張愛(ài)平 沈雪英

(江蘇省南京市金陵匯文學(xué)校 210036)

數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)是學(xué)習(xí)者置身某種場(chǎng)域中，參與的特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是學(xué)習(xí)者親歷具體的操作過(guò)程，感受數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的一種學(xué)習(xí)方式，包括由環(huán)境刺激產(chǎn)生的情感體驗(yàn)活動(dòng)、實(shí)物操作產(chǎn)生的行為體驗(yàn)活動(dòng)和內(nèi)省反思產(chǎn)生的認(rèn)知體驗(yàn)活動(dòng)，不僅有外部操作中的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和探索，還有注重內(nèi)隱感知、領(lǐng)悟和自我建構(gòu)．通過(guò)數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生積極參與，主動(dòng)思考，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)方法的形成過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力．本文以“作一個(gè)角等于已知角”為例，談?wù)勅谌霐?shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)的課堂教學(xué)實(shí)踐及思考．

1 教學(xué)背景

尺規(guī)作圖的提出可追朔到古希臘時(shí)期，它是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)解決一些平面幾何作圖問(wèn)題．直尺的功能就是畫直線，圓規(guī)用來(lái)畫弧線或者截取相等長(zhǎng)度的線段．尺規(guī)作圖剔除了線段的刻度和角的角度，將刻畫基本圖形(線段、角)大小的“數(shù)”問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍钡膯?wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)操作能力和邏輯思維能力.

1.1 課標(biāo)及教材內(nèi)容要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)相對(duì)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)提出了更高要求，在“學(xué)生要保留作圖痕跡，知道作圖步驟“的基礎(chǔ)上提出”要能了解每一步步驟的道理”的要求，即既要會(huì)“作圖”， 辨清步驟，又要能 “明理”，弄清原理．

(1)能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一個(gè)角等于已知角；

(2)在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．

《課標(biāo)》對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)提出高標(biāo)準(zhǔn)，教師的教學(xué)行為必然也要相應(yīng)的改變．

“作一個(gè)角等于已知角”是蘇科版七年級(jí)上冊(cè)第6章平面圖形的認(rèn)識(shí)(一)6.2節(jié)中的一段教學(xué)內(nèi)容．教材中是這樣敘述的“議一議 只用直尺和圓規(guī)，怎樣作一個(gè)角等于已知角？”“做一做 閱讀下列作法，并根據(jù)作法中的步驟用直尺和圓規(guī)作角．”

1.2 教學(xué)現(xiàn)狀及學(xué)情分析

“作一個(gè)角等于已知角”是五個(gè)基本尺規(guī)作圖之一，在多年的教學(xué)中，常常遇到這樣的尷尬情形，學(xué)生剛學(xué)習(xí)這個(gè)作圖時(shí)掌握的很好，過(guò)一段時(shí)間后就幾乎全部遺忘．反思以往的教學(xué)，也許是過(guò)多地注重作圖步驟和技巧，而忽視呈現(xiàn)作圖步驟是如何自然產(chǎn)生的，學(xué)生“依葫蘆畫瓢”，缺少對(duì)作圖步驟生成的體驗(yàn)，缺少對(duì)已有畫圖經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，這就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這個(gè)作圖的掌握停留在機(jī)械操作層面，知其然，而不知其所以然．

學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)有：作一條線段等于已知線段，知道角是由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，用量角器畫一個(gè)角等于已知角．學(xué)生已了解直尺和圓規(guī)的功能，知道作一個(gè)角的關(guān)鍵是終邊的確定，這些都為本作圖的體驗(yàn)教學(xué)提供了保障．而尺規(guī)作圖一般步驟是：想象圖形，畫出草圖；分析草圖，形成作法；尺規(guī)操作，規(guī)范作圖；證明等．但是此作圖的理論證明要在八年級(jí)第一章全等圖形學(xué)習(xí)后才能完成，利用“邊邊邊”證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，這阻礙了本節(jié)課作圖操作后邏輯推理論證的完成．《課標(biāo)》提出了“會(huì)作” 與“明理”的雙重要求，受教材體系和學(xué)生已學(xué)知識(shí)的限制，“證明”是無(wú)法在本節(jié)課中實(shí)現(xiàn)，那么能不能讓學(xué)生先在體驗(yàn)活動(dòng)中“明理”呢？七年級(jí)學(xué)生的思維正由直觀形象思維向抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)變，學(xué)生的分析能力和邏輯推理能力有待提高，這就要求教師準(zhǔn)確把握教學(xué)的方向，設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)的體驗(yàn)活動(dòng)，將探索作法扎根在體驗(yàn)中，學(xué)生在自我的探索中獲得準(zhǔn)確的作圖步驟，“明理”前置，以“理”生“法”，學(xué)生自主“生成”作法.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

