余旭紅

圓的切線的性質定理與判定定理是圓的重要內容，也是各地中考的必考知識。下面結合2018年相關中考試題，歸納與圓的切線有關的考點，以期和同學們共同探討交流。

考點一 切線的判定定理

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

例1 （2018·湖南邵陽）如圖1所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過點B作BD⊥CD，垂足為點D，連接BC。BC平分∠ABD。求證：CD為⊙O的切線。

圖1

【分析】先利用BC平分∠ABD，得到∠OBC=∠DBC，再證明OC∥BD，從而得到OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到結論。

證明：∵BC平分∠ABD，

∴∠OBC=∠DBC，

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，

∵BD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線。

【點評】從已知條件中可知直線過圓上一個已知點，如果原圖中沒有連接OC，則需作輔助線：連接已知點和圓心，得到半徑，然后證明半徑與直線垂直，利用切線判定定理就能說明直線是圓的切線。這種方法簡稱“連半徑，證垂直”。

例2 （2018·貴州安順）如圖2，在△ABC中，AB=AC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D。

求證：AB是半圓O所在圓的切線。

圖2

【解析】先判斷出∠CAO=∠BAO，進而判斷出OD=OE，即可得出結論。

證明：如圖2，作OE⊥AB于E，連接OD、OA，

∵AB=AC，點O是BC的中點，

∴∠CAO=∠BAO，

∵AC與半圓O相切于D，

∴OD⊥AC，

∵OE⊥AB，

∴OD=OE，

∵AB經過半圓O的半徑的外端點，

∴AB是半圓O所在圓的切線。

【點評】從已知條件中不能判斷直線與圓有公共點，輔助線作法是：過圓心作直線的垂線，然后證明垂線段與半徑相等，就能說明直線是圓的切線。這種方法簡稱“作垂直，證半徑”。

考點二 切線的性質定理

切線的性質定理：圓的切線垂直于過其切點的半徑；經過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，就是這個圓的一條切線。

例3 （2018·貴州銅仁）如圖3，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，直線DF是⊙O的切線，D為切點，交CB的延長線于點E。求證：DF⊥AC。

圖3

【解析】如圖3，連接OD、CD，根據圓周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形“三線合一”的性質，得D為AB的中點，所以OD是中位線，由三角形中位線性質，得OD∥AC，再根據切線的性質可得結論。

證明：如圖3，連接OD、CD，

∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，

∵DF為⊙O的切線，

∴OD⊥DF，∴DF⊥AC。

【點評】此題考查了切線的性質、平行線的判定、三角形中位線性質以及等腰三角形的“三線合一”性質，熟練運用這些性質及定理是解本題的關鍵。

考點三 切線的判定與性質綜合應用

例4 （2018·云南曲靖）如圖4，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D恰好與圓心O重合，連接OC、CD、BD，過點C的切線與線段BA的延長線交于點P，連接AD，在PB的另一側作∠MPB=∠ADC。

判斷PM與⊙O的位置關系，并說明理由。

圖4

【解析】如圖4，連接DO并延長，交PM于E，利用折疊的性質得OC=DC，BO=BD，則可判斷四邊形OBDC為菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等邊三角形。從而計算出∠COP=∠EOP=60°，接著證明PM∥BC，得到OE⊥PM，再證明OE的長等于⊙O的半徑，從而可判定PM是⊙O的切線。解題步驟略。

【點評】此類問題需要同學們熟練掌握切線的判定和性質，并加以靈活應用。

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清鎮(zhèn)中學）