朱興統(tǒng)

（廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，廣州510006）

0 引言

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中的一個(gè)重要組成部件之一，如果滾動(dòng)軸承出現(xiàn)了故障，就會可能直接影響機(jī)械設(shè)備的性能，影響生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，也可能會導(dǎo)致整臺機(jī)械設(shè)備停止運(yùn)行。據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)，旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障有大約30%是由于滾動(dòng)軸承故障引起。有必要對滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號進(jìn)行監(jiān)測，以便及時(shí)診斷出故障。因此對滾動(dòng)軸承故障診斷的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。在故障診斷過程中，從滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號中提取各種特征信息是故障診斷的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，能否提取出有效特征信息直接影響故障診斷準(zhǔn)確率。機(jī)械故障特征提取與故障識別已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)領(lǐng)域，有很多研究者提出了許多種故障特征提取與診斷的方法。何斌等人為了提高滾動(dòng)軸承故障準(zhǔn)確率，通過構(gòu)造相應(yīng)的小波基函數(shù)，采用最小二乘擬合法構(gòu)造預(yù)測器和更新器，應(yīng)用于對滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號進(jìn)行分析，取得了較好的結(jié)果[1]。吳強(qiáng)等人提出結(jié)合連續(xù)小波變換和獨(dú)立分量分析的方法對單通道信號的滾動(dòng)軸承故障進(jìn)行早期故障[2]。Rajeswari等人提出了一種基于小波包變換和多分類支持向量機(jī)的滾動(dòng)軸承狀態(tài)診斷方法[3]。針對滾動(dòng)軸承的故障振動(dòng)信號具有非平穩(wěn)性的特點(diǎn)，Yang等人提出了一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）能量熵的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。利用EMD提取不同頻段能量作為特征的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)診斷方法能夠準(zhǔn)確、有效地識別滾動(dòng)軸承故障模式，具有較好的診斷效果[4]。杜振寧和向春枝提出了小波包分解和高階累積量對軸承振動(dòng)信號進(jìn)行特征提取，并通過主成分分析法對特征數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行故障分類[5]。Li Meng采用主成分分析（PCA）和支持向量機(jī)（SVM）方法對滾動(dòng)軸承故障模式進(jìn)行識別。根據(jù)振動(dòng)信號的特點(diǎn)，利用主成分分析（PCA）得到特征向量，利用SVM故障分類器對滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷。理論和實(shí)驗(yàn)表明，該方法在故障模式識別中是可行的[6]。為了提高滾動(dòng)軸承故障診斷的準(zhǔn)確率，本文提出結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、樣本熵、核主成分分析和樸素貝葉斯算法的故障診斷方法。

1 振動(dòng)信號特征提取

1. 1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馐且环N信號處理的時(shí)頻分析方法，在非線性、非穩(wěn)態(tài)的信號處理方面具有顯著的優(yōu)勢。該方法對信號進(jìn)行自適應(yīng)分解是依據(jù)該信號數(shù)據(jù)序列的時(shí)間尺度特征來進(jìn)行的。EMD實(shí)際上就是將一個(gè)復(fù)雜的信號分解為若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)IMF（Intrinsic Mode Function）分量和一個(gè)殘余分量。IMF需滿足兩個(gè)條件：①函數(shù)在時(shí)域范圍內(nèi)，局部極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的數(shù)量必須相等，或者最多相差一個(gè)；②在任意時(shí)刻點(diǎn)上，局部最大值的包絡(luò)和最小值的包絡(luò)的平均值必須等于零。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獠襟E如下：

（1）找出原始信號x（t）中所有的局部極大值和極小值，采用三次樣條插值函數(shù)分別對局部極大點(diǎn)和局部極小點(diǎn)進(jìn)行擬合得到上包絡(luò)線和下包絡(luò)線。

（2）計(jì)算上包絡(luò)線 bmax（t）和下包絡(luò)線 bmin（t）的平均值 m（t），將原始信號 x（t）減去 m（t）得到新的信號h（t），即：h(t)=x(t)-m(t)。

