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        拉格朗日中值定理的10個(gè)推廣

        2019-05-18 12:12:20

        (玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,云南 玉溪 653100)

        拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析中很重要的定理,同時(shí)在高等數(shù)學(xué)中也占有重要的地位,它可以研究函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的整體性.在各類(lèi)大型考試中,拉格朗日中值定理也占有很重要的位置,是主要的考點(diǎn),經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在一些理論分析和證明題中.本文主要闡述拉格朗日中值定理在實(shí)函數(shù)論中的推廣,通過(guò)這些推廣可以拓寬拉格朗日中值定理的使用范圍.

        本文探究了拉格朗日中值定理的10個(gè)推廣,并根據(jù)拉格朗日中值定理的推廣來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.總體看,不同的推廣有不同的特點(diǎn),且每個(gè)推廣與拉格朗日中值定理之間是相互聯(lián)系的.

        1 拉格朗日中值定理

        下面介紹本文涉及的定理:

        定理(拉格朗日中值定理) 若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:

        (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

        (2)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

        則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

        顯然,當(dāng)f(a)=f(b)時(shí),拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理.

        這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情況.

        2 拉格朗日中值定理的推廣

        定理1 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得

        因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b)=0,

        則由羅爾中值定理可得,存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=0.即

        定理2 設(shè)函數(shù)f1(x),f2(x),…,fn(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得

        因?yàn)镕(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b)=o,

        則由羅爾中值定理可得,存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得F′(x)=0.即

        類(lèi)似可證:

        類(lèi)此可證:

        證明設(shè)f(x)僅在c∈(a,b)不可微,則由拉格朗日中值定理可得,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),其中,ξ∈(a,b),使得

        f(c)-A=f′(ξ1)(c-a),ξ1∈(a,c),

        B-f(c)=f′(ξ2)(b-c),ξ2∈(c,b).

        令,|f′(ξ)|=max{|f′(ξ1)|,|f′(ξ2)|}則

        |B-A|≤|f′(ξ)|(b-a).

        證明設(shè)f(x)僅在c∈(a,b)內(nèi)不可微,則由拉格朗日中值定理可得,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),其中,ξ∈(a,b),使得

        f(c)-A=f′(ξ1)(c-a),ξ1∈(a,c),

        B-f(c)=f′(ξ2)(b-c),ξ2∈(c,b),

        取實(shí)數(shù)α1,α2,使得α1(b-a)=c-a,α2(b-a)=b-c,則α1+α2=1,α1>0,α2>0,且

        B-A=[α1f′(ξ1)+α2f′(ξ2)](b-a).

        定理7 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)存在右導(dǎo)數(shù)f′+(x),當(dāng)f(a)>f(b)(或f(a)

        證明存在m,使得f(a)>m>f(b).

        令E={x|f(x)

        在c的領(lǐng)域內(nèi),當(dāng)a

        同理可證:

        推論2 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)f′-(x),當(dāng)f(a)f(b))時(shí),則存在一點(diǎn)c∈(a,b),使得f′-(c)≥0(或f′-(c)≤0).

        定理8 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)存在右導(dǎo)數(shù)f′+(x),且f(a)=f(b),則存在x1,x2∈(a,b),使得f′+(x1)≤0,f′+(x2)≥0.

        證明①若f(x)=f(a),則對(duì)任意的x1,有

        所以f′+(x1)=0,結(jié)論成立.

        ②若f(x)≠f(a),則存在一點(diǎn)c∈(a,b),使得f(c)>f(a);或存在一點(diǎn)d∈(a,b),使得f(d)

        由定理7可得,存在x1,x2,且a

        f′+(x1)≤0,f′+(x2)≥0.

        同理可證:

        推論3 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)f′-(x),且f(a)=f(b),則存在x1,x2∈(a,b),使得f′-(x1)≤0,f′-(x2)≥0.

        對(duì)F(x)求右導(dǎo)數(shù),得:

        因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)存在f′+(x),且F(a)=F(b)=0.

        由定理7可得,存在x1,x2∈(a,b),使得F′+(x1)≤0,F′+(x2)≥0.即

        推論4 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)f′-(x1),則存在x1,x2∈(a,b),使

        定理10 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)存在右導(dǎo)數(shù)f′+(x),g′+(x),且f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),則存在x1,x2∈(a,b),使

        (f(b)-f(a))g′+(x1)-(g(b)-g(a))f′+(x1)≤0,

        (f(b)-f(a))g′+(x2)-(g(b)-g(a))f′+(x2)≥0.

        對(duì)F(x)求右導(dǎo)數(shù),得:

        F′+(x)=(f(b)-f(a))g′+(x)-(g(b)-g(a))f′+(x).

        因?yàn)镕(x)在[a,b]上連續(xù),F(xiàn)′+(x)在(a,b)內(nèi)存在,且F(a)=F(b)=0.

        由定理7可得,存在x1,x2∈(a,b),使得F′+(x1)≤0,F′+(x2)≥0.所以有,

        (f(b)-f(a))g′+(x1)-(g(b)-g(a))f′+(x1)≤0,

        (f(b)-f(a))g′+(x2)-(g(b)-g(a))f′+(x2)≥0.

        推論5 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)存在f′-(x),g′-(x),且f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),則存在x1,x2∈(a,b),使

        (f(b)-f(a))g′-(x1)-(g(b)-g(a))f′-(x1)≤0,

        (f(b)-f(a))g′-(x2)-(g(b)-g(a))f′-(x2)≥0.

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