趙海濱， 陸志國， 劉 沖， 于清文， 顏世玉

(東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院， 沈陽 110819)

0 引 言

在普通的滑模變結(jié)構(gòu)控制中[1-2]，選擇的線性滑模面使得系統(tǒng)軌跡在到達滑動模態(tài)后的運動是漸進穩(wěn)定的，狀態(tài)跟蹤誤差不能在有限時間內(nèi)收斂到零。為了獲得更好的控制性能，近年來一些學(xué)者提出了終端滑模(Terminal Sliding Mode, TSM)控制方法[3-4]，在滑動超平面中采用非線性函數(shù)，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂到零。終端滑模控制對模型誤差和外部干擾信號具有較好的魯棒性，能夠在有限時間內(nèi)收斂[5-6]，且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度，廣泛用于高速、高精度控制系統(tǒng)。由于在系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡狀態(tài)時，終端滑模控制存在奇異問題，有些學(xué)者提出了非奇異終端滑模(Nonsingular Terminal Sliding Mode, NTSM)控制方法，并用于永磁同步電動機[7-8]和機器人[9-11]等的控制。

本文以二階非線性系統(tǒng)為研究對象，采用非奇異終端滑模控制器進行控制。在非奇異終端滑模控制器中，對普通指數(shù)趨近律進行改進，提出一種變速指數(shù)趨近律。為了抑制抖振現(xiàn)象，在控制器中采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。采用Matlab/Simulink軟件建立了非奇異終端滑?？刂品抡鎸嶒炏到y(tǒng)，對提出的方法進行了驗證。該仿真實驗系統(tǒng)將理論和編程實現(xiàn)相結(jié)合，不僅有助于學(xué)生對基本理論的理解，而且讓學(xué)生了解滑?？刂频膶嶋H應(yīng)用。通過仿真過程，提高學(xué)生的編程能力和創(chuàng)新意識，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1 二階非線性不確定系統(tǒng)

對于二階不確定非線性系統(tǒng)

(1)

式中：x=[x1,x2]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(x)和g(x)為已知連續(xù)非線性函數(shù)，g(x)≠0；d(t)為外部干擾，且|d(t)|≤μ，μ>0；u為控制輸入。

傳統(tǒng)終端滑模的滑模面為：

(2)

式中：β>0；p和q為正奇數(shù)，p>q。采用以下指數(shù)趨近律：

(3)

傳統(tǒng)終端滑?？刂破髟O(shè)計為：

(4)

式中，由于q/p-1<0，在x1=0，x2≠0時會有奇異問題。

2 非奇異終端滑?？刂?/h2>

為了克服傳統(tǒng)終端滑?？刂拼嬖诘钠娈悊栴}，很多學(xué)者提出了非奇異終端滑模方法，能夠很好地解決奇異問題。非奇異終端滑?？刂品椒ǖ幕Ｃ鏋椋?/p>

(5)

式中：β>0；p和q為正奇數(shù)，p>q且1

(6)

在式(3)的指數(shù)趨近律中，其中的參數(shù)k和ε為固定值，不具有自動調(diào)整功能。本文提出如下的變速指數(shù)趨近律：

(7)

采用變速指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑模控制器設(shè)計為：

(8)

為了削弱抖振，在控制器中采用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s)，飽和函數(shù)的表達式為：

(10)

式中：δ>0稱為邊界層。在邊界層之外采用切換控制，在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制。用飽和函數(shù)sat(s)代替sgn(s)后，采用普通指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑模控制器為：

(11)

用飽和函數(shù)sat(s)代替sgn(s)后，采用變速指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑?？刂破鳛椋?/p>

(12)

3 Matlab仿真實驗

Matlab/Simulink軟件具有強大的數(shù)學(xué)運算能力，并且對問題的描述和求解符合人們的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)表達習(xí)慣，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于動態(tài)系統(tǒng)仿真[12-14]。對于使用普通Simulink模塊不易搭建的復(fù)雜控制系統(tǒng)，可以利用Matlab語言編寫M-Function或S-Function文件，通過User-Defined Functions模塊嵌入到Simulink仿真環(huán)境中[15]。M-Function文件采用Matlab語言編寫，程序代碼比較短，且容易實現(xiàn)。因此本文采用M-Function實現(xiàn)非奇異終端滑?？刂葡到y(tǒng)。

本文采用的二階非線性系統(tǒng)[16]為：

(13)

