李偉東

摘 要 在教學中，每每與學生談起函數(shù)時，學生們都感覺函數(shù)太抽象，太難了，問題主要有：看不懂、記不住和做不來等，本文旨在借加涅學習結(jié)果分類之理論，解函數(shù)符號教學實踐之問題，以期改變學生對函數(shù)的看法，使其不再恐懼，更能獲得五種學習結(jié)果。

關(guān)鍵詞 函數(shù)符號 加涅學習結(jié)果 分類理論

中圖分類號：G720 文獻標識碼：A

函數(shù)符號具有形式的簡單性，內(nèi)涵的精確性，應(yīng)用上的可操作性以及使用上的統(tǒng)一性等特征，對學習者的抽象思維有較高的要求。而皮亞杰認為：人的形式運算（抽象思維）能力并不會突然獲得，而是在身體成熟和環(huán)境經(jīng)驗的共同作用下慢慢獲得，一般會在15歲左右進入形式運算階段，并且一些證據(jù)表明，相當一部分人在很晚的年齡才學會形式運算能力，而有些人甚至一直都沒有獲得這種能力。因此重視對函數(shù)符號的解釋和辨別，創(chuàng)設(shè)環(huán)境，提升學生的抽象思維能力，是學生學好函數(shù)，重獲自信的關(guān)鍵。受加涅學習結(jié)果分類理論的啟示，圍繞5種學習結(jié)果進行教學設(shè)計，尋求破局。

1言語信息，取函數(shù)符號之意

言語信息是指通過言語傳達信息的能力，即“知識”，“知道是什么”的能力。教學中，對函數(shù)符號的釋義，宜做到簡單易懂、深刻好記、能操作。

案例1：函數(shù)的定義符號。

函數(shù)定義符號表示定義域內(nèi)任一個數(shù)，在對應(yīng)關(guān)系下，都有唯一一個數(shù)（）（）與之對應(yīng)。具備言語信息的學生，不單能簡單對定義符號復述和記憶，更能從具體的環(huán)境中表述和運用出來， 如根據(jù)函數(shù)（）=，g（）=2獲得（ 1）= 1，g（g（0））=2等。另外，=（）還可延伸出函數(shù)的三要素，的取值范圍（定義域），是函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，（）的取值范圍（值域）。其中（）由與而定，為判斷兩函數(shù)是否相同做了鋪墊。有了上面的認識基礎(chǔ)，學生對抽象函數(shù)中出現(xiàn)的符號（）理解為所對的，理解為、x所對的平均值，便能抓住了符號的本質(zhì)。

案例2：函數(shù)奇偶性、對稱性及周期性符號。

在解釋符號：'' ，（）= （2a ）、（）= （2a ）前，宜同化中點公式，找到學生的最新發(fā)展區(qū)。即不管如何變化，與2a 是關(guān)于=a對稱的兩個數(shù)，如果它們所對的相等，即函數(shù)關(guān)于=a對稱，如果它們所對的相反，即函數(shù)關(guān)于（a，0）對稱。若a=0，即前者為偶函數(shù)，后者為奇函數(shù)。

若'' ，（）= （+T），（T為常數(shù)），則=（）的周期為T。括號內(nèi)，不管如何變化，（+T） 始終為常數(shù)T，它們對應(yīng)的相等，通俗地說，“任意經(jīng)過T個單位后，回來”。變形符號有（）= （+T），（）=等，如果通過推導：由（）= （+T） （+T）= （+2T） （）=（+2T）得周期為2T，對部分學生來說，難于接受。換種說法，“任意經(jīng)過了T個單位，它們所對的互為相反數(shù)或倒數(shù)，即只回到了半路”，所以該函數(shù)的周期為2T，更易于被接受。對稱性符號與周期性符號的區(qū)別信息是：括號內(nèi)的數(shù)，和為常數(shù)與差為常數(shù)。

案例3：函數(shù)圖象的變換符號。

函數(shù)圖象的變換符號比較多，學生容易混淆或不會操作，通過下面的信息，便于辨別的同時還能兼?zhèn)洳僮鞣椒?。?（）與=（盿） ，=（）與=（）盿（a>0），對比前后兩個函數(shù)，對加減，即左加右減，對加減：即上加下減；=（）與=（a），=（）與=a（） （a>0），對乘a，看定伸縮，對乘a，看a定伸縮（a>0）。

2動作技能，得函數(shù)符號之形

動作技能是指將各動作組成連貫、精確的完整動作的能力，如繪制函數(shù)圖象，制作幾何模型等。

函數(shù)符號教學中動作技能的培養(yǎng)，主要體現(xiàn)在函數(shù)作圖，教學中要培養(yǎng)學生三種作圖技能：第一，在理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，利用描點法（從多點到關(guān)鍵點）作出具體函數(shù)的圖象，同時能根據(jù)圖象逆向理解相關(guān)定義。如圖1，通過多個描點到提煉出三個關(guān)鍵點畫出函數(shù)（）=2圖象。如圖2，能根據(jù)函數(shù)（）=的圖象，理解函數(shù)的單調(diào)性定義，尤其是其中對任意性的描述，體驗函數(shù)在（ ，0）∪（0，+）上并不單調(diào)遞增。

