張 東

(北京教育學(xué)院朝陽分院 100026)

培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中新增的課程目標(biāo)，也是中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中科學(xué)精神、實(shí)踐創(chuàng)新兩大核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn).這就要求廣大教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不能只關(guān)注分析和解決問題，而應(yīng)該要把發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題當(dāng)作一個(gè)不可分割的整體，從解決問題向問題解決轉(zhuǎn)變.復(fù)習(xí)課作為課堂教學(xué)的重要形式，理所當(dāng)然應(yīng)適時(shí)擔(dān)負(fù)起培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的使命.然而很多教師認(rèn)為復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是學(xué)生進(jìn)行知識體系的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和提升分析和解決問題能力，而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題不是復(fù)習(xí)課的任務(wù).事實(shí)上，如果能以發(fā)現(xiàn)和提出問題的方式推進(jìn)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，不僅能大大激發(fā)學(xué)生復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)學(xué)生知識體系建構(gòu)的主體性，而且能使復(fù)習(xí)課從發(fā)展“雙能”走向發(fā)展“四能”，從而實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)課教學(xué)效能和育人目標(biāo)的全面升級.本文將結(jié)合具體教學(xué)談如何基于發(fā)現(xiàn)和提出問題推進(jìn)復(fù)習(xí)課教學(xué).

1 從知識體系的簡單展示走向?qū)W生的自主建構(gòu)

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)理論，學(xué)生能將知識舉一反三、觸類旁通、應(yīng)用新情境的關(guān)鍵是學(xué)生能否將所學(xué)知識結(jié)構(gòu)化.知識在新授課階段是點(diǎn)狀的，復(fù)習(xí)課的一個(gè)主要教學(xué)任務(wù)就是讓學(xué)生能對一個(gè)單元或幾個(gè)單元的知識基于一定的邏輯主線串聯(lián)起來，從而形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化的知識體系.雖然很多老師也有這方面的意識，但要么是單純的讓學(xué)生回顧有哪些概念、哪些性質(zhì)、哪些定理，缺乏從新的高度對全體知識進(jìn)行統(tǒng)攝，學(xué)生思維含量低；要么教師干脆直接展示自己準(zhǔn)備好的知識結(jié)構(gòu)圖，赤裸裸的直接就結(jié)構(gòu)講結(jié)構(gòu)，造成學(xué)生參與度不高, 只知其然不知起所以然，昏昏欲睡.如果此時(shí)能采用學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題的方式推進(jìn)知識體系的建構(gòu)，將能極大的提高學(xué)生知識建構(gòu)的主動(dòng)性、有效性及思維含量.下面以一節(jié)二次函數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)片斷為例進(jìn)行說明.

課例1 二次函數(shù)復(fù)習(xí)課

教師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)完了二次函數(shù)，請你觀察圖1中的二次函數(shù)圖象，如果要讓你結(jié)合這個(gè)圖象給自己的同桌提一個(gè)數(shù)學(xué)問題，你能提什么數(shù)學(xué)問題呢？請把問題寫在老師給大家發(fā)的A4紙上，并貼在黑板上.

圖1

學(xué)生一聽是要給其他同學(xué)提問題，立刻來了興趣，紛紛觀察圖象，開動(dòng)腦筋，不斷提出自己的數(shù)學(xué)問題：

問題1：此拋物線的解析式是什么？

問題2：此拋物線的對稱軸是什么？

問題3：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

問題4：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

問題5：此函數(shù)的是否有最值？最值是多少？

問題6：此拋物線何時(shí)y隨x的增大而增大，何時(shí)y隨x的增大而減小？

問題7：點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是多少？

師：這些問題都是從哪個(gè)角度提出的，如果換個(gè)角度你還能想到哪些問題？

學(xué)生對比這些問題，發(fā)現(xiàn)都是從二次函數(shù)圖象特征和性質(zhì)(增減性、對稱性)來提的，如果不從這些角度提，還可以從哪個(gè)角度提問呢？稍思片刻后，一個(gè)學(xué)生提出問題：“一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況是怎么樣的？如果有根，這個(gè)根是多少？如何由二次函數(shù)的解析式和圖象分別確定一元二次方程根的情況？”其他同學(xué)聽到這三個(gè)問題后，不由發(fā)出“哇”的贊嘆聲，還有部分同學(xué)小聲說“我怎么沒想到”.在這位同學(xué)的啟發(fā)下，許多學(xué)生又從不同角度提出自己的數(shù)學(xué)問題：

