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        一種單自由度3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)

        2019-05-18 06:05:50沈惠平朱小蓉李云峰
        中國機(jī)械工程 2019年8期

        沈惠平 呂 蒙 朱小蓉 李云峰

        常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心,常州,213016

        0 引言

        工業(yè)上許多場合需要結(jié)構(gòu)簡單、少驅(qū)動(dòng)源但能產(chǎn)生空間復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的空間機(jī)構(gòu)。在提出、研制單自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩的基礎(chǔ)上[1-3],筆者提出了“少輸入-多輸出”(Fi-Mo)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的概念,建立了驅(qū)動(dòng)輸入數(shù)、自由度數(shù)、動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)個(gè)數(shù)(含獨(dú)立和非獨(dú)立元素)三者之間的數(shù)學(xué)模型[4],并提出了Fi-Mo機(jī)構(gòu)的兩種設(shè)計(jì)方法[5];據(jù)此,設(shè)計(jì)了大量少輸入-多輸出并聯(lián)機(jī)構(gòu)[6-8];進(jìn)一步,發(fā)明并設(shè)計(jì)了基于單自由度三轉(zhuǎn)動(dòng)輸出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的肩關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練機(jī)[9]、并聯(lián)式腳底按摩機(jī)[10]以及多種輸出形式的并聯(lián)振動(dòng)篩[11],為其他新型節(jié)能裝備的設(shè)計(jì)、研發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)。單自由度的Fi-Mo機(jī)構(gòu)是一種新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)[4-5],因其驅(qū)動(dòng)元件少、造價(jià)低、結(jié)構(gòu)緊湊,所以有著較高的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用前景,但目前對Fi-Mo并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)研究還較少。

        本文提出了一種新型的單自由度三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu),分析了該機(jī)構(gòu)的方位特征(position orientation characteristic,POC)、自由度(DOF)及耦合度κ等拓?fù)涮匦?,?dǎo)出了其運(yùn)動(dòng)位置正逆解、速度與加速度公式,此外為該機(jī)構(gòu)用于產(chǎn)生3T1R的振動(dòng)篩分裝置進(jìn)行了3D虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)。

        1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

        本文提出的單自由度3T1RFi-Mo并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示,它由靜平臺(tái)0、動(dòng)平臺(tái)1以及連接兩平臺(tái) 之間的 一條混 合支鏈(hybrid single-openchain,HSOC)HSOC1和一條簡單支鏈組成,其中,混合支鏈由支鏈Ⅰ(即 R11‖R12-P(4R))和支鏈Ⅱ(即 R21-P(4R)-R22)并聯(lián)連接后,與轉(zhuǎn)動(dòng)副 R13串聯(lián)而 成,可 表 示 為 R11‖R12-P(4R)‖R22-P(4R)-R21)-R13,其中,P(4R)表示由4個(gè) R 副組成的平行四邊形等效產(chǎn)生的一個(gè)P副,其末端構(gòu)件(動(dòng)平臺(tái)1的一部分)輸出為三平移一轉(zhuǎn)動(dòng);而簡單支鏈Ⅲ為 R31-S32支鏈。

        靜平臺(tái)0上轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21的軸線和動(dòng)平臺(tái)1上的R13軸線平行;轉(zhuǎn)動(dòng)副R31的軸線平行于R11R21的連線。

        2 機(jī)構(gòu)的拓?fù)浞治?/h2>

        2.1 機(jī)構(gòu)POC集分析

        (1)串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集方程[12]分別為

        式中,MJi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC集;Mbi為第i條支鏈末端的POC集;MPa為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集。

        (2)選取動(dòng)平臺(tái)上1的任意一點(diǎn)為基點(diǎn)p。

        (3)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集。由第1節(jié)可知,混合支鏈HSOC1是由支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ并聯(lián)后,與轉(zhuǎn)動(dòng)副R13串聯(lián)而成,由式(1),它們產(chǎn)生的POC集分別為

        由式(1)、式(2),有

        (4)確定動(dòng)平臺(tái)的POC集。由式(2),得則動(dòng)平臺(tái)1可產(chǎn)生3個(gè)平移及1個(gè)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R13軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。

