楊榮國 張超霞 李妮 張靜4) 郜江瑞3)4)

1) (山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,太原 030006)

2) (山西大學(xué),量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

3) (山西大學(xué)光電研究所,太原 030006)

4) (山西大學(xué),極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

各類系統(tǒng)中的糾纏操控是量子信息科學(xué)的重要問題之一.本文研究了熱原子蒸氣的級聯(lián)四波混頻過程中產(chǎn)生的糾纏增強及糾纏增強的相位敏感特性.研究表明,該級聯(lián)四波混頻過程第二級輸出的探針光和共軛光的量子糾纏較第一級明顯增強,最大可達5 dB以上,且隨著強度因子的增大可實現(xiàn)完美糾纏.文中還詳細討論了量子關(guān)聯(lián)類型及糾纏大小與抽運光相位、非線性強度因子之間的變化關(guān)系,結(jié)果顯示,由于糾纏增強及糾纏類型對抽運光相位的敏感性,通過控制相位和強度因子可改變光場噪聲特性從而實現(xiàn)對探針光和耦合光之間糾纏增強、糾纏度大小、糾纏類型的量子操控.該理論研究對實驗實現(xiàn)糾纏增強及雙模壓縮態(tài)壓縮角、壓縮度的光學(xué)參量操控具有重要的指導(dǎo)意義.

1 引 言

量子壓縮、量子糾纏、量子測量及量子信息處理與不確定性原理密切相關(guān)[1-3].量子壓縮和量子糾纏的理論和實驗研究是量子光學(xué)和量子信息科學(xué)的核心內(nèi)容[4,5].可產(chǎn)生量子壓縮和糾纏的系統(tǒng)有多種,包括在腔內(nèi)置入一塊非線性晶體[6,7],熱原子蒸氣[8,9]或光纖[10,11]中的四波混頻過程等.大約在30年前人們首次在鈉蒸氣中發(fā)生四波混頻過程并實驗產(chǎn)生了量子壓縮,涉及熱原子蒸氣的不同機理也被相繼提出并被實驗證實[8,9].四波混頻過程可分為相位敏感放大(有兩個相干輸入)和相位不敏感放大(有一個或沒有相干輸入).相位敏感放大已在光纖放大器中有廣泛的研究,并且取得了顯著的進展[10-13].與具有相同強度因子的相位不敏感放大裝置相比較,相位敏感放大裝置中產(chǎn)生的探針光與耦合光的強度差壓縮在非常窄的抽運光相位變化范圍內(nèi)可以增強3 dB左右[13].2007年,McCormick等[13]利用銣原子蒸氣中的非簡并四波混頻過程在實驗上產(chǎn)生了一對強量子關(guān)聯(lián)光束.四波混頻系統(tǒng)有許多優(yōu)點,例如,由于系統(tǒng)強的非線性而不需要光學(xué)腔,沒有了光學(xué)模式限制;具有空間多模的特點;產(chǎn)生的非經(jīng)典光束能在空間上分離等.這些優(yōu)點使得四波混頻系統(tǒng)在許多應(yīng)用中備受歡迎,包括量子信息過程、量子計量和量子成像[14],例如糾纏影像[15]、Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)糾纏的可調(diào)諧延時[16]、非線性量子干涉儀[17-19]、高純度窄帶單光子[20]、微懸臂梁位移的超敏感測量[21]、量子影像多空間模正交壓縮[22]以及用于量子成像的局域多空間模的正交壓縮[23].通過級聯(lián)兩個四波混頻過程,可以實現(xiàn)EPR糾纏態(tài)的可調(diào)諧延時[24]、糾纏態(tài)的低噪聲放大以及量子態(tài)之間的相互作用[25,26].此外,四波混頻過程在糾纏態(tài)產(chǎn)生、糾纏增強及量子操控等方面具有重要的應(yīng)用價值.2017年,Wang等[27]提出了利用空間結(jié)構(gòu)的抽運在Rb蒸氣中通過四波混頻過程產(chǎn)生多模量子糾纏態(tài)光場的方案.同年,Xin等[28]在Rb原子蒸氣室中通過級聯(lián)四波混頻過程實驗實現(xiàn)了糾纏增強.本文理論上研究了在熱原子蒸氣的級聯(lián)四波混頻過程中產(chǎn)生的糾纏增強及糾纏增強的相位敏感特性,并就其對抽運光相位和增益因子參數(shù)依賴性給出了更全面的分析.結(jié)果表明,通過兩個熱原子蒸氣室組成相位敏感的級聯(lián)四波混頻過程可獲得5 dB以上的糾纏增強(與單個四波混頻過程相比),利用糾纏增強的相位敏感特性,通過精準(zhǔn)控制相位及強度因子來改變光場噪聲特性從而實現(xiàn)對探針光和耦合光之間糾纏增強、糾纏度大小、糾纏類型的量子操控.該研究對實驗實現(xiàn)雙模壓縮態(tài)壓縮角、壓縮度、糾纏增強等參量控制具有重要的指導(dǎo)意義.實驗上可以通過高靈敏度壓電陶瓷對原子氣室溫度、原子數(shù)密度進行連續(xù)調(diào)節(jié)和精確控制,因此該系統(tǒng)具有強的實驗可行性.