問題8：方程ax2+bx+c=-3的根的情況怎么樣？

問題9：不等式ax2+bx+c>0的解集是什么？

問題10：如果將此拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線是什么？

問題11：如果將此拋物線繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線解析式是什么？

問題12：如果將此拋物線x軸下方的拋物線延x軸翻折，那么所得新圖象的解析式是什么？

問題13：如果點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且D的橫坐標(biāo)為a,那么當(dāng)x>a時(shí)，函數(shù)y的取值范圍是什么？

問題14：△ABC的面積是多少？它是什么樣的三角形？

問題15：點(diǎn)A、E、F、B四點(diǎn)是否在同一圓上？

師：剛才同學(xué)們提出了很多關(guān)于二次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，那么請大家對以上問題涉及的知識進(jìn)行分類，在分類的基礎(chǔ)上畫出涉及二次函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖.

學(xué)生畫出結(jié)構(gòu)圖后，教師請部分同學(xué)展示、講解自己的知識結(jié)構(gòu)圖，教師和其他同學(xué)一起進(jìn)行評價(jià)與完善，最終形成一個(gè)比較完整的關(guān)于二次函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖(如圖2).

圖2

點(diǎn)評在上述教學(xué)中，教師通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)富含數(shù)學(xué)問題的開放性情境，通過讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的方式進(jìn)行了二次函數(shù)知識體系的建構(gòu).在案例中，學(xué)生的興趣被激發(fā)、思維被激活，對復(fù)習(xí)課不再是昏昏欲睡而是興趣盎然，不再是被動(dòng)接受，而是主動(dòng)建構(gòu).他們在發(fā)現(xiàn)和提出問題過程中，不知不覺地在頭腦中進(jìn)行著二次函數(shù)內(nèi)部與外部各種知識的回憶、聯(lián)系及知識間聯(lián)系的建構(gòu).教師又組織學(xué)生對問題進(jìn)行對比、分類、聯(lián)系等思維活動(dòng)，設(shè)計(jì)了畫結(jié)構(gòu)圖以及對知識結(jié)構(gòu)圖的展示、評價(jià)、完善等學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而使學(xué)生對二次函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)從內(nèi)隱化到外顯化，從粗糙化到精致化.這樣的通過學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的方式推進(jìn)復(fù)習(xí)課，不但學(xué)生喜歡，積極性高，更重要的是學(xué)生作為知識體系建構(gòu)的主體，不僅建構(gòu)了知識體系，而且內(nèi)化理解了知識體系，這樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)其遷移性將更強(qiáng).

2 從單一的解決問題還原為全面的問題解決

專題復(fù)習(xí)課是復(fù)習(xí)課中的常見類型，這類復(fù)習(xí)課通常以問題解決為主要形式，以增強(qiáng)學(xué)生問題解決能力為主要目標(biāo).然而當(dāng)前專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)已經(jīng)被異化為“問題解決=解題教學(xué)=題型教學(xué)=刺激-反應(yīng)訓(xùn)練”[1].這種現(xiàn)象顯然窄化了對問題解決能力的認(rèn)識，問題解決能力不僅包括分析和解決問題的能力，還應(yīng)包括發(fā)現(xiàn)和提出問題能力，發(fā)現(xiàn)和提出問題是分析和解決問題的開始.那么如何以發(fā)現(xiàn)和提出問題的方式推進(jìn)學(xué)生的問題解決呢？全美數(shù)學(xué)教師委員(NTCM)在其課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“我們的教學(xué)應(yīng)給學(xué)生提供這樣的機(jī)會(huì)——從給定情境中提出問題，或通過修改已知問題的條件去產(chǎn)生新的問題.”在專題復(fù)習(xí)課教學(xué)中，學(xué)生通常會(huì)先解決一個(gè)原始問題.然后教師會(huì)在原始問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行問題變式和拓展，進(jìn)而提出一系列問題讓學(xué)生思考.這樣的做法對培養(yǎng)學(xué)生對問題的深入思考固然是好的.但可惜的是，這些問題都是教師提出的，教師能否引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和思維自己發(fā)現(xiàn)和提出這些變式問題呢？這樣學(xué)生問題解決的興趣是不是能更濃一些？對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)特別是創(chuàng)新思維是不是更有利一些？是不是對提高學(xué)生分析問題和解決問題也有促進(jìn)作用呢？

課例2 幾何綜合—探究變化中的不變

原始問題：如圖3，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形△ADE，DE交AC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)E在△ABC的外角平分線上.

