù)κ的同階或高階函數(shù),且流體壓強(qiáng)p和內(nèi)能e由下式給出

其中R>0是氣體常數(shù),γ>1是絕熱指數(shù).

對(duì)于理想流體,即μ=0,κ=0,方程組(1.1)退化為如下可壓縮Euler方程組

本文考慮方程組(1.1)當(dāng)μ→0,κ→0時(shí)的零耗散極限問(wèn)題,并且期望方程組(1.1)的光滑解趨向于相應(yīng)的Euler方程組(1.3)的Riemann問(wèn)題的解.假設(shè)方程組(1.3)具有如下Riemann初值

其中v±>0,θ±>0,u±∈R為給定的常數(shù).眾所周知,當(dāng)

時(shí),Riemann問(wèn)題(1.3)–(1.4)具有如下接觸間斷解

對(duì)于可壓縮Navier-Stokes方程組(1.1),構(gòu)造接觸間斷波(vcd,ucd,θcd)(t,x)的一個(gè)光滑逼近(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x),稱(chēng)之為“粘性接觸波”.類(lèi)似于文獻(xiàn)[3],我們希望(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)的壓強(qiáng)接近于一個(gè)特定常數(shù),即

這表明,當(dāng)不考慮高階項(xiàng)時(shí),能量方程(1.1)3可寫(xiě)成

將(1.7)式代入(1.8)式中,可得到一個(gè)非線(xiàn)性擴(kuò)散方程

其中c1,c2為兩個(gè)僅依賴(lài)與θ?和?δ的正常數(shù).

有了Θ(t,x)的定義后,可以定義粘性接觸波(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)如下:

從而(ˉv,ˉu,ˉθ)滿(mǎn)足

且

本文的主要結(jié)果如下.

定理 1.1假設(shè)常數(shù)狀態(tài) (v±,u±,θ±)滿(mǎn)足(1.5),(vcd,ucd,θcd)(t,x)是Euler方程組的黎曼問(wèn)題(1.3)–(1.4)的一個(gè)接觸間斷解,且(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)是由(1.11)給出的對(duì)應(yīng)于(vcd,ucd,θcd)(t,x)的粘性接觸波.進(jìn)一步假設(shè)粘性系數(shù)μ是熱傳導(dǎo)系數(shù)κ的同階或高階函數(shù),并且可壓縮Navier-Stokes方程組(1.1)的初始值與(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)的初始值相同.那么存在常數(shù)κ0>0,使得當(dāng)0<κ≤κ0時(shí),方程組(1.1)存在唯一的整體光滑解(v,u,θ)(t,x),滿(mǎn)足對(duì)任意的常數(shù)T>0及h>0,有

其中C是一個(gè)不依賴(lài)于κ的正常數(shù).

注1.1在定理1.1中,接觸間斷波(vcd,ucd,θcd)(t,x)的強(qiáng)度|只要求是有限的,而不需要任何小性條件.

注1.2在文獻(xiàn)[1,2]中,作者研究了可壓縮Navier-Stokes方程組(1.1)的解趨向于接觸間斷波(vcd,ucd,θcd)(t,x)的零耗散極限,并且證明了方程組(1.1)的解趨向于接觸間斷波的收斂率分別為在定理1.1中,得到了一個(gè)更快的收斂率(見(jiàn)(1.15)式),因此在這種意義上,改進(jìn)了文[1,2]中的主要結(jié)果.

下面簡(jiǎn)要地回顧已有的相關(guān)結(jié)果,并且指出本文證明的主要思想.目前關(guān)于可壓縮流體力學(xué)方程趨向于基本波的零耗散極限問(wèn)題已有許多結(jié)果.在不考慮初始層的情形下,Goodman和Xin[5]研究了粘性守恒律方程組趨向于無(wú)粘激波的粘性消失極限.后來(lái),Yu[6]考慮了具有初始層的粘性守恒律方程組趨向于無(wú)粘激波的粘性消失極限問(wèn)題.當(dāng)可壓縮Euler方程組存在一個(gè)激波解時(shí),Hof f和Liu[7],Wang[8]以及Wang[9]證明了一維可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于激波的粘性消失極限.Xin[10]研究了一維等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于稀疏波的零耗散極限問(wèn)題,并且得到了解在初始時(shí)間t=0以外的關(guān)于粘性系數(shù)的收斂率.后來(lái),Jiang[11],以及Xin和Zeng[12]將文[10]中的結(jié)果分別推廣到非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組以及Boltzmann方程的情形.Ma[1,2]研究了一維非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于強(qiáng)接觸間斷波的零耗散極限,并且得到了收斂率.關(guān)于可壓縮流體力學(xué)方程趨向于復(fù)合波的零耗散極限問(wèn)題,讀者可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3,13–16]以及其中的參考文獻(xiàn).

本文的主要目的在于改進(jìn)文[1,2]中的收斂率.在文[1,2]中,作者在先驗(yàn)假設(shè)

下,利用基本能量方法證明了一維非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組的解趨向于接觸間斷波的收斂率分別為這里ε>0是一個(gè)充分小的正常數(shù).與文[1,2]中的分析相比,在本文中,我們利用一個(gè)依賴(lài)于熱傳導(dǎo)系數(shù)κ的先驗(yàn)假設(shè)(2.6),以及一些更加精細(xì)的能量估計(jì)得到了一個(gè)更快的收斂率κ78. 特別地,我們證明了擾動(dòng)函數(shù) (φ,ψ,ζ)(τ,y)的估計(jì)為Cκ(C>0為正常數(shù)),這比文[1,2]中相應(yīng)的結(jié)果更優(yōu)(見(jiàn)以下引理2.2).

