☉江蘇省無錫市東絳實驗學校 薛 鶯

☉江蘇省無錫市太湖格致中學 陳 鋒

一、問題的提出

類比是數學學習的一種有效方法，它在學生數學知識的學習、數學能力的培養(yǎng)、實際問題的解決等方面都有著重要意義.當前，類比教學已成為初中數學課堂教學的重要手段之一.在數學課堂教學中，如何從學生已有的認知基礎出發(fā)，通過類比進一步激發(fā)學生的認知體驗，完成對數學知識和解決問題能力的有效改進，是數學教師需要不斷研究的問題.現在結合課堂教學的實踐，將類比教學的體會和思考述至成文，歡迎各位批評指正.

二、類比教學的理論與模式

1.數學類比教學的理論依據

數學類比教學是指在數學課堂教學中，根據兩類不同本質對象之間的相似性，通過新、舊知識結構的相似點，用舊知識進行橫向的聯系和對比，從已知到未知，進而為新知的學習提供相同的研究策略和方向指導，從而達到觸類旁通的作用.所以類比不僅是學習概念、定理、法則的認知工具，也是學生解決數學問題的一種重要方法.在課堂教學中采用類比的教學方法，可以有效地降低感知的難度，激活認知的生長點，促進知識的有效遷移，同時激發(fā)想象的欲望，喚醒學生的創(chuàng)新意識.

2.數學類比教學的模式

三、類比教學在數學課堂教學中的策略

1.巧用新、舊類比，在新授課上溫故知新，拓展知識系統(tǒng)

數學教學必須建立在學生已有的認知水平和知識結構上，教師在講授新知識時，若能巧妙地聯系學生已有的知識，將新、舊知識進行類比分析，就可以讓學生自主發(fā)現新知識，從而溫故知新.這樣建構的新知識更易于學生的數學學習，從而有效突破新授課概念教學的難點，促進概念的生成和相關知識點的遷移，進而降低教學梯度和難度.

案例1：在“分式”教學中，可以用如下方法類比遷移出分式.

第一步：舉列引舊知.

師：你能列舉幾個小學時學過的分數嗎？

第二步：對比觀異同.

生3：它們都有分數線.

生4：它們都被分數線分成上、下兩部分.

師：它們之間有什么不同點嗎？

生2：我們說的式子都是由數組成的，而老師說的式子中有字母.

生4：而且我發(fā)現老師說的式子中的字母都在分母上.

師：其實老師列舉的這類分母上含有字母的式子，就是我們今天要學習的分式.（教師板書）

第三步：類比找特點.

師：我們知道分數的分母不能為0，那么，分式的分母可以為0嗎？

生4：不能.

師：你能告訴大家你的理由嗎？

生4：因為分式中分母是除數，而除數是不能為0的.

師：也就是說，要成為分式，分式中的分母是有條件的.

生2：是的，分式中的分母不能為0.

……

接著在學習分式的基本性質時，教師繼續(xù)類比分數的基本性質，讓學生猜想分式的基本性質，這樣學生很自然地就能學會分式的基本性質.

效能分析：在這一教學過程中，教師利用學生熟悉的分數，類比遷移出分式的概念、特征及基本性質.學生很自然地從對分數的認知拓展到對分式的理解，由此可見，如果教師能掌握新、舊知識的縱向延伸和橫向聯系，抓住新、舊知識的連接點，巧妙運用舊知識進行類比轉化，不僅可以使學生在學習新知識時易于同化，提高學生的學習能力，而且讓學生學得輕松，讓自己教得愉快，提高學生的學習效率.

2.強化系統(tǒng)類比，在復習課上觸類旁通，建構系統(tǒng)網絡

教學實踐表明，點狀化的知識不易理解，容易遺忘，而結構化的網狀知識易于學習和掌握，更有易于延伸和拓展.因此，在復習課上，教師如果利用知識間的系統(tǒng)類比進行教學，可以幫助學生關聯點狀知識間的相互聯系，使點狀知識類比化，進而真正將知識做到連點成線，連線成面，形成知識網絡，同時可以讓學生從對點狀知識的表征感性認識上升到對網狀知識本質屬性及規(guī)律的理性認識.