本文安排如下：第1部分,詳細介紹理論模型,提供系統(tǒng)哈密頓量以及相應(yīng)的動力學(xué)演化方程,并且討論該方法的實驗可行性.第2和第3部分,詳細分析級聯(lián)四波混頻過程糾纏增強與強度增益因子的變化關(guān)系,給出通過第二級系統(tǒng)輸出兩類糾纏與相位的變化關(guān)系圖.對第二級四波混頻入射糾纏態(tài)光場的操控給出輸出探針光與耦合光糾纏增強的結(jié)果,討論在不同的強度因子下抽運光相位對糾纏的影響.結(jié)果表明,通過選取合適的參數(shù),第二級四波混頻過程輸出的探針光與耦合光的糾纏和第一級四波混頻過程相比有了明顯增強,且通過控制抽運光相位可以操控光束的糾纏度和糾纏關(guān)聯(lián)類型.最后給出結(jié)論.

2 級聯(lián)四波混頻產(chǎn)生的量子糾纏增強

2.1 級聯(lián)四波混頻過程

圖1是實現(xiàn)輸出探針光和耦合光糾纏增強的級聯(lián)四波混頻系統(tǒng).如圖1所示,探針場和耦合場是兩個相干場,與一束強的抽運光同時并且對稱地注入到第一個熱原子蒸氣室中(第一級四波混頻).通過發(fā)生第一個四波混頻過程產(chǎn)生探針光和耦合光,然后將探針光和耦合光(相位共軛光)作為兩個輸入場與另一束強的抽運光以相同的方式注入到第二個熱原子蒸氣室中(第二級四波混頻),而第二個四波混頻過程產(chǎn)生了探針光和耦合光.把兩個四波混頻過程看作一個整體,則整個系統(tǒng)只有兩個輸出光束,分別是探針光和耦合光.,和分別代表探針場、耦合場和抽運場.有兩個相干輸入場,稱為相位敏感放大器.

圖1 相位敏感的級聯(lián)四波混頻系統(tǒng)Fig.1.Cascaded four-wave mixing process in hot vapor.

2.2 系統(tǒng)的哈密頓量和演化方程

其中,ξ1和ξ2分別是兩個四波混頻過程的相互作用強度,取決于相互作用的時間長短并分別與輸入抽運光和的強度成正比.此外,它們還與單光子失諧Δ和雙光子失諧δ有關(guān).抽運場和的相位分別記為φc1和φc2.這里,θ1= 2φc1,θ2= 2φc2.由(1)式可以得到第一個四波混頻過程輸出的兩束光的時間演化方程如下：

同理,由(2)式可以得到第二個四波混頻過程輸出的兩束光的時間演化方程為

其中,G1=cosh2(ξ1t)和G2=cosh2(ξ2t) 取決于四波混頻過程的相互作用強度.G1和G2分別對應(yīng)第一級四波混頻和第二級四波混頻作用的強度因子.如果探針端注入相干場,耦合端注入真空場,則G1和G2就是相位不敏感系統(tǒng)的強度因子[29].當(dāng)探針和耦合端口同時注入相干場時,輸出場的噪聲性質(zhì)不僅由強度因子G1和G2決定,而且與下面將要討論的兩個輸入場的相位有關(guān).將算符寫成平均值加起伏的形式,=α+δa,=β+δb,代入到(3)—(6)式中,系統(tǒng)相應(yīng)的量子起伏方程可以寫成：

2.3 量子糾纏的增強

2.2節(jié)分別給出了來自兩個四波混頻過程的探針光與耦合光的時間演化方程.這里研究級聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生輸出光束之間的糾纏特性.場的正交振幅和正交相位定義如下：

系統(tǒng)的非經(jīng)典特性要求兩個輸入信號最好具有相同的功率,這里使用兩組份不可分離性質(zhì)的充分判據(jù)來研究輸出探針光與耦合光束之間的糾纏特性[30,31]

將正交振幅差與正交相位和的量子噪聲關(guān)聯(lián)記為Type-I類糾纏,即正交振幅正關(guān)聯(lián)、正交相位反關(guān)聯(lián);將正交振幅和與正交相位差的量子噪聲關(guān)聯(lián)記為Type-II類糾纏,即正交振幅反關(guān)聯(lián)、正交相位正關(guān)聯(lián).Type-I和Type-II類糾纏對應(yīng)的糾纏判據(jù)可以寫成下面的形式：