本文的結(jié)構(gòu)安排如下.在第二節(jié)中,首先將Navier-Stokes方程組(1.1)的解在粘性接觸波附近作擾動(dòng),從而得到擾動(dòng)方程組;然后證明擾動(dòng)方程組解的先驗(yàn)估計(jì);最后給出主要定理1.1的證明.

記號(hào)在本文中,a=(ai)表示Rn中的向量是矩.C表示某個(gè)常數(shù),且它在不同的能量估計(jì)中可能會(huì)改變.Lp(R)(1≤p≤+∞)表示通常的Lebesgue空間,Hl(R)是通常的l階-Sobolve空間,其范數(shù)為

2 主要結(jié)果的證明

2.1 問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

首先,假設(shè)方程組(1.1)的初始值與粘性接觸波(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)的初始值相同,即(v,u,θ)(0,x)=(ˉv,ˉu,ˉθ)(0,x).定義擾動(dòng)函數(shù)(φ,ψ,ζ)(t,x)為

則由(1.1)和(1.13)式可得

作如下坐標(biāo)變換

則方程組(2.2)可改寫(xiě)成如下形式

其中τ0

Cauchy問(wèn)題(2.4)的局部解的存在唯一性可類(lèi)似于文[17]得到.為簡(jiǎn)潔起見(jiàn),在此省略其證明.為了得到Cauchy問(wèn)題(2.4)的整體解,需要建立其解的一定形式的能量估計(jì).

2.2 先驗(yàn)估計(jì)

在這一小節(jié)中,將證明Cauchy問(wèn)題(2.4)解的如下先驗(yàn)估計(jì).

命題 2.1(先驗(yàn)估計(jì))在定理1.1的條件下,假設(shè)(φ,ψ,ζ)∈ X(τ0,τ2)為Cauchy問(wèn)題(2.4)的解,其中τ0<τ2≤τ1,并且滿(mǎn)足如下先驗(yàn)假設(shè)

那么存在兩個(gè)不依賴(lài)于κ和τ2的正常數(shù)κ0和C0>0,使得當(dāng)0<κ≤κ0時(shí),對(duì)任意的τ∈ [τ0,τ2]成立

在證明命題2.1之前,由先驗(yàn)假設(shè)(2.6)及Sobolev不等式

得

此外,利用κ的小性有

及

命題2.1可由下面的一系列引理得到.對(duì)于低階估計(jì),有

引理2.1在命題2.1的假設(shè)下,存在兩個(gè)不依賴(lài)于κ和τ2的正常數(shù)κ1和C1,使得當(dāng)0<κ≤κ1時(shí),有

引理2.1的證明與文獻(xiàn)[1]中引理3.1的證明完全類(lèi)似,其詳細(xì)過(guò)程在此省略.下面開(kāi)始作高階能量估計(jì).

引理2.2在命題2.1的假設(shè)下,存在兩個(gè)不依賴(lài)于κ和τ2的正常數(shù)κ2和C2,使得當(dāng)0< κ ≤ κ2時(shí),對(duì)任意的 τ∈ [τ0,τ2]有

證為方便起見(jiàn),記M=(v,u,θ)(x,t),ˉM=(ˉv,ˉu,ˉθ)(x,t),則方程組(1.1)可改寫(xiě)為

其中

因此(1.13)式可以改寫(xiě)為

其中ˉF=(0,0,R2)t.現(xiàn)在定義矩陣?A(M)為

其中

令W=M?ˉM,則由(2.15)–(2.17)式可推出

其中

將(2.18)式關(guān)于y求導(dǎo),再將所得方程乘以Wy,并在R上關(guān)于y求積分得

這里 h·,·i 表示 R3上的內(nèi)積,且

現(xiàn)在來(lái)逐項(xiàng)估計(jì)Ii,i=1,2,3,4.首先由(1.11),(2.1),(2.4),(2.5)及(2.10)–(2.12)式,有

類(lèi)似地有

對(duì)于I4,有

利用Cauchy不等式,(2.5)式和引理3.1,有

由ˉM的定義,Cauchy不等式,(2.5)式和引理3.1得

聯(lián)立 (2.25)–(2.28) 式得

類(lèi)似于I42的估計(jì)有

利用分部積分,Cauchy不等式以及(2.10)–(2.12)式可得

同理可得

將(2.24),(2.29)–(2.32)式代入(2.23)式得

聯(lián)立(2.19),(2.20)–(2.22)和(2.33)式,利用κ的小性有

將上式在 [τ0,τ]上積分,則有

將(2.35)式代入(2.34)式中,且令κ充分小,可以得到(2.13)式.引理2.2證畢.

類(lèi)似于引理2.2的證明,可得

引理2.3在命題2.1的假設(shè)下,存在兩個(gè)不依賴(lài)于κ和τ2的正常數(shù)κ3和C3,使得當(dāng)0< κ ≤ κ3時(shí),對(duì)任意的 τ∈ [τ0,τ2]有

令 κ0=min{κ1,κ2,κ3} 以及C0=max{C1,C2,C3},由引理 2.1–2.3 可得命題 2.1.

2.3 定理1.1的證明

現(xiàn)在開(kāi)始證明本文的主要定理.

定理1.1的證明 由于命題2.1已證,可以選取(2.7)–(2.8)式中的κ充分小,使得這樣就封閉了先驗(yàn)假設(shè)(2.6)式.再由標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性技巧,可以將局部解延拓到τ=τ1時(shí)刻.此外,估計(jì)式(2.7)–(2.8)對(duì)τ2=τ1時(shí)刻也成立,即

從而對(duì)任意的常數(shù)T>0,由(2.37)–(2.38)式及Sobolev不等式得

又由(1.10)式可得

因此由(2.39)和(2.40)式可推出

這樣就證明了(1.15)式.定理1.1證畢.