式中：f(x)=-16x2；g(x)=125；x=[x1,x2]T，外部干擾信號為d(t)=0.1sin(20t)。

在仿真過程中，采用變步長的ode45算法，最大步長為1 ms，仿真時間為12 s。利用Matlab/Simulink軟件建立的仿真實驗系統(tǒng)，如圖1所示。圖中，非線性系統(tǒng)1和2完全相同，都是根據(jù)式(13)建立的二階非線性系統(tǒng)模型。在圖1中，NTSM1模塊為采用普通的指數(shù)趨近律的非奇異終端滑?？刂破?，NTSM2模塊為采用變速指數(shù)趨近律的非奇異終端滑模控制器。積分模塊Integrator的初始值通過外部輸入確定。通過手動開關(guān)，對狀態(tài)變量的初始值進行選擇，x(0)=[0.1,0.1]T或x(0)=[30,30]T。仿真結(jié)果可以通過Scope模塊直接顯示，同時利用To Workspace模塊保存到工作空間中。

圖1 非奇異終端滑?？刂品抡鎸嶒炏到y(tǒng)

在所有的控制器中，參數(shù)選擇為：μ=0.1，β=1，p=5，q=3，k=1，ε=0.1。利用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)時，邊界層通常取非常小的數(shù)，本文取δ=0.005。采用變指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑?？刂破髦械膮?shù)c根據(jù)狀態(tài)變量的初始值進行選取。當(dāng)狀態(tài)變量的初始值比較小時，選擇比較大的參數(shù)c；反之，選擇比較小的參數(shù)c。

3.1 實驗1

選取狀態(tài)變量的位置距離平衡點比較近。狀態(tài)變量的初始值為x(0)=[0.1,0.1]T。在圖1中，NTSM1模塊為采用普通的指數(shù)趨近律，采用式(11)對二階非線性系統(tǒng)進行控制。在圖1中，NTSM1模塊內(nèi)的程序如下：

function u1 = fcn(x2, x1)

fx=-16*x2; gx=125;

beta=1; p=5; q=3; mu=0.1; epsilon=0.1; k=1;

s=x1+1/beta*(abs(x2))^(p/q)*sign(x2);

t=beta*q/p*abs(x2)^(2-p/q)*sign(x2);

delta=0.005; d=abs(s/delta);

if d<=1

sat=s/delta;

else

sat=sign(s/delta);

end

u1=-(fx+t+(mu+epsilon)*sat+k*s)/gx;

在圖1中，NTSM2模塊為采用變速指數(shù)趨近律，采用式(12)對二階非線性系統(tǒng)進行控制。狀態(tài)變量的初始值比較小，因此參數(shù)c選擇比較大的值，本文取c=60。在圖1中，NTSM2模塊內(nèi)的程序如下：

function u2 = fcn(x2, x1)

fx=-16*x2; gx=125;

beta=1; p=5; q=3; mu=0.1; epsilon=0.1; k=1;

s=x1+1/beta*(abs(x2))^(p/q)*sign(x2);

t=beta*q/p*abs(x2)^(2-p/q)*sign(x2);

delta=0.005; d=abs(s/delta);

if d<=1

sat=s/delta;

else

sat=sign(s/delta);

end

c=60; m=c*(abs(x1)+abs(x2));

n=fx+t+mu*sat;

u2=-(n+epsilon*sat/(1+m)+(k+m)*s)/gx;

圖2 狀態(tài)初始值較小時x1的響應(yīng)

圖3 狀態(tài)初始值較小時x2的響應(yīng)

采用變速指數(shù)趨近律的非奇異終端滑?？刂破鞯氖諗克俣雀臁?/p>

圖4 狀態(tài)初始值較小時的控制輸入

3.2 實驗2

非奇異終端滑?？刂破髂軌?qū)崿F(xiàn)狀態(tài)變量的有限時間收斂，并能夠有效的避免奇異現(xiàn)象。采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，使得控制輸入沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，并且比較平滑。

圖5 狀態(tài)初始值較大時x1的響應(yīng)

圖6 狀態(tài)初始值較大時x2的響應(yīng)

圖7 狀態(tài)初始值較大時的控制輸入

4 結(jié) 語

本實驗以二階非線性系統(tǒng)為研究對象，分別采用普通指數(shù)趨近律和變速指數(shù)趨近律的非奇異終端滑?？刂破鬟M行控制。非奇異終端滑?？刂破髂軌蛴行У谋苊馄娈惉F(xiàn)象，能夠?qū)崿F(xiàn)有限時間內(nèi)狀態(tài)變量的收斂。對普通的指數(shù)趨近律進行改進，采用變速指數(shù)趨近律時具有更快的收斂速度。采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，能夠有效的抑制抖振現(xiàn)象。采用Matlab/Simulink軟件進行了控制系統(tǒng)仿真實驗，并對實驗結(jié)果進行了分析和討論。通過該仿真實驗有助于學(xué)生對非奇異終端滑?？刂评碚摵蛻?yīng)用的理解，讓學(xué)生了解滑?？刂频木幊虒崿F(xiàn)。以該仿真實驗系統(tǒng)為平臺，學(xué)生還可以自己編寫程序進行仿真實驗，對控制方法進行驗證，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高編程能力和創(chuàng)新意識。

學(xué)校要求教師在他的本職工作上成為一種藝術(shù)家。

——愛因斯坦