楊嘉瑩 王詩遠(yuǎn) 李貴凡 劉 沛△

1.東南大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)系(210009) 2.北京民海生物科技有限公司

對于具有多個主要終點(multiple primary endpoints)的臨床試驗,當(dāng)規(guī)定任一個終點成功整個研究即為成功時,可稱為并交(union-intersection)試驗[1],此類研究常常會帶來多重性問題。與之相反,針對多個共同終點(multiple co-primary endpoints)的臨床研究稱為交并(intersection-union)試驗[2-3],一般規(guī)定多個終點同時具有統(tǒng)計學(xué)意義時整個試驗才記為成功。這種設(shè)計避免了多重檢驗所帶來的Ⅰ類錯誤膨脹,但需要對Ⅱ類錯誤進行調(diào)整,為臨床試驗樣本量計算帶來了新挑戰(zhàn)[4-6]。當(dāng)試驗結(jié)局為連續(xù)型終點時,已有文獻對樣本量估計方法進行探討[7],而當(dāng)試驗結(jié)局為二分類終點時,相關(guān)研究較少且存在一些不足。在實際工作中,由于缺少方法學(xué)支持,一些研究者將各終點計算所得的最大樣本量作為整個研究的樣本量,該方法在各終點獨立時會成倍損耗全局功效[8]。另一種較常用的方法是使用Bonferroni調(diào)整法對Ⅱ類錯誤進行調(diào)整,但該方法過于保守,可能過多的估計樣本量[9]。Song等人[10]提出了終點為率差時非劣效試驗樣本量計算方法,但未探討通過各終點率差之間的相關(guān)性估計結(jié)局統(tǒng)計量之間相關(guān)性存在的限制。此外,基于檢驗統(tǒng)計量的聯(lián)合概率模型[11]推導(dǎo)的樣本量計算公式要求使用者具備一定的數(shù)學(xué)和計算機編程知識,這也限制了其使用。

近年來,可同時預(yù)防多種細(xì)菌或病毒亞型的多價疫苗日漸增多,如北京民海生物科技有限公司研制的多價肺炎疫苗,其研究終點可多達23個,且各終點間存在正相關(guān),這對樣本量估計提出了新的挑戰(zhàn)。對于連續(xù)型終點研究,一種基于“膨脹因子”的方法[9]已在多共同終點臨床試驗中得到較好應(yīng)用。雖然該方法僅適用于7個及以下終點的臨床研究,但其原理可推廣至二分類終點問題。本研究將針對多價疫苗發(fā)展的實際,運用隨機模擬方法探討基于Ⅱ類錯誤調(diào)整的“膨脹因子”方法用于二分類終點樣本含量估計的合理性,并通過反推法將該方法擴展至20個終點的多價疫苗臨床試驗中。

原理和方法

1.單個終點樣本量計算

考慮一項以率為結(jié)局的兩組平行對照設(shè)計非劣效試驗,可采用下述公式[12]進行樣本量估計。

(1)

其中下標(biāo)T代表試驗組,C代表對照組;Z1-α和Z1-β分別對應(yīng)一類錯誤率α,二類錯誤率β的正態(tài)分布分位數(shù);π代表相應(yīng)組別的率;d代表非劣效界值。

2.名義錯誤水平調(diào)整

交并試驗存在Ⅱ類錯誤膨脹問題,在并交試驗中也存在Ⅰ類錯誤膨脹所帶來的多重性問題。一些研究者針對多重性問題提出了名義Ⅰ類錯誤水平調(diào)整方法,這些方法的思想同樣適用于名義Ⅱ類錯誤水平調(diào)整。

對于具有K(≥2)個相關(guān)終點的臨床試驗,Tukey 等人[13]建議調(diào)整第k個假設(shè)檢驗的名義Ⅰ類錯誤水平為:

(2)

αk=1-(1-α)1/mk

(3)

其中,mk=K1-rk,若令rjk是第j個和第k個終點的相關(guān)系數(shù),則

(4)