        2.2 自由度計(jì)算

        (1)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全周自由度公式[12]為

        式中,F(xiàn) 為機(jī)構(gòu)自由度;fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度;m為運(yùn)動(dòng)副數(shù);v為獨(dú)立回路數(shù)(v=m-n+1,n為構(gòu)件數(shù));ξLj為第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù);dim為POC集的維數(shù)為前j條支鏈組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)POC集;Mb(j+1)為j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集。

        (2)確定各回路的獨(dú)立位移方程數(shù)。此機(jī)構(gòu)可分解為兩個(gè)獨(dú)立回路,即單開鏈(single open chain,SOC)SOC1{R11‖R12-P(4R)‖R22-P(4R)‖R21}和SOC2{R31-S32-R13}。其獨(dú)立位移方程數(shù)計(jì)算方法如下:

        ①支鏈Ⅰ、Ⅱ組成第1個(gè)獨(dú)立回路,由式(4)可得

        由式(2),該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集為

        由式(3),該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

        則子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出僅有2個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。

        ②上述子并聯(lián)機(jī)構(gòu)、R13及單開鏈SOC2組成第2個(gè)回路,由式(4)可得

        (3)確定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。由式(3),得

        當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R11為驅(qū)動(dòng)時(shí),動(dòng)平臺(tái)1產(chǎn)生3個(gè)平移及1個(gè)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R13軸線的轉(zhuǎn)動(dòng),但其中僅有1個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng),其余3個(gè)運(yùn)動(dòng)為寄生運(yùn)動(dòng)。注:自由度計(jì)算時(shí),如將該機(jī)構(gòu)視為僅包含前述的產(chǎn)生3T1R的混合支鏈HSOC1和簡單支鏈Ⅲ組成的一個(gè)獨(dú)立回路,即混合支鏈等效于)支鏈。顯然,該回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξ=6。由式(3)得

        顯然,自由度計(jì)算時(shí),采用等效支鏈替代部分復(fù)雜支鏈自由度計(jì)算較為簡單。

        2.3 機(jī)構(gòu)耦合度計(jì)算

        (1)由基于單開鏈SOC的機(jī)構(gòu)組成原理[12]知,任一機(jī)構(gòu)可分解為一系列單開鏈,而第j個(gè)單開鏈SOCj的約束度為

        式中,mj為第j個(gè)單開鏈SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù);fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度(不含局部自由度);Ij為第j個(gè)單開鏈SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)。

        進(jìn)一步,一組有序的v個(gè)SOC可構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立回路數(shù)為v的基本運(yùn)動(dòng)鏈 (basic kinematics chain,BKC),對一個(gè)BKC而言,須滿足

        (2)2.2節(jié)中已求得兩個(gè)回路的獨(dú)立位移方程:ξL1=4,ξL2=6,則由式(5),得SOC1、SOC2的約束度分別為

        于是,耦合度

        該并聯(lián)機(jī)構(gòu)僅包含一個(gè)基本運(yùn)動(dòng)鏈,其耦合度為1,可用基于序單開鏈法的一維搜索法來求解該機(jī)構(gòu)位置正解。

        3 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

        3.1 建立坐標(biāo)系

        如圖1所示,該機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)0是由轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31為頂點(diǎn)的等邊三角形。動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R13、球副S32分別位于構(gòu)件1的兩端點(diǎn)。在靜平臺(tái)0的幾何中心處o建立固定坐標(biāo)系oxyz,x軸垂直于R11R31連線且過R21,y軸平行于R11R31的連線,z軸由右手笛卡兒坐標(biāo)系法則確定;在動(dòng)平臺(tái)1的中點(diǎn)p建立坐標(biāo)系puvw,v軸為R13S32連線,u軸垂直于v軸,w軸由右手笛卡兒坐標(biāo)系法則確定,其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖2所示。

        圖2 單自由度3T1R機(jī)構(gòu)的位置計(jì)算簡圖Fig.2 Position calculation sketch of 1-DOF 3T1RPM

        該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:lA1A2=lA2A3=lA1A3=l1,lH1B3=l2;其余桿長分別為lA1B1=lC1D1=0.5l3;lA2B2=l3;lD1E1=lB2C2=l4;lE1F1=lC2D2=0.5l5;而lG1G2=l5;lG2H1=l6;lA3B3=l7;lB1C1=r1、lF1G1=r2、lF2G2=r3(為簡化計(jì)算,長度為ri的桿長都與靜平臺(tái)平行,桿F1G1和桿F2G2都和各自的平行四邊形共面)。