案例2：在中考復習“全等三角形”知識時，我是這樣類比相似三角形進行系統(tǒng)復習的.

第一步：回憶點狀知識.

師：你知道相似三角形的性質嗎？

生1：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.

生2：相似三角形的對應線段成比例，相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.

師：全等三角形有哪些性質呢？

生3：全等三角形的對應角相等，對應邊相等.

生4：全等三角形的對應線段相等，對應周長相等，對應面積也相等.

第二步：突出類比本質.

師：為什么全等三角形的對應邊相等？

生1：全等三角形是相似比為1的特殊相似三角形.

生4：相似三角形，對應邊成比例，而全等三角形是相似比為1的相似三角形，所以全等三角形對應邊的比為1，即對應邊相等.

第三步：通聯網狀脈絡.

師：你知道相似三角形的判定定理嗎？

生2：兩組角相等，兩個三角形相似；兩組邊成比例并且夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應成比例，兩個三角形相似.

師：你能類似得到全等三角形的判定定理嗎？

……

效能分析：在這節(jié)復習課中，教師運用類比教學法溝通了兩類不同三角形，將相似三角形和全等三角形之間各知識點都串聯了起來，實現知識間的縱橫類比，從而幫助學生建構了一個系統(tǒng)的知識網絡，讓學生在知識上融會貫通，使學生的學習更加輕松，記憶更方便，同時是在原有知識基礎上的一種延伸、拓展，使知識更加系統(tǒng)化.

3.借助生活類比，在探究課上深入淺出，實現思維超越

數學來源于生活，數學規(guī)律、數學思想方法與生活中的事物有相通之處，在數學探究教學中合理利用生活實例與數學知識進行類比教學，為學生探究數學知識搭建一個緩沖的橋梁，使學生能輕松接受并理解數學知識，從而大大降低學習難度，增強學生學習數學的積極性.

案例3：初二“確定位置”課堂探究片段.

第一步：展現問題情境.

師（展示一張地圖）：今天張老師約陳老師去體育館看籃球比賽，已知體育館的入口在太湖大道和清祁路交叉口，同學們能告訴陳老師體育館的入口在圖中的哪一位置嗎？

生1上前在地圖上指出相應的位置.

師：你是怎么考慮的？能說說你的想法嗎？

生1（上黑板指著地圖）：首先在地圖上找到太湖大道所在的位置，即這條線，再找到圖中清祁路所在位置的線，兩條線的交點就是我們要找的體育館入口的位置.

第二步：尋求思維變異.

師：這樣想的同學舉手.

全班學生基本都舉起了手.

師：回答得很好，這里要找的位置是利用兩條線的交點確定的，這是確定位置的一種方法.

師：你知道這里蘊含了什么數學知識嗎？

生2：兩條直線交于一點.

師：很好，這是確定位置的常用方法之一.

師：張老師到體育場，她的門票的座號是7排16座.張老師應該怎么找到自己的座位呢？

生1：可以先找到第1排的16座，再從前往后找到第7排就可以了.

師：還有不同意見嗎？

生3：我認為張老師可以先找到第7排，再依次找到第16座即可.

師：你們認為這兩種方法可以嗎？

生（齊）：都可以.

師：好的.如果陳老師的門票的座號是7排3號，我們可以怎樣簡單標記呢？

生1：（7，3）.

第三步：實現思維超越.

師：也就是說，確定一名同學在教室里的位置，我們還需要哪些數據？大家討論一下.

生4：要想說明一名同學在教室里的位置，我們必須得知道他位于第幾排第幾個這兩個數據.

師：這樣的兩個數可以確定唯一的一個位置.按這個同學的辦法，我們就能通過兩個數找人.

師生共同做游戲，教師報出（3，2）、（3，4）、（4，3）、…，對應的學生立刻站起來.

效能分析：這節(jié)課中，教師通過多個生活場景中的實際問題來類比教學，一步步將學生較難理解的、較抽象的點的坐標問題，轉化為學生內心的需要，從而將抽象的點的坐標問題變?yōu)榫唧w、簡單的生活問題，再根據學生思維特點的需要，上升到更豐富、更廣泛的具體內容.這符合抽象性和具體性的基本關系，有利于學生運用抽象理論認識、檢驗具體素材，使抽象理論具體化，也發(fā)展學生的抽象思維.這樣的類比可以把復雜問題簡單化.