當(dāng)各終點相互獨立時,該調(diào)整方法相當(dāng)于Bonferroni檢驗,當(dāng)各終點間相關(guān)系數(shù)均為1時,該方法計算的P值相當(dāng)于未調(diào)整前的P值。當(dāng)各終點間平均相關(guān)系數(shù)為0.5時,該方法相當(dāng)于公式(2)。盡管存在上述優(yōu)點,Sankoh的研究發(fā)現(xiàn)該方法對α的保護水平隨著終點數(shù)量的增加而下降,并提出對名義Ⅰ類錯誤水平增加因子c以改進整體效果,即在公式(3)中使用α’=cα替換原公式中的α。改進后的公式為:

αk=1-(1-cα)1/mk

(5)

Sankoh提供了在不同終點數(shù)和終點間相關(guān)性的情景下因子c的參考取值[16]。此類調(diào)整方法可以考慮終點之間的相關(guān)信息且無需任何分布假設(shè)。

3.改進的膨脹因子法

考慮一項具有K個終點的交并試驗,當(dāng)試驗組和對照組間效應(yīng)量相等時,各終點所需的樣本量相同。以該樣本量作為整個研究的樣本量必然帶來Ⅱ類錯誤的膨脹。為了達到預(yù)期的全局功效,單個研究的名義Ⅱ類錯誤水平應(yīng)向下調(diào)整。又由于各終點間相關(guān)性差異較小,可假設(shè)各終點間具有相等且恒定的相關(guān)性,進而對計算公式簡化。在公式(4)的基礎(chǔ)上,Julious將其擴展并應(yīng)用于名義Ⅱ類錯誤水平的調(diào)整:

(6)

其中,t=K1-ρ,K是共同終點數(shù),ρ是各終點間的相關(guān)系數(shù),β是名義II型錯誤水平。將公式(6)計算得到的βK代入公式(1),可得調(diào)整后的樣本含量。膨脹因子(inflation factor,IF)則為調(diào)整后的樣本含量與未調(diào)整樣本含量的比值,即:

(7)

公式(6)中不同相關(guān)性和終點數(shù)目時因子c的取值詳見Sankoh及Julious文獻[9,16]。由已給出因子c的值可知,在相同終點個數(shù)下,該參數(shù)取值可近似于隨相關(guān)系數(shù)增加而減少的直線,因此可采取插值法,參照10個終點下相關(guān)性為0.5和0.7水平下的結(jié)果補齊相關(guān)性為0.6時的因子c取值。

4.通過膨脹因子反推因子c

通過模擬試驗,我們可以得到各情景下為了達到80%全局功效所需樣本量。該樣本量與通過公式(1)計算所得樣本量的比值即為IF。通過公式(7),我們可知Z1-βK的計算公式為:

(8)

(9)

其中F(1-βK)為1-βK在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的累積分布函數(shù)。通過公式(8)及公式(9),我們可以計算得到βK的結(jié)果,結(jié)合公式(6)即得:

(10)

通過對因子c的反推,我們可以利用模擬方法獲取20個共同終點情景下的膨脹因子,進一步補充因子c的取值,從而滿足多價疫苗臨床試驗樣本量計算的需求。

模擬試驗設(shè)計

以一項具有K(≥2)個終點的非劣效疫苗臨床試驗為例,結(jié)局指標(biāo)為抗體陽轉(zhuǎn)率。試驗組和對照組的樣本量相同,分別用nT和nC表示;第i(i=1…K)個終點各組的陽轉(zhuǎn)率分別用πTi和πCi表示;假設(shè)K個終點間的相關(guān)性相同,各組終點間平均相關(guān)性分別用ρT和ρC表示。受試者各個終點陽轉(zhuǎn)率的綜合反應(yīng)向量,Yj=(Yj1,…YjK)T(j=1…n)服從E[Y]=πT,var[Y]=πT(1-πT)的K變量伯努利分布。由于該研究的主要目的是探討在各終點間具有相關(guān)性的情況下,膨脹因子法用于多個終點交并試驗樣本量計算的效果,當(dāng)試驗組和對照組的組間效應(yīng)存在差別時,該差別會主導(dǎo)樣本量計算,削弱相關(guān)性的影響,因此本研究僅考慮πTi=πCi,ρT=ρC的情況,模擬試驗通過SAS 9.4實現(xiàn)。

結(jié)論：總的來說，在日常使用pH計的過程中，一定要注重細(xì)節(jié)，規(guī)范程序，區(qū)分不同類型，注意pH計相關(guān)的校準(zhǔn)和溫度補償?shù)拳h(huán)節(jié)。