        圖3 各角度的定義Fig.3 Definition of angles

        各角度定義如下(圖2、圖3):B1C1與y軸正向的夾角為輸入角θ1,F(xiàn)2G2與y軸正向的夾角為θ2;A3B3與靜平臺(tái)的夾角為θ3;D1E1在靜平臺(tái)上的投影與y軸正向的夾角為虛擬輸入角δ*;D1E1與z軸正向的夾角為γ。動(dòng)平臺(tái)p的坐標(biāo)為(x,y,z),v軸與x軸正向的轉(zhuǎn)角為動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角α。

        3.2 基于序單開鏈的機(jī)構(gòu)位置正解求解原理

        因機(jī)構(gòu)包含的任一BKC可分解為約束度為正值、零、負(fù)值3種形式的單開鏈,因此,機(jī)構(gòu)位置正解的求解可轉(zhuǎn)化為3種單開鏈的位置求解,而3種單開鏈的約束特性及其建模方法如下。

        (1)約束度為正值的SOC(Δ+i)會(huì)使機(jī)構(gòu)自由度增加Δ+i;為確定其運(yùn)動(dòng),需在約束度為正值的SOC(Δ+i)上設(shè)定Δ+i個(gè)虛擬變量(Δ+i=κ)。

        (2)約束度為零的SOCΔ0i()不影響機(jī)構(gòu)自由度,其運(yùn)動(dòng)具有確定性,即其位置正解能獨(dú)立求解。

        (3)約束度為負(fù)值的SOC(Δi-)使機(jī)構(gòu)自由度減少 Δi-,即對機(jī)構(gòu)施加了 Δi-個(gè)約束方程(Δi-=κ)。

        因SOC(Δi+)中的虛擬變量數(shù)目Δi+恰等于約束方程數(shù)目 Δi-,易建立含Δi+個(gè)變量的位置方程;之后可得到含一個(gè)變量的高次方程并求得其封閉解,或用一維搜索法直接求得數(shù)值解。

        3.3 位置正解分析

        位置正解問題歸納為:已知1個(gè)驅(qū)動(dòng)輸入θ1,確定動(dòng)平臺(tái)的位置p (x,y,z)和姿態(tài)角α。

        3.3.1 在約束度Δ1=1的單開鏈SOC1上

        在支鏈Ⅰ、Ⅱ上,分別求得G2點(diǎn)的坐標(biāo)為

        由式(6)、式(7)可得

        由式(8)可知,γ為虛擬輸入角δ的函數(shù)。

        3.3.2 在約束度Δ2=-1的單開鏈SOC2上

        由支鏈Ⅰ、Ⅲ,分別求得p點(diǎn)的坐標(biāo)為

        由式(11)、式(12)易知,θ3、α 也為虛擬輸入角δ的函數(shù)。進(jìn)一步,由,得

        將式(8)、式(11)、式(12)代入式(13),可得到只含有虛擬變量δ*的方程;通過不斷改變?chǔ)模闹担业綕M足f(δ*)=0的真實(shí)δ*所有解。最后,將真實(shí)的δ*代入式(10)、式(12),可得到動(dòng)平臺(tái)位置p(x,y,z)和姿態(tài)角α。

        3.4 位置逆解分析

        機(jī)構(gòu)反解問題為:已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位置p(x,y,z)及姿態(tài)角α,求驅(qū)動(dòng)副的輸入角θ1。由位置正解式(9),可得到

        3.5 速度分析

        機(jī)構(gòu)速度問題可描述為:已知驅(qū)動(dòng)副R11的轉(zhuǎn)速θ·1,求動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心p的線速度v及角速度α。分別令式(6)、式(7)相等以及式(9)、式(10)相等,并對時(shí)間求導(dǎo),消元化簡可得