4.把握結構類比，在習題課上撥云見日，助力方法剖析

類比可以說是一種從一般到特殊的數學思想方法，更是探索新事物的一種有效的研究方式.它對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新思維有著重要的指導意義，特別是在數學習題課教學中，利用類比教學的方法，可以引導學生觀察題目本身的特征，憑借題目結構上的本質特征尋找類比來解決問題.

案例4：在一節(jié)初三習題課上.

第一步：展示例題促思考.

教師展示題目：

師：你知道上面三個等式有什么共性嗎？你能寫出第4個等式嗎？你會表示第n個等式嗎？

經過幾分鐘的觀察和思考，學生慢慢舉起了手，教師示意學生回答.

生1：我發(fā)現等式的左邊是兩個平方的差，等式的右邊是偶數.

生2：等式的右邊是偶數.

……

學生的小手慢慢放下來了，教室里沉靜了下來.

第二步：改變結構引類比.

教師在黑板上再次以不同的形式呈現原來的題目：

32-12=8；

52-32=16；

72-52=24.

教師再次讓學生觀察上述等式.

第三步：剖析共性獲方法.

師：觀察這三個等式，你還能發(fā)現其他特征嗎？

生2：如果從上、下的角度看，我發(fā)現這三個等式有三列數字，第一列中，平方數的底數是連續(xù)的奇數.

生3：我發(fā)現第二列中平方數的底數也是連續(xù)的奇數.

生4：第三列中都是偶數.這些偶數都是8的倍數.

生2：這三個等式的等號左邊是兩個連續(xù)奇數的平方差.

……

效能分析：這節(jié)課中，教師通過對題目形式的變化進行類比教學，從而引導學生觀察三個等式結構的本質特征，在類比變化的過程中，讓學生自主觀察、比較、思考，進而大膽猜想和合情推理.讓學生自己根據題目的結構去類比，帶給學生更多參與、發(fā)現、體驗的機會，讓學生去發(fā)現、去猜想、去驗證，這樣的教學，讓課堂充滿了活力與思考.這樣的結構類比，讓學生在解決問題的過程中，學會了方法的創(chuàng)新.

四、對類比教學的后續(xù)思考

1.類比教學應以學生參與為主體

數學新課標強調培養(yǎng)學生主動參與學習的意識.因此，在有針對性的類比教學的理論指導下，通過教師的有效指導，學生解決相應問題，讓學生通過自主類比建構知識網絡，歸納解題規(guī)律，分析易錯原因，總結經驗教訓，以此提高學生的數學綜合能力.因此，在教學中，教師要想方設法設計適合學生實際的類比問題，調動學生的學習興趣，激發(fā)學生主動復習的意識，使得學生真正參與到問題中來，主動參與到復習活動中來.

2.類比教學應以能力提高為標準

有效的課堂的衡量標準，不是看是否完成教學任務，也不是看教師在一節(jié)課中總結了多少知識點或講解了多少題型，而是看在學習過程中學生的有效活動量、有效思維量、有效訓練量有多少，其中包括對知識的概括梳理、問題的分析解讀、交流探究的過程、不同解答方式的呈現及學生自己掌握知識和技能的程度等.只有讓學生自己把學習內容真正落實到位了，才有助于提高學習效率.因此，在課堂教學過程中，學生能自己解決的事情，教師不要包辦，要讓學生自己充分建構知識、展示思維、發(fā)展能力.

3.類比教學應以問題解決為手段

通過“類比”這一教學手段，串起整個學習過程，實質上是讓學生在對數學問題的思考和解決中，思維獲得拓展，方法得到強化，能力得以提高，這正是數學課堂要達到的目標.因此，教師首先要注意類比目標要明確、難易要適合，要立足學生的原有認知和經驗，符合學生的實際.其次，要給學生提供更多的展示思維方式的機會，提供更多的解釋和評價自己思維的權利.

類比教學不僅是一種有效的課堂教學手段，更是拓寬學生思維的重要途徑.讓我們在數學課堂教學中靈活、合理地運用類比教學，開闊學生的思路，啟迪學生的思維，這樣一來，我們的數學課堂必將更加精彩.F