徐久成，王楠，王煜堯，徐戰(zhàn)威

（1. 河南師范大學(xué) 計算機與信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007; 2. 河南省高校計算智能與數(shù)據(jù)挖掘工程技術(shù)研究中心，河南 新鄉(xiāng) 453007）

圖像去噪作為一種經(jīng)典的低秩矩陣逼近問 題，引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注。圖像去噪的目的是從噪聲圖像Y中去除噪聲η，盡可能準(zhǔn)確地估計出清晰圖像X，其中η常常被假設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)差為σn的加性白高斯噪聲。由于圖像去噪本身的不適定性，因此在增強圖像去噪性能上求解圖像先驗知識的算法得到了廣泛的研究。目前相關(guān)學(xué)者已經(jīng)提出了多種有效的圖像先驗知識模型，如全變分方法[1]、稀疏表示方法[2-4]、基于非局部自相似性方法[5-6]和深度學(xué)習(xí)[7-8]等。

早期的圖像去噪模型主要考慮像素級別的先驗知識，比如全變分等正則化方法，但是這些方法往往會損壞圖像的細節(jié)特征，造成圖像過于平滑。近年來，一些基于稀疏表示的正則化方法被相繼提出。稀疏表示的目的是在給定的超完備字典D中用盡可能少的原子來表示信號，獲得信號更為簡潔的表示方式，即稀疏系數(shù)α。最具代表性的稀疏表示方法是將圖像塊作為一種稀疏線性組合進行編碼，形成超完備冗余字典[9]，這些字典通常是從自然圖像中學(xué)習(xí)得到的，從而得到更好的稀疏去噪性能。盡管如此，基于圖像塊的稀疏表示模型通常會存在一些問題，比如字典學(xué)習(xí)具有較高的計算復(fù)雜度，同時也忽視了圖像塊之間的相互關(guān)系[10-11]。

傳統(tǒng)的基于圖像去噪的稀疏表示方法，常常利用l1范數(shù)凸優(yōu)化來進行稀疏編碼[12-13]，但凸優(yōu)化方法在一些圖像逆問題中很難獲得準(zhǔn)確的稀疏結(jié)果，因此Zha等[14-15]提出了非凸lp范數(shù)最小化稀疏表示模型，但是該模型只考慮了輸入噪聲圖像的非局部相似性屬性，在圖像被噪聲嚴重破壞的情況下，從噪聲圖像中恢復(fù)出清晰圖像具有很大的挑戰(zhàn)性。為提高去噪算法的性能，本文提出一種基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束的圖像去噪算法，將圖像去噪問題轉(zhuǎn)化為一個求解有效稀疏系數(shù)的問題。該方法將求解稀疏系數(shù)問題拆分為兩個子問題，利用廣義軟閾值算法[16]求解lp范數(shù)中的稀疏系數(shù)，并采用代理算法[17]求解稀疏誤差約束中的稀疏系數(shù)，最后將兩者的均值作為最終的稀疏系數(shù)。為了驗證本文算法的有效性，采用標(biāo)準(zhǔn)的圖像數(shù)據(jù)集進行仿真實驗。與 BM3D[5]、NCSR[18]、WNNM[19]等算法進行比較分析，本文所提算法不僅具有更高的峰值信噪比(PSNR)，而且具有更高的運行效率，達到了預(yù)期實驗結(jié)果。

1 基本概念

本文算法是基于圖像非局部自相似性進行研究的，首先對組稀疏表示模型中相似組的選擇過程進行介紹。將清晰圖像X劃分為n個重疊的圖像塊xn，對于每一個圖像塊 xi( i=1,2,···,n) 從一個搜索窗口中的所有圖像塊中，利用kNN方法提取出與圖像塊xi最相似的m個相似塊，構(gòu)成相似組Xi。基于圖像塊稀疏表示的相似性[2]，從每一個相似組Xi中學(xué)習(xí)對應(yīng)的字典Di，則相似組Xi可以被稀疏表示為Xi=DiNi，Ni表示稀疏系數(shù)。利用l1范數(shù)來求解Ni的最優(yōu)值Nx，即

式中： ‖ · ‖F(xiàn)表 示F范數(shù)； ‖ · ‖1表示l1范數(shù)；λ是正則化參數(shù)，其目的是使保真項與稀疏項之間取得較好的平衡。

