何劉海 吳桂嬌 王 平

中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，中國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，株洲，412002

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的軸心軌跡能夠部分反映轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性和運(yùn)行狀態(tài)，從中可以獲得轉(zhuǎn)子不平衡、不對(duì)中、松動(dòng)、碰摩、彎曲等信息，由此對(duì)軸心軌跡進(jìn)行分析研究，可為航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和故障診斷提供重要的依據(jù)［1－2］。

軸心軌跡自動(dòng)識(shí)別實(shí)際上就是二維圖像信息處理及其模式識(shí)別過(guò)程。目前，軸心軌跡信息處理主要方法有小波分析、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）、不變矩、編碼方法等；模式識(shí)別方法有概率統(tǒng)計(jì)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、關(guān)聯(lián)度分析、D－S證據(jù)理論等。袁倩等［3］利用不變矩和傅里葉描述子提取軸心軌跡特征，并采用D－S證據(jù)理論識(shí)別故障。許飛云等［4］通過(guò)改進(jìn)的Zernike矩獲取軸心軌跡矩特征向量，與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類(lèi)器相結(jié)合來(lái)識(shí)別軸心軌跡形狀。付波等［5］研究了軸心軌跡的仿射不變矩，結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行故障診斷。劉剛等［6］采用周期重采樣和小波降噪相結(jié)合的方法提純軸心軌跡，將軸心軌跡的極半徑序列作為特征，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行識(shí)別。陳仁祥等［7］采用集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EEMD）對(duì)軸心軌跡降噪后提純，并與諧波窗和EMD進(jìn)行對(duì)比。陳喜陽(yáng)等［8］引入了Hu矩和仿射矩的組合矩作為特征向量，利用改進(jìn)的粒子算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法識(shí)別水電機(jī)組的軸心軌跡。

由上可見(jiàn)，軸心軌跡識(shí)別的研究主要集中于二維圖像降噪提取特征向量，但模式識(shí)別方法不能較好地解決小樣本、非線(xiàn)性、局部極小點(diǎn)等實(shí)際問(wèn)題。為了提高小樣本問(wèn)題識(shí)別準(zhǔn)確率，針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子故障，本文提出了基于支持向量機(jī)（SVM）決策樹(shù)的智能識(shí)別方法。該方法利用二維形狀不變矩提取軸心軌跡形狀特征，進(jìn)而構(gòu)造特征故障的訓(xùn)練和測(cè)試樣本，對(duì)SVM進(jìn)行訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，構(gòu)造SVM決策樹(shù)，從而識(shí)別航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子故障類(lèi)別。

1 二維形狀不變矩法

二維形狀不變矩法是一種通過(guò)提取軸心軌跡圖像中的不變矩來(lái)識(shí)別形狀的方法。圖像的不變矩主要表征圖像區(qū)域的幾何特征，具有旋轉(zhuǎn)、平移、尺度等不變性的數(shù)學(xué)特征。不變矩具有明確的物理意義，可以把圖像看成一塊質(zhì)量密度不均勻的薄板，則各階矩有著不同的含義：零階矩表示它的總質(zhì)量；一階矩表示它的質(zhì)心；二階矩又叫慣性矩，表示圖像的大小和方向［9－10］。

設(shè)一個(gè)二維函數(shù)f（x，y）為圖像在R2平面內(nèi)的分布密度函數(shù)，它表示在坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）上的灰度，且是分段連續(xù)的，則對(duì)于任意正整數(shù)u和v，f（x，y）在R2平面上的u＋v階矩定義為

考慮到軸心軌跡圖像為離散圖像，故需簡(jiǎn)化上式，式（1）離散形式為

為簡(jiǎn)化計(jì)算，R2平面上軸心軌跡經(jīng)過(guò)的各坐標(biāo)點(diǎn)的灰度都相同，即f（x，y）＝1；反之軸心軌跡沒(méi)有經(jīng)過(guò)的各坐標(biāo)點(diǎn)的灰度為0，即f（x，y）＝0。則式（2）可簡(jiǎn)化為

為了使矩特征具有平移變換不變性，需要對(duì)矩Muv進(jìn)行變換處理，計(jì)算其圖像的中心矩。軸心軌跡在R2平面內(nèi)的u＋v階矩的中心矩

式中，x0、y0分別為圖像的質(zhì)心。

同理，為了使矩特征具有比例變換不變性，需要對(duì)中心矩μuv進(jìn)行歸一化處理：

最后，可利用歸一化的中心矩的特征集合來(lái)使矩特征具有旋轉(zhuǎn)變換不變性。本文利用Hu研究得到的7個(gè)完備的2階、3階歸一化的中心矩，通過(guò)計(jì)算軸心軌跡的7個(gè)不變矩構(gòu)成的矩組來(lái)表征幾何特征。不同形狀的軸心軌跡都可以計(jì)算得到唯一的矩組，這為正確識(shí)別軸心軌跡提供了保證。