尺規(guī)作圖體驗(yàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要充分體現(xiàn)直尺和圓規(guī)的強(qiáng)大功能，于無(wú)形中化“無(wú)刻度”為“有刻度”，引導(dǎo)學(xué)生自主探索作法，完成知識(shí)的承接，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的自然過(guò)渡．作一個(gè)角等于已知角的關(guān)鍵是確定角的終邊，而確定終邊的關(guān)鍵是確定這條邊上的另一個(gè)點(diǎn)，所以這個(gè)尺規(guī)作圖的難點(diǎn)就是如何確定終邊上的這個(gè)點(diǎn)，將確定邊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定點(diǎn)的問(wèn)題．終邊上這個(gè)點(diǎn)的確定，又與已知角的終邊上的哪個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，這個(gè)“標(biāo)志點(diǎn)”該如何確定，這個(gè)“標(biāo)志點(diǎn)”的確定對(duì)要作出的角終邊上的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的確定有怎樣的幫助呢？筆者根據(jù)體驗(yàn)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，設(shè)計(jì)的三種體驗(yàn)活動(dòng)，旨在引導(dǎo)學(xué)生自然生成作圖方法，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)、探索新知的能力．

2.1 在同一個(gè)圓里找兩個(gè)相同的扇形

圖1

如圖1，已知∠AOB，在這個(gè)圓中找一個(gè)∠COD，使得∠COD=∠AOB．

借助這個(gè)已知圓，根據(jù)“同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．”要找到相等的圓心角，只要用圓規(guī)量出長(zhǎng)度相等的弦長(zhǎng)．

體驗(yàn)過(guò)程的反思：圓的出現(xiàn)過(guò)于突兀，圓的性質(zhì)是九年級(jí)的內(nèi)容，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備還不夠．

2.2 做兩把相同大小的折扇

如圖2，要制作和它一樣大小的一把折扇，我們要準(zhǔn)備什么尺寸的材料呢？

學(xué)生容易想到選同樣大小的弧形紙作扇面和同樣長(zhǎng)短的竹片作扇柄．扇柄的長(zhǎng)度是圓弧半徑的大小，紙面的大小可以決定紙扇張開的角度大?。话阏凵戎谱鞯娜襟E，固定一根扇柄—糊紙面—固定另一根扇柄，這個(gè)過(guò)程和“用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角”的過(guò)程非常的類似．

圖2

體驗(yàn)過(guò)程的反思：(1)制作紙扇準(zhǔn)備的材料繁瑣；(2)制作紙扇耗費(fèi)時(shí)間，數(shù)學(xué)課堂成了手工課堂；(3)扇面紙的大小的裁剪學(xué)生更容易想到用疊合法去裁剪，那么扇子的張角的大小的確定更容易聯(lián)想到扇面紙面積的大小，不容易轉(zhuǎn)化到弧長(zhǎng)的大小，因此作一個(gè)角等于已知角的第二條線上的這個(gè)點(diǎn)不容易自然生成．

2.3 量角器畫角的演變

問(wèn)題1回憶小學(xué)時(shí)是怎樣用量角器畫一個(gè)角等于已知角的？量角器的功能是什么？

如圖3，量角器畫角的一般步驟，先量出已知角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)畫出另一個(gè)相等的角．在“量”這一階段可分為三步：對(duì)準(zhǔn)頂點(diǎn)、重合始邊、讀出終邊所讀的數(shù)值；“畫”這一階段也可分為三步：畫始邊、根據(jù)數(shù)值點(diǎn)出終邊上的一個(gè)點(diǎn)、畫終邊．此時(shí)，量角器的功能是確定角的度數(shù)．