噪聲圖像{中相似組Yi}的提取方式與清晰圖像類似，即 Yi=yi1,yi2,···,yim，其中yim表示第i個相似組Yi的第m個相似塊，相似組Yi被稀疏表示為Yi=Diδi。圖像去噪則可轉(zhuǎn)化為利用組稀疏表示的形式，從噪聲圖像Y中恢復(fù)出潛在的清晰圖像X，求解噪聲圖像中稀疏系數(shù)Mi的最優(yōu)值My，可表示為

式中： X ?i=DiMi， X?i表示圖像中第i個清晰圖像塊的估計。

1.1 非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)最小化

從噪聲中估計稀疏信號，常常使用稀疏凸正則化來進行優(yōu)化。但在一些圖像逆問題中，如圖像去模糊、圖像去噪等圖像恢復(fù)問題，利用凸正則化并不能較好地獲取準(zhǔn)確的稀疏結(jié)果。根據(jù)文獻[15]中l(wèi)p稀疏表示優(yōu)化算法的成功應(yīng)用，為了獲得更準(zhǔn)確的稀疏表示結(jié)果，將非凸加權(quán)l(xiāng)p(0

式中： ‖ · ‖p表示非凸lp范數(shù)；·表示向量間的點積運算；W■i表示相似組的權(quán)重。權(quán)重更新公式為是一個常數(shù)，σi表示稀疏系數(shù)Mi的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 稀疏誤差

由于噪聲的影響，從圖像Y中估計出準(zhǔn)確的稀疏系數(shù)M較為困難。換言之，從式(1)中求出的原始清晰圖像X的稀疏系數(shù)N，從式(2)中求出的估計稀疏系數(shù)M，兩者存在誤差。大部分圖像去噪算法的性能都依賴于稀疏系數(shù)的準(zhǔn)確性，因此降低稀疏誤差的大小至關(guān)重要，估計稀疏系數(shù)M與真實稀疏系數(shù)N之差R為[18]

為提高圖像去噪的性能，需要增強稀疏系數(shù)M的準(zhǔn)確性，也就是使稀疏誤差R足夠小。因此，式(2)可重寫為式中γ表示正則化參數(shù)。當(dāng)p=1時，lp范數(shù)服從拉普拉斯分布；當(dāng)p=2時，服從高斯分布；當(dāng)0

2 基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)的稀疏誤差約束算法

在圖像去噪過程中，由于清晰圖像X是未知的，求出真實的稀疏系數(shù)N是非常困難的，但可求出N的精確估計來近似表示稀疏系數(shù)。目前，用來估計稀疏系數(shù)的方法已經(jīng)有很多相關(guān)的研究成果，但是這些相關(guān)方法的泛化能力具有一定的局限性，在選擇時要取決于清晰圖像的先驗知識。若有較多類似于清晰圖像X的訓(xùn)練圖像，則可從訓(xùn)練圖像中學(xué)習(xí)到較多清晰圖像的先驗知識，從而求解更優(yōu)的稀疏系數(shù)。但是，實際情況下，并沒有太多類似于清晰圖像的訓(xùn)練圖像。在本文算法中，采用預(yù)濾波對圖像進行預(yù)處理。

基于上述分析，首先利用BM3D方法對噪聲圖像Y進行預(yù)濾波處理，得到圖像YB，然后再對YB進行初始化，從圖像YB中獲取組稀疏系數(shù)N較為準(zhǔn)確的估計值，即YBi=DiNi。

為提高去噪算法的性能，本文將稀疏誤差約束融合到非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)去噪算法中。圖像去噪問題便轉(zhuǎn)化為最小化lp范數(shù)和稀疏誤差，進而求得最優(yōu)稀疏系數(shù)問題?；诜峭辜訖?quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束最小化可表示為

式中： yi、 ui、 wi和 vi分別表示、Mi、Wi和 Ni的向量；權(quán)重更新公式為是一個常數(shù)；σi表示稀疏系數(shù)Mi的標(biāo)準(zhǔn)差；字典Di=[d1d2···dK]，K表示字典原子的數(shù)量；γ表示正則化參數(shù)。

由 于 式(4)中 ‖ wi·vi‖p是 非 凸lp范 數(shù)，γ ‖ui-vi‖1是凸l1范數(shù)，兩者無法同時求解，因此將式(4)拆分為兩個子問題：一是求解非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)最小化問題中的稀疏系數(shù)，即upi；二是求解稀疏誤差約束問題中的稀疏系數(shù)，即uri。最后使用均值求解法獲得最終的稀疏系數(shù)， ui=(upi+uri)/2。則式(4)重寫為