圖3

當(dāng)學(xué)生解決完此問題后，教師提出問題：

“哪位同學(xué)能在這個(gè)問題的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)想研究的新問題？”

教師提出問題后，學(xué)生一臉驚愕，沒想到老師會(huì)讓自己去提出讓大家研究的數(shù)學(xué)問題.雖然很興奮，但卻一時(shí)提不出問題.這時(shí)教師進(jìn)行了啟發(fā)：“將問題的條件進(jìn)行推廣，探索結(jié)論的適用范圍能否更廣，這是從數(shù)學(xué)角度考慮問題的基本思維，受此啟發(fā)，你想到了什么數(shù)學(xué)問題？”在教師的啟發(fā)下，同學(xué)們紛紛舉手.大多數(shù)學(xué)生提出了這樣的數(shù)學(xué)問題：

問題1：當(dāng)點(diǎn)D是射線BC上一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E是否還在△ABC的外角平分線上？

問題2：當(dāng)點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E是否還在△ABC的外角平分線上？

問題3：將△ABC和△ADE都變?yōu)檎叫螘r(shí)，點(diǎn)E是否也在正方形的外角平分線上？

隨著一個(gè)個(gè)問題的提出，學(xué)生們沸騰起來了，解決問題的熱情特別高漲，都急于想一探究竟.這時(shí)教師組織學(xué)生分組對三個(gè)問題分別進(jìn)行分析、解決和展示，結(jié)果發(fā)現(xiàn)結(jié)論未變.這時(shí)，教師組織學(xué)生進(jìn)行反思：“為什么條件改變了，但結(jié)論卻未變？”，從而引導(dǎo)學(xué)生感悟變化中不變的緣由，使學(xué)生知其然更知其所以然.接下來，教師接著引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：“你還能繼續(xù)提出一些數(shù)學(xué)問題嗎？”看到學(xué)生一臉迷茫，沒有思維方向，這時(shí)教師適時(shí)啟發(fā)：“將條件與結(jié)論互換，逆向思考問題不也是數(shù)學(xué)常見的思考方式嗎？”

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生立刻有了靈感，很多學(xué)生提出問題4：“如果將點(diǎn)E在△ABC的外角平分線上作為條件，其它條件不變，△ADE一定是等邊三角形嗎？”這一問題的提出立刻引來了很多同學(xué)的贊嘆，但很快有同學(xué)反駁：“這個(gè)猜想不一定成立,例如如圖4這種情況下，△ADE就不是等邊三角形”.這時(shí)，同學(xué)陷入沉寂.教師繼續(xù)啟發(fā)：“難道△ADE就一定不可能是等邊三角形嗎？如果增加一個(gè)條件，△ADE是否就有可能等邊三角形呢？”.在老師的點(diǎn)撥下，學(xué)生將問題4精致化，提出了下列問題：

圖4

問題5：當(dāng)∠DAE=60°時(shí)，△ADE是否是等邊三角形？

問題6：當(dāng)∠ADE=60°時(shí)，△ADE是否是等邊三角形？

問題7：當(dāng)∠AED=60°時(shí)，△ADE是否是等邊三角形？

問題8：當(dāng)AD=DE時(shí)，△ADE是否是等邊三角形？

問題9：當(dāng)AE=DE時(shí)，△ADE是否是等邊三角形？

問題10：當(dāng)AD=AE時(shí)，△ADE是否是等邊三角形？

點(diǎn)評在此案例中，學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，從不同的數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出了一系列非常有思維含量的數(shù)學(xué)問題，這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)無疑對學(xué)生深度體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，感悟一般化與分類討論等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展逆向、橫向、縱向思維能力，錘煉深刻性、發(fā)散性、全面性等思維品質(zhì)具有非常好的教育價(jià)值.此外相比教師給出問題，在教師的啟發(fā)下學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣更濃，分析和解決問題的動(dòng)機(jī)更強(qiáng)，對問題的條件和特質(zhì)理解程度更深，對問題間的聯(lián)系和區(qū)別也認(rèn)識更透，這些勢必將對學(xué)生分析和解決問題有極大的提升作用.因此，這樣的教學(xué)會(huì)對復(fù)習(xí)課全面改善學(xué)習(xí)生態(tài)，升級“雙能”到“四能”，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力都具有非常好的的教育意義和價(jià)值.