2 SVM決策樹(shù)

SVM方法建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理基礎(chǔ)上，相對(duì)于其他分類(lèi)方法，它的主要優(yōu)點(diǎn)如下：可以解決非線(xiàn)性、高維問(wèn)題，可以解決小樣本的機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題；具有較好的推廣性；避免了選擇局部極小點(diǎn)問(wèn)題。但是最初的SVM是用來(lái)解決二類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題的，并不能直接運(yùn)用在多類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題上。而SVM決策樹(shù)解決了多類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題，它是通過(guò)構(gòu)造一系列的兩類(lèi)分類(lèi)器SVM，并把它們組合在一起來(lái)實(shí)現(xiàn)多類(lèi)分類(lèi)的。針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子多類(lèi)的故障模式，本文采用基于二叉樹(shù)的SVM多類(lèi)分類(lèi)方法，該方法優(yōu)于其他多類(lèi)分類(lèi)方法，具有較好的推廣性。

2.1 支持向量機(jī)原理

首先考慮線(xiàn)性可分的兩類(lèi)問(wèn)題，設(shè)樣本為（xi，yi），i＝1，2，…，s，其 中，xi∈Rm，yi∈｛1，－1｝。構(gòu)建一個(gè)分類(lèi)超平面H的方程［11］：

該超平面可以將樣本正確地劃分為兩類(lèi)，分類(lèi)如下：

如圖1所示，SVM的超平面H 可以正確分開(kāi)兩類(lèi)樣本，為了使兩類(lèi)樣本之間的間距最大，即超平面到最近樣本點(diǎn)的距離最大，需要求解最優(yōu)超平面，即

約束條件為

圖1 SVM原理Fig.1 The schematic drawing of SVM

為求解上述函數(shù)最小值，引入拉格朗日乘子，αi≥0，i＝1，2，…，l。則式（8）可線(xiàn)性變換為

約束條件為

式（11）中只有αi≥0的樣本有效，并且這些樣本就是支持向量，即圖1中H1和H2上的訓(xùn)練樣本［12］。最優(yōu)分類(lèi)判別函數(shù)為

對(duì)于非線(xiàn)性可分的問(wèn)題，可以通過(guò)選用適當(dāng)核函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到更高維的特征空間中，從而轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性可分問(wèn)題。因此，非線(xiàn)性可分問(wèn)題求解最優(yōu)超平面的最大化方程為

最優(yōu)分類(lèi)判別函數(shù)

其中，K （x · xi）為 核 函 數(shù)。 選 擇 不 同 的 核 函 數(shù)就可以構(gòu)造出不同類(lèi)型的SVM?？紤]到數(shù)據(jù)沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)，并且使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單化，本文選擇的核函數(shù)為Gauss核函數(shù)：

式中，xc為核函數(shù)中心；σ為函數(shù)的寬度參數(shù)，控制函數(shù)的徑向作用范圍。

2.2 基于二叉樹(shù)的SVM多類(lèi)分類(lèi)方法

根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的故障機(jī)理，可以得出：轉(zhuǎn)子不平衡量大時(shí)，軸心軌跡為顯著的橢圓形；轉(zhuǎn)子發(fā)生不對(duì)中故障時(shí)，典型的軸心軌跡是香蕉形，嚴(yán)重不對(duì)中故障會(huì)使軸心軌跡變成外8字形；當(dāng)機(jī)械松動(dòng)時(shí)，軸心軌跡是不規(guī)則圖形；當(dāng)轉(zhuǎn)子之間發(fā)生碰摩時(shí)，軸心軌跡則比較雜亂，呈現(xiàn)梅花形。本文以4種常見(jiàn)故障模式（不平衡、不對(duì)中、松動(dòng)和轉(zhuǎn)靜子碰摩）的軸心軌跡形狀來(lái)構(gòu)造多類(lèi)分類(lèi)器［12－13］。采用基于二叉樹(shù)的 SVM 多類(lèi)分類(lèi)方法，其多類(lèi)分類(lèi)器構(gòu)造步驟如下：第1個(gè)二類(lèi)分類(lèi)器SVM1將第1類(lèi)故障與第2，3，…，N 類(lèi)故障分開(kāi)，構(gòu)造SVM1；第i個(gè)二類(lèi)分類(lèi)器SVMi將第i類(lèi)故障與第i＋1，i＋2，…，N 類(lèi)故障分開(kāi)，構(gòu)造SVMi；直到第N－1個(gè)二類(lèi)分類(lèi)器SVM（N-1）將N－1類(lèi)故障與第N 類(lèi)故障分開(kāi)，構(gòu)造SVM（N-1）；最后把N－1個(gè)二類(lèi)分類(lèi)器按照二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造SVM決策樹(shù)，即可準(zhǔn)確分類(lèi)N 類(lèi)故障。轉(zhuǎn)子軸心軌跡SVM決策樹(shù)判別故障流程如圖2所示。