1.模擬方法

基于以上假設(shè),該研究根據(jù)不同參數(shù)情景對各樣本量對應(yīng)的全局功效進行蒙特卡洛模擬。初始樣本量通過公式(1)計算所得單個終點所需樣本量,終止樣本量采用Bonferroni調(diào)整的樣本量(βK=β/K)。具體步驟如下:

(1)根據(jù)均值πTi,πCi和終點間相關(guān)系數(shù)ρT,ρC分別為試驗組和對照組的n例受試者產(chǎn)生K對服從伯努利分布的原始數(shù)據(jù)。

(2)組間陽轉(zhuǎn)率采用95%CI法進行非劣效性檢驗,分別計算試驗組與對照組組率差的95%置信區(qū)間下限并與非劣效界值比較。

(3)若K個共同終點同時滿足非劣效要求,則將該試驗計為“成功”,否則計為“失敗”。

(4)重復(fù)1-3步驟1000次,統(tǒng)計“成功”次數(shù)計為m,則在該樣本量下試驗的全局功效為m/1000。

(5)增加樣本量,并重復(fù)步驟1-4,直至達到終止樣本量。

2.參數(shù)設(shè)計

模擬試驗中各參數(shù)取值見表1。結(jié)合疫苗臨床試驗的實際數(shù)據(jù),終點個數(shù)考慮了四種情景,陽轉(zhuǎn)率考慮了五種情景,相關(guān)系數(shù)考慮了四種情景,合計80種組合情景。分別模擬各情景下全局功效隨樣本量增加的變化,并以模擬結(jié)果作為參考,評價“膨脹因子”法用于各情景下二分類共同終點研究樣本量計算的效果。擬采取的評價標(biāo)準(zhǔn)如下:

標(biāo)準(zhǔn)1:“膨脹因子”計算的樣本量不小于模擬結(jié)果。

標(biāo)準(zhǔn)2:“膨脹因子”計算的樣本量與模擬結(jié)果差異在模擬結(jié)果的5%以內(nèi)。

標(biāo)準(zhǔn)3:“膨脹因子”計算的樣本量與模擬結(jié)果差異在模擬結(jié)果的10%以內(nèi)。

表1 模擬試驗參數(shù)及取值

同時滿足標(biāo)準(zhǔn)1和標(biāo)準(zhǔn)2,則認(rèn)為該情景下“膨脹因子”法效果較好,滿足標(biāo)準(zhǔn)3為效果適中,否則為效果較差。

結(jié)果

1.全局功效變化

以樣本量為橫軸,全局功效為縱軸,2、5、10和20個終點下不同陽轉(zhuǎn)率及相關(guān)性組合的全局功效變化曲線見圖1。

圖1 多個共同終點在不同相關(guān)性,陽轉(zhuǎn)率下全局功效隨樣本量增加的變化

圖1的模擬結(jié)果顯示:

(1)為達到預(yù)訂的全局功效水平,共同終點的數(shù)目越多,所需樣本量越大。如ρ=0,π=0.5時,為達到80%的全局功效,2、5、10及20個共同終點分別需要515、663,784及903例受試者。

(2)同一陽轉(zhuǎn)率水平下,為達到預(yù)計全局功效水平,各終點間相互獨立時不同終點間所需樣本量差距最大。隨著相關(guān)性的增加不同終點的全局功效曲線趨近,即不同終點所需樣本量的差距縮小。如為達到80%的全局功效,π=0.5,ρ=0時20個終點比2個終點所需樣本量多388例,而π=0.5,ρ=0.9時,20個終點比2個終點所需樣本量僅多100例。

(3)同一相關(guān)性水平下,不同陽轉(zhuǎn)率水平的全局功效曲線相似。如ρ=0時,2、5、10及20個終點的全局功效變化趨勢相似。

2.“膨脹因子”法效果評價

Julious提供了7個及以下終點時因子c的取值[9],Sankoh文獻中提及10個終點時部分情景下因子c的值[16],我們通過插值法補齊因子c的取值,并計算在本次模擬情景中2個、5個或10個共同終點時“膨脹因子”法得到的樣本量,與模擬結(jié)果比較并根據(jù)上文提到的3條標(biāo)準(zhǔn)進行評價。