在非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)最小化問題中，利用廣義軟閾值算法求解稀疏系數(shù)upi，即

式中：Sγ表示軟閾值運算符； x?i表示第i個重構(gòu)相似組 X?i矩陣的向量。

基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束的圖像去噪算法如算法1。

算法1 基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束的圖像去噪算法

1) 利用公式 Yt+1=X?t+λ(Y-) 對輸入的噪聲圖像Y進行歸一化；

2) 判斷Yt+1和YB的結(jié)構(gòu)相似性與Yt和YB的結(jié)構(gòu)相似性的差值是否小于閾值τ；

3) 若 S S IM(Yt+1,YB)-SSIM(Yt,YB)＜τ，在圖像Yt+1中進行相似塊選??；否則，在圖像YB中進行相似塊選??；

7) 根據(jù) wi=c×2 2σ2/σi求解第t+1次權(quán)重Wit+1；

8) 利用廣義軟閾值算法求解lp范數(shù)中的稀疏系數(shù)upi；

9) 利用代理算法來求解誤差約束中的稀疏系數(shù)uri；

10) 通過求解upi和uri的均值來計算第t+1次

由算法1可知，對于一個大小為d2×m的矩陣，其中d表示算法1中圖像塊yi的寬度和高度，m是一個相似組中相似塊的數(shù)量，在每次迭代中構(gòu)建字典(算法1中5))是主計算，時間復(fù)雜度為O(min{d2m2,d4m})。廣義軟閾值算法(算法1中8))僅需要O(Km)，其中K表示廣義軟閾值算法中的迭代次數(shù)。因此，本文所提出的基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束的圖像去噪算法的時間復(fù)雜度為 J × S×O(min{d2m2,d4m}+Km)，J表示算法1的迭代次數(shù)，S表示一個滑動窗口中圖像塊的總數(shù)。

圖 1 去噪實驗的所有測試圖像Fig. 1 All test images for the denoising experiments

本文所提算法采用非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)作為正則項來保證圖像中關(guān)鍵信息的稀疏性，降低了算法的時間消耗。由于圖像中噪聲的影響，從噪聲圖像中求解的稀疏系數(shù)與真實的稀疏系數(shù)具有一定的誤差，因此本文算法引入了稀疏誤差約束，提出了基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束的圖像去噪算法。該算法利用稀疏誤差約束，獲取更精確的稀疏系數(shù)，提高了算法的去噪性能。

3 實驗分析

為驗證本文提出的基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束圖像去噪算法的有效性，采用如圖1所示的測試圖像進行仿真實驗，將本文算法與幾種相關(guān)的經(jīng)典算法 BM3D[9]、EPLL[20]、NCSR[18]、WNNM[19]、AST-NLS[21]、MSEPLL[22]進行實驗對比分析。為保證實驗的可行性和有效性，本文采用與文獻[15]中相同的參數(shù)設(shè)置進行實驗。本次實驗環(huán)境為：CPU為AMD Athlon(tm) II X4 645 Processor，內(nèi)存4 GB，系統(tǒng)為 Windows 7，實驗軟件為MATLAB-R2016。

為獲取噪聲圖像，對測試圖像加入了高斯白噪聲，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差分別為20、30、40、50，對圖像加入不同的噪聲，會選擇不同尺寸的重疊塊。當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ≤20時，重疊塊的大小為6×6；當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差20<σ≤50時，重疊塊的大小為7×7，選擇相似塊的搜索窗口大小為30×30，每個窗口選擇的相似塊個數(shù)為 60，τ=0.000 1。當(dāng) σ≤30 時，(c, ζ,λ)為 (0.2, 0.18, 0.67)；否則，(c, ζ, λ)為 (0.3, 0.22,0.67)。為評估本文算法的去噪性能，本文使用圖像的峰值信噪比(PSNR)作為實驗結(jié)果的評價標(biāo)準(zhǔn)，本文算法與所有對比算法的PSNR值如表1～4所示。