第二，能根據(jù)函數(shù)符號的信息，畫出草圖，并根據(jù)草圖逆向理解函數(shù)性質(zhì)。如圖3，理解函數(shù)的奇偶性和對稱性，同時可以借用幾何畫板追蹤點的蹤跡，印證函數(shù)的對稱性，如圖4。

第三，能根據(jù)符號信息，對函數(shù)圖象進行各種變換，如圖5。

3智慧技能，索符號之果

智慧技能是指運用符號與環(huán)境相互作用的能力、運用概念和規(guī)則辦事的能力，即“知道如何去做”的能力。習得函數(shù)=（）概念及其三要素的學生， 能辨別出函數(shù)的正例和反例，能對函數(shù)同屬歸類，如：

例1：下列各圖中，可表示函數(shù)y=f（x）的圖象的只可能是（ ）

例2：下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）

（A）.=1，= （B）. = ，=

（C）.=，= （D）. =|x|，=（）2

同時，具有作圖的意識，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。如：

例3：在=2，=log2，y=2，y=cos2這四個函數(shù)中，

當0<1<2<1時，使（）>恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（ ）

（A）. 0 （B）. 1 （C）. 2 （ D）. 3

學生在理解符號（）和的基礎(chǔ)上，通過圖6，認識凹凸性，最終確定答案為B。

具備智慧技能的學生，不僅僅是對例題的模仿，更是抓住概念和規(guī)則的本質(zhì)，靈活應(yīng)用到不同的環(huán)境中去。如：

例4：函數(shù)（）=的定義域為 。

學生除了能順利解決此問題，對其各種變形也應(yīng)應(yīng)對自如，如變換條件：

變式1：已知=（），則函數(shù)=（）的定義域為 。

變式2：已知=（）且g（）=（2）+（+1），則=g（）的定義域為 。

如變換問題：

變式3：函數(shù)（）=的單調(diào)區(qū)間為 。

變式4：若函數(shù)（）=，則不等式（2m）<（m+1）的解集為 。

如變換條件、問題：

變式5：若函數(shù)（）對任意的都有（+4）= （ ），（+6）=（ ），且當[0，2]時，（）=，則（2019）= .

變式6：若函數(shù)（）為奇函數(shù)，（ 1）為偶函數(shù)，且當x[ 2，0]時，（）= ，則函數(shù)=（） lg的零點個數(shù)是 。

4認知策略，授之以漁

認知策略是指指導自己注意、學習、記憶和思維的能力，控制自身內(nèi)部技能的能力。經(jīng)過循序漸進，獲得以上三種技能后，學生們對函數(shù)符號的辨別和識記，對作圖步驟和技能，對問題的思考和方向都有了初步的認知，教師可以引導學生歸納總結(jié)出學習函數(shù)的方法，構(gòu)建知識，形成程序：定義、符號的理解→圖象的作法→看圖分析函數(shù)性質(zhì)→利用知識解決問題，并遷移到具體函數(shù)的學習上。Thorndike練習律告訴我們，已形成的聯(lián)結(jié)得到不斷應(yīng)用，聯(lián)結(jié)便得以加強。當學生堅持用此種學法學完基本初等函數(shù)后，相信學生對函數(shù)的認知水平會不僅是上升一個階層，更是獲得一種學習函數(shù)的方法。

5態(tài)度，啟動學習內(nèi)驅(qū)

態(tài)度是指影響個體行為選擇的心理狀態(tài)，表現(xiàn)在對數(shù)學學科、對數(shù)學興趣、對數(shù)學具體內(nèi)容的態(tài)度。學生對函數(shù)符號不再陌生，自然就會消除了恐懼，不再覺得函數(shù)太抽象，知道符號表達的是什么，并嘗試利用圖象將其形象化，應(yīng)用智慧技能試著解決問題。從陌生到熟悉，從抽象到形象，從無到有，過程中，學生收獲了知識，體驗了成功，對函數(shù)的看法有了改變，使刺激與反應(yīng)間聯(lián)結(jié)形成的同時，伴與愉快的情緒體驗，學習效果便得以加強，使得“要我學”向“我要學”成為可能。

總之，加涅學習結(jié)果分類理論對函數(shù)符號教學設(shè)計具有很強的指導意義，圍繞5種結(jié)果進行教學操作，學生更易于理解、辨別、識記和應(yīng)用符號，同時使得目標更加明確，評價教學或?qū)W生學習效果可操作性更強。

參考文獻

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