首先研究第一級四波混頻過程產(chǎn)生的探針光與耦合光Type-I類量子糾纏情況.當(dāng)θ1∈[0,2π] ,θ2∈[0,2π] 時,令θ1=θ2=0,2π或θ1=θ2=π 來分別研究Type-I類和Type-II類兩種情況下,強度因子G1和G2對輸出探針光與耦合光兩對糾纏的大小,這里把兩對糾纏分別表示成Sa1b1和Sa2b2.為了方便討論,令G1=G2=G,糾纏隨強度因子G的變化如圖2所示.不論是Type-I類還是Type-II類情況,兩對輸出光束的糾纏增強結(jié)果完全相同.

圖2 量子糾纏隨強度因子G的函數(shù)變化圖,其中紅虛線為Sa1b1,紅實線為Sa2b2Fig.2.Two pair of quantum entanglement as a function of intensity factorG.Red dashed line corresponds toSa1b1and red solid line corresponds toSa2b2.

從圖2可以看出,對相位敏感的級聯(lián)四波混頻系統(tǒng)輸出的探針光與耦合光的糾纏能被極大地增強.強度因子G= 1.5 時,第二級四波混頻系統(tǒng)輸出探針光與耦合光的最大糾纏度可以增加5 dB左右.并且隨著強度因子的增大糾纏值逐漸趨于0,即在所取參數(shù)下輸出探針光與耦合光幾乎達到了完美糾纏.同時可以看到,選取特定的抽運光相位和強度因子,可以使第二級四波混頻過程產(chǎn)生的糾纏比第一級四波混頻過程產(chǎn)生的糾纏增強的幅度達到最大.

3 糾纏對抽運光相位的敏感性及糾纏操控分析

接下來分析級聯(lián)系統(tǒng)中糾纏對抽運光相位的敏感性以及如何利用這種敏感性實現(xiàn)對糾纏的量子操控.

圖3 不同強度因子下第二級四波混頻過程產(chǎn)生的兩束光糾纏Sa2b2的等值線圖 (a)G1=G2=1.5;(b)G1=G2=2 ;(c)G1=G2=2.5;(d)G1=G2=3Fig.3.Contour plots forSa2b2with different intensity gains：(a)G1=G2=1.5;(b)G1=G2=2;(c)G1=G2=2.5 ;(d)G1=G2=3 .

前面的研究表明,相位θ1和θ2會同時影響探針光與耦合光之間的糾纏.對于Type-I類情況的糾纏,探針光與耦合光的糾纏Sa2b2的等值線圖如圖3所示.當(dāng)θ1∈[0,2π] ,θ2∈[0,2π] 時,Sa2b2的值小于2時即存在糾纏,圖中有顏色的區(qū)域為糾纏區(qū)域.圖中強度因子的取值分別為G1=G2=1.5,2,2.5,3 ,顏色越深的區(qū)域,對應(yīng)的糾纏越大.最大糾纏區(qū)域出現(xiàn)在θ1=0,2π 和θ2=0,2π 處,糾纏區(qū)域隨著強度因子的增加逐漸變小,因此,相位和強度因子可以同時準(zhǔn)確地控制糾纏的大小.強度因子取特定值的情況下,需要控制兩個相位或者通過固定一個相位改變另一個相位來操控系統(tǒng)的糾纏.接著令θ1=0,2π 來探究Type-I類情況相位θ2對探針光與耦合光糾纏態(tài)的影響.糾纏隨相位θ2的變化如圖4所示.

可以看出,隨著強度因子的增加,糾纏存在時對應(yīng)的抽運光相位的變化范圍越來越窄,相位對糾纏的影響更敏感,Sa2b2值越小糾纏越大,當(dāng)θ2=2π 時糾纏達到最大.同樣地,繼續(xù)研究Type-II類 情 況 相 位θ1和θ2對 探針光與耦合光之間糾纏的影響.探針光與耦合光的糾纏Sa2b2等值線圖如圖5所示.

圖4 探針光與耦合光 的糾纏隨相位θ2的變化Fig.4.Entanglement of probe conjugate beams as a function of the phaseθ2for various values of the intensity gain.

當(dāng)θ1∈[0,2π] ,θ2∈[0,2π] 時,且Sa2b2的值小于2時存在糾纏.這里,強度因子的取值分別為G1=G2=1.5,2,2.5,3 .可以看到,最大糾纏區(qū)域出現(xiàn)在θ1=π和θ2=π 附近,而且糾纏區(qū)域也會隨強度因子的增加而明顯變窄,糾纏度對相位的改變更加敏感.因此,對于不同參數(shù)的物理系統(tǒng)都可以通過改變抽運光相位來操控Type-II類糾纏.由圖5可知,最大糾纏區(qū)域?qū)?yīng)的相位取值在θ1=π 和θ2=π附近,因此,對于Type-II類情況,令θ1=π來研究相位θ2對輸出探針光與耦合光之間糾纏的影響.圖6為兩束光的糾纏與相位θ2的關(guān)系.