        對式(10)求導(dǎo),可得

        由式(16)、式(17)即可得到動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心速度及其角速度。

        3.6 加速度分析

        對式(17)求導(dǎo)可得

        由式(19)、式(20)即可得到動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心加速度及角加速度。

        4 計(jì)算實(shí)例

        4.1 位置正反解算例

        設(shè)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:l1=250 mm;l2=88mm;l3=81.75mm;l4=120mm;l5=24mm;l6=17mm;l7=180mm;r1=29.75 mm;r2=30mm;r3=45mm;設(shè)輸入角θ1=30°,由一維搜索法可得兩組實(shí)數(shù)正解,見表1,對應(yīng)的裝配構(gòu)型如圖4、圖5所示。

        表1 位置正解數(shù)值Tab.1 Numerical values of direct kinematics

        圖4 位置1對應(yīng)的裝配構(gòu)型Fig.4 Assembly configuration of Position1

        圖5 位置2對應(yīng)的裝配構(gòu)型Fig.5 Assembly configuration of Position2

        將正解1數(shù)據(jù)代入式(13),得其中一組解為θ1=29.998 2°,從而驗(yàn)證了正反解的正確性。

        4.2 速度和加速度算例

        用ADAMS進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真,也可得到該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)p的速度與加速度曲線,見圖6、圖7所示。

        表2 動(dòng)平臺(tái)的速度分析Tab.2 Velocity of moving platform

        表3 動(dòng)平臺(tái)的加速度分析Tab.3 Acceleration of moving platform

        圖6 動(dòng)平臺(tái)的速度曲線Fig.6 Velocity curve of moving platform

        由表3知:由加速度公式(20)得到的數(shù)值(t=2s時(shí),ax= -6.428mm/s2;ay=25.59 mm/s2;az=9.547mm/s2;α··=9.832(°)/s2),與加速度仿真曲線(圖7)得到的數(shù)值(t=2s;ax=-6.5mm/s2;ay=25.7mm/s2;az=9.7mm/s2;α··=9.633 7(°)/s2)基本一致,故速度、加速度導(dǎo)出公式正確。

        圖7 動(dòng)平臺(tái)對應(yīng)的加速度曲線Fig.7 Acceleration curve of moving platform

        5 并聯(lián)振動(dòng)篩的虛擬樣機(jī)

        單自由度3T1R并聯(lián)振動(dòng)篩的樣機(jī)設(shè)計(jì)如圖8所示,它包含靜平臺(tái)0、動(dòng)平臺(tái)1、由支鏈Ⅰ和支鏈Ⅱ組成的混合支鏈、RS型支鏈Ⅲ以及驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)5大部分,可用SolidWorks分別建立其CAD設(shè)計(jì)模型。

        圖8 單自由度3T1R并聯(lián)振動(dòng)篩虛擬樣機(jī)Fig.8 Virtual prototype of 1-DOF 3T1R parallel vibrating screen

        為了保證振動(dòng)篩有足夠的剛度和強(qiáng)度,支鏈Ⅰ、Ⅱ的平行四邊形及支鏈Ⅲ采用密度小、強(qiáng)度高、易加工的鋁合金;同時(shí),在與轉(zhuǎn)動(dòng)副R22連接的短邊2處宜采用鋁板,從而保證它能傳遞一定的轉(zhuǎn)矩而不變形,如圖9所示。篩分裝置的靜平臺(tái)為長方形鋼板,橢圓形篩箱為動(dòng)平臺(tái),其長半徑方向?yàn)楹Y分物料的給料方向。

        圖9 并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig.9 Design of the limbs

        6 結(jié)論

        (1)提出了一種低耦合度(κ=1)的單自由度3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、驅(qū)動(dòng)源少,可用于振動(dòng)篩分機(jī)構(gòu)。

        (2)根據(jù)序單開鏈法的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模原理,建立了一個(gè)含1個(gè)變量的機(jī)構(gòu)位置正解求解方程,并運(yùn)用一維搜索法得到了該機(jī)構(gòu)的位置正解。

        (3)根據(jù)導(dǎo)出的正解公式,導(dǎo)出了該機(jī)構(gòu)的速度與加速度公式,并運(yùn)用ADAMS軟件仿真驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的速度與加速度曲線。

        (4)給出了基于該單自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3T1R維并聯(lián)振動(dòng)篩的虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)。

        本文工作為該3T1R并聯(lián)振動(dòng)篩的優(yōu)化、機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及制造、動(dòng)力學(xué)分析提供了一定的參考。

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