圖3

問(wèn)題2如果量角器的刻度看不清楚了，你還能用它畫出這個(gè)角嗎？此時(shí)量角器的功能又是什么？

圖4

圖5

如圖4，量角器沒(méi)有刻度了，那么在“量”這一階段中的前兩步：對(duì)準(zhǔn)頂點(diǎn)、重合始邊仍可以完成，第三步讀出終邊所讀的數(shù)值無(wú)法進(jìn)行了．結(jié)合“畫”這一階段的畫好始邊后點(diǎn)出終邊上的一個(gè)點(diǎn)遇到了障礙．那沒(méi)有數(shù)值了，該怎么確定終點(diǎn)上的這個(gè)點(diǎn)？

如圖5，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在量角器上相應(yīng)的位置上作個(gè)“標(biāo)記點(diǎn)”即可完成上述的操作．此時(shí)量角器的功能就弱化為找圓弧上的一個(gè)“標(biāo)記點(diǎn)”了．

問(wèn)題3如果沒(méi)有量角器，只有類似量角器的外輪廓的半圓弧，你能借助圓規(guī)和直尺畫一個(gè)角等于已知角嗎？

完成問(wèn)題2時(shí)，學(xué)生已認(rèn)識(shí)到量角器的功能從“數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍绷?，沒(méi)有了剛才無(wú)刻度的量角器這一工具，半圓弧上如何去替代剛才“標(biāo)志點(diǎn)”？

如圖6，利用圓規(guī)創(chuàng)造量角器的弧，這時(shí)候，另一個(gè)和已經(jīng)存在的等半徑的半圓就自然會(huì)被畫出來(lái)．如何度量弧線的長(zhǎng)短呢，圓規(guī)能確定線段的長(zhǎng)短，要確定弧線的長(zhǎng)短，只有“化曲為直”，通過(guò)確定以弧線兩端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的長(zhǎng)短去確定弧線的長(zhǎng)短，這樣確定“標(biāo)志點(diǎn)”的另一條弧線也自然生成．

圖6

圖7

問(wèn)題4如圖7，擦去半圓中多余的弧線，只留下確定終邊上點(diǎn)的位置的一小段，請(qǐng)根據(jù)剛才的操作探索過(guò)程，用圓規(guī)和直尺作一個(gè)角等于已知角．

學(xué)生回憶活動(dòng)的全過(guò)程，經(jīng)歷了“量角器-沒(méi)有刻度的量角器—半圓—圓弧”的畫一個(gè)角等于已知角的過(guò)程，用“尺規(guī)”作一個(gè)角等于已知角的步驟已了然，如圖8，具體作法如下：

圖8

(1)以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑用圓規(guī)畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D.

(2)任意畫一點(diǎn)O′，畫射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫弧交O′A′ 于點(diǎn)C′.

(3)以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于D′點(diǎn).

(4)過(guò)D′畫射線O′B′，∠A′O′B′就與∠AOB相等.

3 教學(xué)思考

正如蘇霍姆林斯基所說(shuō)：“對(duì)于兒童來(lái)講，掌握知識(shí)這個(gè)最終目的不可能像成人那樣成為他付出智力努力的主要?jiǎng)恿Γ畬W(xué)習(xí)愿望的源泉在于兒童智力勞動(dòng)的性質(zhì)，在于思想的情感色彩，在于理性的體驗(yàn)．如果這個(gè)源泉涸竭了，任你用什么辦法也不可能讓孩子坐下來(lái)念書．”這里設(shè)計(jì)合理的體驗(yàn)活動(dòng)，改變了以往教學(xué)時(shí)作法的復(fù)制和灌輸，根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維探究活動(dòng)，在體驗(yàn)活動(dòng)中自然形成數(shù)學(xué)方法、充分理解數(shù)學(xué)本質(zhì)．學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)自己理解、自主建構(gòu)新知的過(guò)程，學(xué)生帶著自己原有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)去主動(dòng)體驗(yàn)、思考、反思，建構(gòu)新的知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)操作能力和邏輯思維能力，積累新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力.

3.1 數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)要合理充分

首先，選取體驗(yàn)材料要合理．本文的三種設(shè)計(jì)分別選取了圓、折扇、量角器三種素材，它們或多或少都與“作一個(gè)角等于已知角”作法的探索有著內(nèi)在的聯(lián)系．但是綜合考慮學(xué)生對(duì)素材的熟悉程度、對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)緊密度、對(duì)對(duì)象的本質(zhì)特征相似度等因素，量角器無(wú)疑是最合適的材料．由此可見(jiàn)，選取最合理有效的操作工具，便于學(xué)生按照自己探索的操作步驟動(dòng)手畫圖，自主形成作法．合理的體驗(yàn)材料便于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，自然地引發(fā)數(shù)學(xué)思考，在不同材料的體驗(yàn)使用中科學(xué)選擇.