圖5 不同強度因子下第二級四波混頻過程產(chǎn)生的兩束光糾纏Sa2b2的等值線圖 (a)G1=G2=1.5;(b)G1=G2=2 ;(c)G1=G2=2.5;(d)G1=G2=3Fig.5.Contour plot forSa2b2with different intensity gains：(a)G1=G2=1.5;(b)G1=G2=2;(c)G1=G2=2.5 ;(d)G1=G2=3 .

圖6 探針光與耦合光 的糾纏隨相位θ2的變化Fig.6.Entanglement of probe conjugate beams as a function of the phaseθ2for various values of the intensity gain.

很明顯,圖6的結(jié)論與圖5的結(jié)論一致.從圖4和圖6可以看出：隨著強度因子的增大,糾纏區(qū)域越來越窄而最大糾纏逐漸增大,且抽運光相位和四波混頻過程的強度因子可以協(xié)同操控輸出光的糾纏.G= 1.5 時,與第一級四波混頻過程相比,第二級四波混頻過程產(chǎn)生的兩束光的糾纏存在時對應(yīng)的抽運光相位具有較寬的變化區(qū)域;當(dāng)θ1=θ2=π時隨著強度因子增大第二級四波混頻輸出場的糾纏也逐漸增大,與圖2結(jié)論相符.根據(jù)這一點,如圖7所示,令G1=G2=1.5 來分析抽運光相位對兩對探針光與耦合光糾纏的影響.

不管是哪種類型的糾纏,對相位敏感的級聯(lián)四波混頻系統(tǒng)第二級四波混頻輸出的兩束光的糾纏與第一級四波混頻過程相比提高了約230%.從圖7也可知,對于Type-I類糾纏來說,在θ2=0,2π 的情況下,θ1=0,2π 時能獲得最大糾纏;對于Type-II類糾纏而言,在θ2=π的情況下,θ1=π 時能獲得最大糾纏.與第一級四波混頻過程相比,第二級四波混頻過程產(chǎn)生的兩束光的糾纏存在時對應(yīng)的抽運光相位具有較寬的變化區(qū)域,也就是分別當(dāng)θ2=0,2π 和θ2=π 時,Type-I和Type-II情況下的探針光與耦合光的糾纏隨著θ1將實現(xiàn)全域糾纏.由此可見,對于不同參數(shù)的級聯(lián)四波混頻系統(tǒng),通過改變輸入抽運的相位可以實現(xiàn)對輸出場的糾纏類型、糾纏度大小、糾纏度增強的幅度、相位敏感區(qū)域選擇、全域糾纏等量子操控.

圖7 相 位θ1對兩對量子糾纏的影響 (a)θ2=0/2π ,G1=G2=1.5;(b)θ2=π ,G1=G2=1.5Fig.7.Two pair of quantum entanglement versus phaseθ1：(a)θ2=0/2π ,G1=G2=1.5;(b)θ2=π ,G1=G2=1.5 .

4 結(jié) 論

本文主要研究了級聯(lián)四波混頻系統(tǒng)糾纏特性與相對相位和強度因子的變化關(guān)系,考慮實驗上易于控制的實驗參數(shù)(相位和增益因子),理論上研究了對光場量子噪聲特性的操控,包括量子噪聲的關(guān)聯(lián)類型和量子噪聲關(guān)聯(lián)大小,宏觀上形成了對光場糾纏類型、糾纏大小的控制.研究表明,在選取合適的相位及強度因子時,相位敏感的級聯(lián)四波混頻系統(tǒng)輸出的探針光與耦合光的糾纏和單級系統(tǒng)產(chǎn)生的糾纏相比最大可提升5 dB.同時詳細討論了抽運光相位對輸出場的Type-I (正交振幅差與正交相位和)與Type-II (正交振幅和與正交相位差)兩類糾纏的影響.隨著強度因子的增加,糾纏變大,而糾纏存在對應(yīng)的相位區(qū)域逐漸變窄,糾纏對相位更敏感.糾纏對抽運光相位的敏感性研究是量子科學(xué)領(lǐng)域的重要研究方向[20].2018年,Shaked等[32]利用級聯(lián)的四波混頻系統(tǒng)實驗實現(xiàn)了寬帶的參量零拍探測,開創(chuàng)了基于級聯(lián)系統(tǒng)的一種新的應(yīng)用方向和方法.