（3）判斷新的信號h（t）是否滿足IMF條件。如果滿足條件，則h（t）為第一個(gè)IMF分量；如果不滿足條件，將 h（t）作為原始信號，重復(fù)步驟（1-3），直到得出第一個(gè)IMF分量，記為c1(t)。

（4）將原始信號 x（t）減去第一個(gè) IMF 分量 c1(t)，得到新信號r1(t)，即：

（5）將 r1(t)作為原始信號，重復(fù)步驟（1）到（4），如果rn(t)為單調(diào)函數(shù)，則終止上述步驟。最終將原始信號x（t）分解得到n個(gè)IMF分量和一個(gè)殘余量rn(t)，即：

1. 2 樣本熵

樣本熵是RICHMAN等提出的一種時(shí)間序列復(fù)雜性的度量方法[7]。樣本熵是近似熵的改進(jìn)算法，但其精度比近似熵更高。設(shè)時(shí)間序列X有N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，樣本熵的計(jì)算步驟如下：

（1）依據(jù)原始時(shí)間序列構(gòu)造出m維向量，得到N-m+1個(gè)m維向量：

（2）Xm(i)與Xm(j)分別是上一步驟構(gòu)造的m維向量，Xm(i)與Xm(j)之間的距離d[Xm(i),Xm(j)]定義為兩者對應(yīng)元素差值的絕對值的最大值，即：

（3）假設(shè)相似容限為r，對于給定Xm(i)，計(jì)算Xm(i)與其余向量 Xm(j)（j=1，2，…，N-m;j≠ i）的距離d[Xm(i),Xm(j)]，統(tǒng)計(jì)滿足條件d[Xm(i),Xm(j)]≤r數(shù)量，設(shè)為Ai，并求出Ai與N-m的比值，記作，即：

（6）理論上，原始序列的樣本熵定義為：

當(dāng)N為有限數(shù)時(shí)，上式表示成：

1. 3 核主成分分析（Kernel Principal Component Analysis）

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一種統(tǒng)計(jì)分析方法，可以用于減少數(shù)據(jù)集的維數(shù)的一種方法，被廣泛應(yīng)用于信號處理、模式識別、故障診斷等領(lǐng)域。主成分分析不能處理非線性數(shù)據(jù)，而故障診斷應(yīng)用中所收集到的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)大部分都是非線性的。Scholkopf等人在主成分分析方法引入核函數(shù)，提出了核主成分分析方法[8]。核主成分分析實(shí)際上就是先通過非線性映射函數(shù)將輸入數(shù)據(jù)空間映射到高維特征空間，然后進(jìn)行主成分分析。

對于輸入空間中的m個(gè)n維數(shù)據(jù)樣本xi∈Rn，對其進(jìn)行非線性映射Φ:Rn→F得到高維的特征空間。假設(shè)高維的特征空間的樣本滿足中心化條件：，則高維的特征空間的樣本協(xié)方差矩陣為：

為了求解協(xié)方差矩陣的特征值與特征向量，假設(shè)特征值λ≥0，特征向量V∈F{0}，滿足：

由式（10）中兩邊分別左乘Φ(xk)，有：

特征向量V可以由Φ(xi)線性組合表示為：

式中，Φ(x)=(Φ(x1),…,Φ(xm))，ai為相關(guān)系數(shù)，α=[α1,…,αm]T。

把式（12）代入式（11），可得：

定義一個(gè)m*m的矩陣K：

式（13）可寫成：

式中K為對角矩陣。

式（15）兩邊同時(shí)去除K，有：

求解核矩陣K，將特征值從大到小排列，取排列在前面的 p個(gè)特征值為：λ1,λ2,…,λp，對應(yīng)的特征向量為：a1,a2,…,ap，并歸一化特征向量，有：

對于給定一個(gè)測試點(diǎn)x∈Rn在V上的映射為：

2 樸素貝葉斯

假設(shè)數(shù)據(jù)集有n個(gè)特征屬性，類別標(biāo)簽集合為{c1,…ck}。某個(gè)待分類樣本X={X1,X2,…,Xn}。根據(jù)貝葉斯定理：

P(ci)是先驗(yàn)概率，可以根據(jù)訓(xùn)練集計(jì)算出來。

由于樸素貝葉斯假定樣本的各個(gè)特征屬性對樣本分類結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，所以條件概率為：