由表2可知,在2個終點時,除π= 0.9且ρ= 0.9情景外,“膨脹因子”法計算結(jié)果與模擬結(jié)果差異均不超過±5%;特別的,當(dāng)ρ= 0.6時“膨脹因子”法效果較好;在5個終點時,除ρ= 0.9的情景外“膨脹因子”法效果適中,特別的,當(dāng)ρ= 0或ρ= 0.3時,絕大多數(shù)情景下“膨脹因子”法效果較好;在存在10個共同終點的研究中,除ρ= 0.9的情景外“膨脹因子”法效果適中。

3.不同情景下的膨脹因子及參數(shù)c取值

由上可知,在ρ= 0.9時,“膨脹因子”法用于樣本量計算的效果并不理想。為了改善該方法的效果,我們利用模擬得到的膨脹因子反推因子c的取值,并進一步擴展到20個共同終點的情景中。結(jié)果見表3。

表2 膨脹因子”法樣本量計算結(jié)果與模擬結(jié)果比較

*:差異=(計算結(jié)果-模擬結(jié)果)/模擬結(jié)果;加粗?jǐn)?shù)據(jù)表示結(jié)果較好;黑框數(shù)據(jù)表示結(jié)果較差。

表3 各情景下膨脹因子及因子c取值

由表3可知不同終點數(shù)及終點間相關(guān)性組合下使用“膨脹因子”法計算樣本含量時因子c的取值。其中加粗?jǐn)?shù)值由Sankoh及Julious文獻提供,其他結(jié)果通過公式(8)計算。由表3中提供膨脹因子可知,各終點間相關(guān)性越高,為達到預(yù)先設(shè)計的全局功效,所需樣本量膨脹因子越小。特別的,當(dāng)各終點相互獨立(ρ= 0)時,因子c取值為1,公式(6)可進一步簡化為:

(11)

公式(11)即為Sidak調(diào)整公式[17]。

討論

存在多個共同終點臨床試驗的樣本量計算問題已經(jīng)引起國內(nèi)外研究者的注意,但傳統(tǒng)計算方法仍存在較多問題。各終點分別計算樣本量并取其最大值的方法在各終點間效應(yīng)量相似時會明顯低估樣本量,造成整個研究的全局功效達不到預(yù)期;而通過Bonferroni調(diào)整的方法又過于保守,往往高估樣本量,造成人力物力的浪費。Sankoh提出的對名義錯誤水平調(diào)整的程序相對寬松,而由Julious改進后的“膨脹因子”方法寬松程度介于Sankoh方法與Bonferroni調(diào)整方法之間。此外,“膨脹因子”法不依賴于特定的研究假設(shè)和檢驗方法,為多終點問題提供了通用的樣本量計算方法。

總的來說,“膨脹因子”法可以均衡相關(guān)性對多個共同終點臨床研究樣本量計算的影響。存在2個共同終點研究中,“膨脹因子”法效果較好;存在5～10個共同終點的研究中,當(dāng)終點間相關(guān)性小于等于0.6時,“膨脹因子”法效果適中。實際臨床數(shù)據(jù)各終點間往往存在一定的正相關(guān),相關(guān)性可低至0.2高至0.8。對于多終點臨床研究,終點間相關(guān)性的存在可以節(jié)約樣本量,忽略這種相關(guān)性則會造成樣本量的高估。而在另一些情況中,臨床試驗中各終點是相互獨立的,“膨脹因子”法近似于Bonferroni調(diào)整法。

本文提供了存在2、5、10、20個二分類共同終點時樣本量的膨脹系數(shù),出于保守性的考慮,介于上述終點數(shù)之間的研究可向右選擇相近終點數(shù)對應(yīng)的膨脹因子。超過20個終點的研究樣本量建議通過模擬推算。此外,本研究關(guān)注試驗組與對照組二分類指標(biāo)水平相同的情況,在試驗組與對照組的效應(yīng)量不同的情況下“膨脹因子”法可能無法滿足樣本量計算需求,一些根據(jù)各組效應(yīng)量差別為各終點分配不同研究功效從而達到全局功效的樣本量計算方法為類似情況提供了解決辦法[18]。

綜上,本文通過蒙特卡洛模擬研究了“膨脹因子”法用于多個二分類共同終點臨床試驗樣本量計算的合理性,修改了相關(guān)性較高時因子c的取值,并進一步擴展至20個共同終點的情況。