其次，學(xué)生體驗(yàn)的過(guò)程要充分．庫(kù)伯教授構(gòu)建的體驗(yàn)學(xué)習(xí)模型“體驗(yàn)學(xué)習(xí)圈”：具體體驗(yàn)—觀察與反思—抽象概念—在新情境中體驗(yàn)，依次循環(huán)．在選擇量角器作為體驗(yàn)材料后，筆者設(shè)計(jì)的體驗(yàn)活動(dòng)分為4個(gè)層次，量角器畫角—無(wú)刻度的量角器畫角—半圓弧畫角—尺規(guī)作角，每個(gè)層次的活動(dòng)都經(jīng)歷了具體體驗(yàn)、觀察反思形成經(jīng)驗(yàn)、再弱化工具、再次體驗(yàn)形成新的經(jīng)驗(yàn)，循環(huán)了3次后，學(xué)生的體驗(yàn)過(guò)程充分．尺規(guī)作圖貴在思路的形成，將一個(gè)角搬到另一個(gè)位置，用圓規(guī)和直尺精確地作出來(lái)，這樣的自主探究、找尋原理、發(fā)現(xiàn)作法可以確保學(xué)生知識(shí)形成的基礎(chǔ)牢固，相應(yīng)的作法生成自然無(wú)痕，學(xué)生經(jīng)歷了“角的尺規(guī)畫法”的形成過(guò)程，通過(guò)探究式的體驗(yàn)活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3.2 數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)要融合遷移

遷移是指學(xué)習(xí)者把理解的知識(shí)、形成的基本技能遷移到不同的情境中去，促進(jìn)新知識(shí)、方法的學(xué)習(xí)或解決不同情境中問(wèn)題.“利用尺規(guī)畫一個(gè)角等于已知角”的探究過(guò)程中，融入必要的體驗(yàn)活動(dòng)，適時(shí)調(diào)用小學(xué)時(shí)量角器畫角的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，分析得出尺規(guī)作角與用量角器作角之間的共性，將量角器畫角中的基本方法和經(jīng)驗(yàn)，類比遷移到利用直尺和圓規(guī)畫角的過(guò)程中，教師準(zhǔn)確激活學(xué)生原有的知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)體驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單熟悉的問(wèn)題開始，不斷變更背景，尋找素材的內(nèi)在聯(lián)系，完成知識(shí)、方法的自主建構(gòu)．體驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程的條理化，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)悟，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的融合和發(fā)展，這樣的體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程貼近學(xué)生認(rèn)知水平，符合最近發(fā)展區(qū)理論，搭建起新舊知識(shí)之間的支架，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，掌握分析方法，明確作圖步驟，利用不同工具的畫法遷移合理自然.

3.3 數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)要發(fā)展能力

《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的建議》指出核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入體驗(yàn)活動(dòng)，就是要幫助學(xué)生培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力. 尺規(guī)作圖是一種情境的創(chuàng)設(shè)，由學(xué)生自己動(dòng)手作出一張符合要求的圖形，這是幾何教學(xué)中難得的實(shí)踐活動(dòng)，是讓學(xué)生從操作體驗(yàn)提升到理論認(rèn)識(shí)的重要途徑．尺規(guī)作圖的完成是學(xué)生動(dòng)手操作和幾何推理相結(jié)合的結(jié)果，其幾何直觀能力、幾何推理能力、空間想象能力等數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力得到發(fā)展；作圖前的體驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生動(dòng)手度量、拼湊、截取、疊合等幾何操作過(guò)程，具有不可替代的直觀性，為其數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的發(fā)展添磚加瓦．

尺規(guī)作圖是人類理性思維的瑰寶，它的教學(xué)方法沒(méi)有固定的模式，但是“明理” 才能 “得法”．在數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)中，留給學(xué)生更多自主探究、思考分析的空間，多動(dòng)手，多探究作圖的原理和作圖方法，融入了體驗(yàn)活動(dòng)的學(xué)習(xí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力.