圖2 軸心軌跡的SVM決策樹(shù)Fig.2 SVM decision tree of shift orbits

3 基于SVM決策樹(shù)的智能識(shí)別方法

結(jié)合信號(hào)的時(shí)域和頻域特征，可知航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸心軌跡不同形狀對(duì)應(yīng)不同狀態(tài)。本文利用的二維形狀不變矩是將各階矩作為特征來(lái)描述和分析圖像，它具有旋轉(zhuǎn)、平移、尺度等不變性的數(shù)學(xué)特征，故可作為轉(zhuǎn)子故障的特征向量。SVM決策樹(shù)是針對(duì)小樣本和多類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題的機(jī)器學(xué)習(xí)理論，比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等其他傳統(tǒng)分類(lèi)方法具有更好的泛化性能、更高的分類(lèi)能力和準(zhǔn)確率，并且在時(shí)間效率方面有明顯提高。該智能識(shí)別方法充分綜合利用了二維形狀不變矩和支持向量機(jī)決策樹(shù)的優(yōu)點(diǎn)，可準(zhǔn)確高效地識(shí)別軸心軌跡形狀特征。

基于SVM決策樹(shù)的軸心軌跡識(shí)別方法流程圖如圖3所示，其步驟如下。

圖3 基于SVM決策樹(shù)的智能識(shí)別方法流程圖Fig.3 Flow chart of intelligent recognition method based on SVM decision tree

（1）軸心軌跡信號(hào)預(yù)處理。由于實(shí)測(cè)信號(hào)包含豐富的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)信息，信噪比較低，特別是轉(zhuǎn)子故障特征信號(hào)微弱或被其他信號(hào)淹沒(méi)時(shí)，其軸心軌跡比較復(fù)雜，降低了轉(zhuǎn)子故障類(lèi)別識(shí)別的準(zhǔn)確性，故需要對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行降噪以提取有用的信息。本文采用EMD方法對(duì)軸心軌跡進(jìn)行濾波降噪和倍頻提純，即對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行EMD分解，得到各個(gè)IMF分量，根據(jù)轉(zhuǎn)子故障的先驗(yàn)知識(shí)（如轉(zhuǎn)頻、2倍頻、3倍頻、4倍頻，還包括次頻成份：1／2倍頻、1／3倍頻、1／4倍頻等），選擇相應(yīng)時(shí)間特征尺度的IMF重構(gòu)信號(hào)，得到有用的故障信號(hào)，從而形成比較清晰的軸心軌跡。常見(jiàn)的5種軸心軌跡提純前后對(duì)比見(jiàn)圖4。

圖4 5種常見(jiàn)軸心軌跡提純前后對(duì)比Fig.4 Comparison of five common shift orbits before and after purification

（2）計(jì)算二維形狀不變矩。對(duì)提純后的軸心軌跡圖像進(jìn)行填充，然后分別計(jì)算φ1～φ7，構(gòu)造不變矩特征向量。由于計(jì)算得到的不變矩值動(dòng)態(tài)范圍較大，為了權(quán)衡各不變矩的比重，對(duì)不變矩進(jìn)行l(wèi)nφi計(jì)算，并取其絕對(duì)值，獲得修正的不變矩組。

（3）構(gòu)造SVM決策樹(shù)。根據(jù)故障經(jīng)驗(yàn)所獲得的仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)每種故障信號(hào)按照步驟（1）和步驟（2）進(jìn)行處理，得到每類(lèi)故障30組訓(xùn)練樣本和30組測(cè)試樣本。