從表1～4可知，PSNR值隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增加逐漸降低，本文算法的大部分PSNR值都高于其他算法的PSNR值，且PSNR的平均值均高于其他相關(guān)算法的PSNR平均值。本文算法與相關(guān)算法的PSNR值進行比較，表1中PSNR值提升最高的是NCSR算法，提高了4.34 dB；表2中PSNR值提升最高的是EPLL算法，提高了3.69 dB；表3和表4中PSNR值提升最高的是BM3D算法，分別提高了3.48 dB和3.66 dB。本文算法與相關(guān)算法的PSNR平均值進行比較，其中提升最高的是表3中的EPLL算法，平均提升了1.9 dB，提高最低的是表4中的WNNM算法，平均提升了0.30 d B。本文算法在非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)的基礎(chǔ)上增加了稀疏誤差約束，在獲取有效估計稀疏系數(shù)的基礎(chǔ)上，降低估計稀疏系數(shù)與真實稀疏系數(shù)之差，學(xué)習(xí)更精確的先驗知識，取得了更好的去噪性能，驗證了本文算法的可行性和有效性。

表 1 不同去噪算法在標(biāo)準(zhǔn)差σ=20下的PSNR結(jié)果Table 1 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=20 dB

表 2 不同去噪算法在標(biāo)準(zhǔn)差σ=30下的PSNR結(jié)果Table 2 The PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=30 dB

表 3 不同去噪算法在標(biāo)準(zhǔn)差σ=40下的PSNR結(jié)果Table 3 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=40 dB

續(xù)表3

表 4 不同去噪算法在標(biāo)準(zhǔn)差σ=50下的PSNR結(jié)果Table 4 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=50 dB

通過各算法PSNR的實驗對比，表明了本文方法性能的優(yōu)勢。同時，為更好地體現(xiàn)本文算法的優(yōu)越性，實驗對比分析了幾種相關(guān)算法在相同運行環(huán)境下的運行時間。各算法的平均運行時間如表5所示。

從表5可以看出，本文算法的運行時間在89.64 s左右，由于本文算法在去噪過程中采用自適應(yīng)的相似塊選取方法，依據(jù)圖像的結(jié)構(gòu)自相似性，排除非相似塊的干擾，快速準(zhǔn)確地構(gòu)建相似組，因此在與算法EPLL、NCSR、WNNM、AST-NLS和MSEPLL比較時，本文算法運行效率較高，節(jié)省更多的運行時間。雖然本文算法在運行時間上遜于BM3D算法，但在PSNR值上遠高于BM3D算法。通過上述分析，本文算法具有更好的有效性。

表 5 相關(guān)算法在14個測試圖像下的平均運行時間Table 5 Average run time with related methods for the 14 test images

為顯示去噪算法的視覺效果，本文采用噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為σ=40的House測試圖像進行了仿真實驗，實驗結(jié)果如圖2所示。從圖2測試圖像的右下角窗口可以清晰地看出，其他的去噪算法包含了更多的噪聲，同時產(chǎn)生了很多的偽影。如圖2(c)所示，由于EPLL算法忽略了圖像的非局部自相似性，其紋理和結(jié)構(gòu)邊緣處的細節(jié)信息存在嚴重丟失，影響了直觀視覺感受。本文所提算法是基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)進行研究的，利用圖像的非局部自相似性，在有效去除圖像噪聲的同時更好地保留了圖像的紋理特征，如圖2(i)所示。通過上述分析可知，本文所提出的算法具有較好的去噪性能，不僅可以獲得較高的PSNR值，同時還產(chǎn)生了更好的視覺感受。

圖 2 House測試圖像的去噪結(jié)果Fig. 2 Denoising results of House test images

4 結(jié)束語

本文基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)算法的研究，將稀疏誤差約束融入到非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)優(yōu)化算法中，提出了一種基于非凸加權(quán)l(xiāng)p范數(shù)稀疏誤差約束的圖像去噪算法，將圖像去噪問題轉(zhuǎn)化為降低誤差約束，尋找最優(yōu)稀疏系數(shù)問題。為了更好地求解最優(yōu)稀疏系數(shù)，本文分別使用廣義軟閾值算法和代理算法來求解非凸lp范數(shù)中的稀疏系數(shù)和誤差約束中的稀疏系數(shù)。實驗結(jié)果表明，本文所提出的算法可以魯棒地求解稀疏系數(shù)，求得更高的峰值信噪比，以及更高的運行效率，并產(chǎn)生了較好的視覺效果，具有較大的實用性和有效性。