3 以發(fā)現(xiàn)和提出問題推進(jìn)復(fù)習(xí)課的實(shí)施建議

(1)要基于“情境”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出“數(shù)學(xué)問題是指在情境中提出問題”“在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題”[2].在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師也應(yīng)依據(jù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、深度認(rèn)識問題、感悟數(shù)學(xué)思想的情境，讓學(xué)生借助情境去發(fā)現(xiàn)和提出問題.例如在本文的兩個(gè)課例中教師分別以一個(gè)二次圖象和一個(gè)具體數(shù)學(xué)問題為情境，這兩個(gè)情境都來源于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，都富含許多數(shù)學(xué)問題，具有開放性，因此能有效激發(fā)學(xué)生的問題意識.復(fù)習(xí)課中的情境，可以是一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，也可以是學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)題等，總之要避免空洞、機(jī)械、毫無條件的讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題.

(2)要引導(dǎo)學(xué)生有邏輯的提出問題.在基于發(fā)現(xiàn)和提出問題推進(jìn)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，要避免兩種傾向.一是放任學(xué)生漫無邏輯的亂問、瞎問.此時(shí)教師要注意引導(dǎo)學(xué)生按照一定的邏輯發(fā)現(xiàn)和提出問題，例如課例1中，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的方面、形的方面，從單一的方面、聯(lián)系的方面，從靜止的方面、運(yùn)動(dòng)的方面等對二次函數(shù)進(jìn)行提問；二是當(dāng)學(xué)生提不出問題時(shí)，教師干脆直接給出問題.章建躍博士認(rèn)為“有含金量的問題，需要有一般的觀念來引領(lǐng)，有一定的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，有一定的思維策略作支撐”“在一定的宏觀思想的指導(dǎo)下，經(jīng)過深思熟慮，學(xué)生就一定能提出有意義的、高質(zhì)量的好問題”[3].因此，面對這種情況，教師可從一般觀念、數(shù)學(xué)思想、思維策略等角度提出問題啟發(fā)學(xué)生，而不要簡單的直接給出問題了之.例如在課例2中，當(dāng)學(xué)生提出問題遇到困難時(shí)，教師沒有代替學(xué)生直接給出問題，而是給予學(xué)生“一般觀念、數(shù)學(xué)思想、思維策略”的啟發(fā)： “將問題的條件進(jìn)行推廣，探索結(jié)論的適用范圍能否更廣，這是從數(shù)學(xué)角度考慮問題的基本思維，受此啟發(fā)，你想到了什么數(shù)學(xué)問題？” “將條件與結(jié)論互換，逆向思考問題不也是數(shù)學(xué)常見的思考方式嗎？”，從而使學(xué)生自主的想到了有含金量的數(shù)學(xué)問題.

(3)要將發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題教學(xué)兼顧.基于發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題推進(jìn)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，并不是指復(fù)習(xí)課中只提出問題而放棄解決問題，要做好二者間的兼顧與平衡.教師可在學(xué)生提出的問題中，選擇一些有思維含金量的、學(xué)生感興趣的問題讓學(xué)生集體解決或分組解決.例如課例1中學(xué)生提出的問題較簡單，可以邊提問邊集體解決，課例2中提的問題較復(fù)雜，于是教師采取了分組解決后集體展示的方法，從而將發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題作為學(xué)生學(xué)習(xí)的整體，使學(xué)生在整體中建構(gòu)認(rèn)知體系，感悟本質(zhì)，發(fā)展思維.

顧明遠(yuǎn)先生指出“課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維的主渠道”“只有會(huì)思考并提出問題，才能培養(yǎng)學(xué)生批判性思維、創(chuàng)新思維的能力”[4].復(fù)習(xí)課作為課堂教學(xué)的重要形式，廣大教師要積極思考和實(shí)踐如何在復(fù)習(xí)課中將培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維落到實(shí)處，希望本文能對廣大教育同仁有所啟示.