將式（20）代入式（19）得：

由于對所有的類別P(X)都相同，所以公式(21)只需考慮分子部分。

樸素貝葉斯分類器可表示為：

對P(Xj|ci)的求解，有三種常見的模型：多項(xiàng)式模型、高斯模型、伯努利模型。本文采用高斯模型求解，高斯模型公式為：

3 故障診斷流程

基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解樣本熵和樸素貝葉斯的故障診斷流程如圖1所示，具體流程步驟描述如下：

（1）采集軸承振動(dòng)信號數(shù)據(jù)。

（2）采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對振動(dòng)信號進(jìn)行分解，并計(jì)算各模態(tài)分量。

（3）計(jì)算各模態(tài)分量的樣本熵，構(gòu)建特征向量，分為訓(xùn)練樣本集和測試樣本集。

（4）樸素貝葉斯分類。用訓(xùn)練樣本集對樸素貝葉斯分類器進(jìn)行訓(xùn)練，測試樣本集輸入素貝葉斯分類器進(jìn)行診斷。

（5）輸出診斷結(jié)果。

圖1 故障診斷流程

4 實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)采用美國凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的軸承故障數(shù)據(jù)集。該軸承故障試驗(yàn)臺如圖2所示，該試驗(yàn)臺主要的組成部件有：一個(gè)1.5KW的電動(dòng)機(jī)、一個(gè)扭矩傳感器/譯碼器、一個(gè)功率測試計(jì)、電子控制器等。驅(qū)動(dòng)端的軸承為SKF6205，驅(qū)動(dòng)端的軸承座上方安裝有一個(gè)加速度傳感器，通過這個(gè)加速度傳感器來采集軸承的振動(dòng)加速度信號，采樣頻率為12kHz。以2048個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為一組樣本，分別選取內(nèi)圈故障、外圈故障、滾動(dòng)體故障、正常狀態(tài)的軸承振動(dòng)信號各50組，總共200組。

圖2 美國凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的軸承故障試驗(yàn)臺

本實(shí)驗(yàn)從每類樣本中隨機(jī)選取40組的樣本作為訓(xùn)練集，10組樣本為測試樣本集。圖3為內(nèi)圈故障、外圈故障、滾動(dòng)體故障、正常狀態(tài)各一組軸承振動(dòng)信號樣本的時(shí)域波形。

滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號通過EMD進(jìn)行分解，取前7個(gè)IMF分量計(jì)算樣本熵，構(gòu)成7維的特征向量，部分樣本熵?cái)?shù)據(jù)如表1所示。然后，利用KPCA對7維的特征向量進(jìn)行降維，得到2維的特征向量，作為樸素貝葉斯分類器的輸入向量。最后將2維的特征訓(xùn)練集對樸素貝葉斯模型進(jìn)行訓(xùn)練，將2維的特征測試集輸入到訓(xùn)練后樸素貝葉斯模型得到故障診斷結(jié)果。為了驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文方法與小波包+能量+樸素貝葉斯、EMD+樣本熵+樸素貝葉斯方法對比，三種方法的故障準(zhǔn)確率如表2所示，本文方法的故障準(zhǔn)確率為95%，分別高于另外兩種方法7.5%和2.5%。

5 結(jié)語

本文提出的基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、核主成分分析和樸素貝葉斯算法的故障診斷方法。利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對滾動(dòng)軸承存在復(fù)雜、非線性、非平穩(wěn)的振動(dòng)信號有明顯的優(yōu)勢。利用核主成分分析將非線性的樣本信息映射到高維的空間，再利用高維空間進(jìn)行線性降維，消除一些不重要的屬性，可以提高故障診斷效率。樸素貝葉斯模型具有算法較簡單，且有穩(wěn)定的分類效率。融合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、核主成分分析和樸素貝葉斯算法的優(yōu)點(diǎn)，能夠有效解決滾動(dòng)軸承故障診斷問題。

圖3 原始軸承振動(dòng)信號的時(shí)域波形

表1 滾動(dòng)軸承各狀態(tài)下的EMD樣本熵

表2 三種方法的準(zhǔn)確率對比