將每類(lèi)故障30組共120組訓(xùn)練樣本構(gòu)成訓(xùn)練集 ｛（x1，y1），（x2，y2），…，（x120，y120）｝，其中，xi∈R7，即不變矩特征向量；yi∈｛1，－1｝，yi＝1表示該樣本點(diǎn)xi不存在某種故障；yi＝－1表示xi屬于某種故障。訓(xùn)練完每個(gè)SVM以后，將每類(lèi)故障30組共120組測(cè)試樣本對(duì)每個(gè)SVM進(jìn)行測(cè)試，每個(gè)SVM判別準(zhǔn)確率見(jiàn)表1。

表1 每個(gè)SVM測(cè)試準(zhǔn)確率Tab.1 Test accuracy of each SVM %

然后構(gòu)造SVM決策樹(shù)，把每類(lèi)故障的30組測(cè)試樣本輸入SVM決策樹(shù)進(jìn)行故障識(shí)別，記錄測(cè)試樣本分類(lèi)結(jié)果，見(jiàn)表2。

表2 SVM決策樹(shù)測(cè)試結(jié)果Tab.2 Test results of SVM decision tree

由表2可以看出，采用基于二叉樹(shù)的SVM多類(lèi)分類(lèi)方法，航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸心軌跡故障診斷的準(zhǔn)確率均可達(dá)93.3%以上。

（4）智能識(shí)別。將實(shí)測(cè)信號(hào)的7不變矩組成的特征向量構(gòu)造測(cè)試樣本輸入SVM決策樹(shù)，用基于二叉樹(shù)的SVM多類(lèi)分類(lèi)方法進(jìn)行故障類(lèi)別識(shí)別，即可識(shí)別軸心軌跡的形狀和故障類(lèi)別。

4 航空發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)用實(shí)例

由于測(cè)量環(huán)境限制，某航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的軸心軌跡是通過(guò)測(cè)量彈性支撐器的振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)來(lái)獲取的。該方法的原理如下：在彈性支撐器的彈性變形范圍內(nèi)，彈性支撐器振動(dòng)應(yīng)力和轉(zhuǎn)子支撐點(diǎn)的位移成線(xiàn)性關(guān)系，由此可以直接從轉(zhuǎn)子彈性支撐器的彈條上獲取轉(zhuǎn)子振動(dòng)應(yīng)力，其信號(hào)信噪比高，從而可獲得轉(zhuǎn)子的軸心軌跡［14－15］。實(shí)測(cè)的不同故障軸心軌跡如圖5所示，按照上述步驟對(duì)其進(jìn)行識(shí)別。

圖5 實(shí)測(cè)的不同故障軸心軌跡Fig.5 Measured shift orbits of different faults

（1）軸心軌跡信號(hào)預(yù)處理。對(duì)原始振動(dòng)應(yīng)力信號(hào)采用EMD方法進(jìn)行濾波降噪和倍頻提純，首先進(jìn)行EMD分解得到IMF分量，根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速45 000r／min可知轉(zhuǎn)頻為750Hz，計(jì)算得其各個(gè)倍頻：187.5Hz、250Hz、375Hz、750Hz、1 500Hz、2 250Hz、3 000Hz，選取相應(yīng)頻段的IMF分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，濾波降噪后提純的信號(hào)組成的軸心軌跡如圖6所示。

圖6 濾波降噪、提純后的軸心軌跡Fig.6 Shift orbits after the purification and filtering noise reduction

（2）計(jì)算二維形狀不變矩。對(duì)軸心軌跡圖形進(jìn)行填充，然后計(jì)算其不變矩特征向量，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 軸心軌跡圖像的不變矩Tab.3 Invariant moments of shift orbits

（3）智能識(shí)別。將步驟（2）獲得的不變矩特征向量輸入SVM決策樹(shù)，圖像a識(shí)別結(jié)果為不平衡，圖像b和圖像c識(shí)別結(jié)果都為不對(duì)中，圖像d識(shí)別結(jié)果為碰摩，可知它們與實(shí)際相符，從而驗(yàn)證了該方法的有效準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

采用EMD提純方法使得故障特征顯著，有利于識(shí)別圖形模式，提高了樣本數(shù)據(jù)的有效性。取得了較高的識(shí)別率，有效地解決了小樣本的多類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題；將其應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸心軌跡識(shí)別，識(shí)別結(jié)果與實(shí)際相符，證明了該方法的有效性及準(zhǔn)確性。與其他模式識(shí)別方法相比，該方法比較適合類(lèi)似于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子樣本規(guī)模比較小的問(wèn)題，具有訓(xùn)練速度快、分類(lèi)速度快、分類(lèi)精度高或泛化能力強(qiáng)的特點(diǎn)，且具有全局最優(yōu)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、推廣能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，解決了不可分區(qū)域問(wèn)題。