劉勇, 劉昆鵬, 侯曉磊, 潘泉, 張駿

(西北工業(yè)大學 自動化學院, 陜西 西安 710072)

在過去的15年內，隨著不同應用領域任務需求的日益增加，小型化、高性價比衛(wèi)星技術得到了蓬勃發(fā)展。小型衛(wèi)星能借助電子產業(yè)大規(guī)模工業(yè)生產的基礎和架構，以盡可能小的質量、體積和批量化生產的方式實現任務需求，主要面向教學與科研、低軌通信、新技術驗證，以及未來空間遙感組網、空間碎片監(jiān)測等任務[1]。目前國際認同的對小型衛(wèi)星依據質量的分類如下：微小衛(wèi)星,質量為10～100 kg;納衛(wèi)星,質量為1～10 kg;皮衛(wèi)星,質量為0.1～1 kg;飛衛(wèi)星,質量為0.01～0.1 kg。小型衛(wèi)星正朝著更小、更輕、更廉價的方向發(fā)展[2]。文獻[2]指出和1U的立方星相比，飛衛(wèi)星具有成本低、通過冗余緩解固有風險以及組網控制等單個納衛(wèi)星難以具備的優(yōu)勢。文獻[3]同樣表明相對單個大衛(wèi)星而言，使用飛衛(wèi)星組建的分布式航天器系統(tǒng)具有更好的靈活性和魯棒性。

目前對于飛衛(wèi)星的任務設計[4]、系統(tǒng)設計[2]、能耗設計[5]和傳感器設計[6]等領域的研究已經逐漸豐富。文獻[7]提出了一種使用MEMS控制力矩陀螺(control moment gyroscope,CMG)設計的飛衛(wèi)星姿態(tài)控制執(zhí)行器,對MEMS CMG進行建模并詳細介紹了一個的飛衛(wèi)星設計方案。為了降低制造成本,文獻[2]采用商業(yè)化元件選型,對嵌入式衛(wèi)星的質量、能源、硬件、軟件、散熱問題做了詳細的介紹,但是對姿態(tài)控制系統(tǒng)分析不足,未能針對芯片的性能提出軟件設計方案。文獻[8]重點分析了PCBSat和WikiSat 2顆飛衛(wèi)星在功能、結構、功耗等方面的特點。PCBSat設計有2個太陽敏感器、1個GPS導航接收機和被動氣動控制系統(tǒng),而WikiSat包含4個光學傳感器、1個三軸加速度計、1個三軸陀螺儀以及磁力距器用于姿態(tài)控制。但是由于飛衛(wèi)星的質量、體積和功耗方面的限制,目前飛衛(wèi)星很少設計姿態(tài)和軌道控制任務[4]。

與納衛(wèi)星和皮衛(wèi)星姿態(tài)控制相比,飛衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的MCU計算能力偏弱,且存儲空間更小。例如，現有衛(wèi)星PCBSAT[8]采用了ATmega 128L微控制器，FLASH容量為128 kB；RyeFemSat[9]飛衛(wèi)星采用了32 kB FLASH的CC2510控制器；WikiSat[8]飛衛(wèi)星所采用的控制器ATmega328P也僅有32 kB FLASH。因此考慮工程實現的可行性,飛衛(wèi)星姿態(tài)控制建模也應該與納衛(wèi)星和皮衛(wèi)星姿態(tài)控制建模不盡相同[7]。工程上一般使用歷表的方法解決此類復雜模型計算問題[10]。本文根據飛衛(wèi)星處理器計算性能較弱的特性,對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)中計算復雜度較高、存儲空間較大的地磁場模型進行簡化,設計了均勻模型和非均勻模型,并通過將模型應用到衛(wèi)星姿態(tài)確定中對比分析,最后總結并選取適用于飛衛(wèi)星MCU的80點非均勻地磁場歷表模型。

1 均勻地磁場歷表模型

1.1 地磁場標準模型

通常可將地磁模型分為高空全球模型和區(qū)域模型,全球模型主要以國際地磁參考IGRF為代表,其模型的建立利用地面、海洋、高空和衛(wèi)星地磁測量數據,通過Gauss理論而建立。自1968年起,國際地磁與高空物理協(xié)會(IAGA)每隔5年會發(fā)布國際地磁參考模型(IGRF)。

本文的地磁場模型采用IAGA提供的IGRF2010模型。使用球諧波函數表示的地球磁位勢為

(1)

地球磁勢位在三軸方向的梯度即為地磁場矢量:

(2)

仿真分析所用到的地磁矢量由IGRF模型模擬得到,但是受限于星載計算機計算速度和星上存儲容量,實際星上加載地磁模型的級數不能取過高[11]。為了本文的仿真分析,本文選擇了10階球諧級數的地磁場模型,模擬了軌道高度為650 km,軌道傾角為97°,升交點赤經10°的衛(wèi)星軌道上的地磁場矢量隨時間變化曲線如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星軌道上地磁場矢量隨時間變化

1.2 地磁場歷表模型

地磁場模型只有在精度比較高時,才能獲得滿意的精度,這種實時迭代解算的計算量是星上計算機很難承受的。以IGRF2010模型為例,該模型包含2003年最新修訂的195個高斯系數,在弱太陽活動時間段內,計算精度可達100 nT以下[12]。歷表模型以損失精度、增加存儲量為代價,保證了地磁場模型的計算效率和雙矢量算法的正常運行。

本文設計地磁場歷表模型的主要思想為:在存在有效GPS數據的情況下,通過衛(wèi)星的軌道位置(GPS)推算軌道6根數中的真近點角,進而利用真近點角和地磁場強度的對應關系進行建表和查表,然后對查到的歷表數據進行線性插值,最終解算出衛(wèi)星所處軌道位置的磁場強度數據。算法設計流程如圖2所示。在沒有有效GPS數據的情況下,通過衛(wèi)星運行軌道推算衛(wèi)星軌道位置的真近點角,然后查表、插值得到衛(wèi)星所處軌道位置的磁場強度。

圖2 地磁場模型算法流程圖

1.3 歷表設計

本文設計的地磁場歷表模型充分考慮了地磁場模型在不同應用場景下可能存在的不同精度需求,即考慮了同一軌道不同表格長度的歷表模型。本文設計的地磁場歷表模型的存儲格式由三部分組成:起始真近點角θ0、表格長度L和地磁場數據M0。圖3表述了不同起始真近點角和表格長度的地磁場歷表模型下的表格存儲格式。

圖3 不同磁場歷表模型的存儲示例

本文存儲實數數據采用單精度浮點格式,因此存儲初始真近點角和表格長度均使用4字節(jié),而存儲軌道上每一點的三軸地磁場需要占用12字節(jié)的存儲空間,因此存儲L表格長度為的歷表模型需要12L+8字節(jié)。

1.4 選取表格長度

衛(wèi)星軌道上的地磁場是連續(xù)分布的,理論上來說可以采集到無窮多點的地磁場數據,但是實際上表格長度選取的過大無疑會增加存儲負擔,同時冗余數據的存儲也無助于提高算法精度。相反,表格數據過小的情況下,查表法歷表模型本身存在較大的誤差甚至錯誤,導致無法利用這種歷表模型對姿態(tài)確定的雙矢量算法精度進行測試。因此選擇一個合適的表格長度顯得尤為重要。

圖4 表格長度和相應真近點角間隔示意圖

1.5 解算真近點角

在衛(wèi)星飛行的過程中,認為衛(wèi)星的運行軌跡為圓形,軌道高度固定,其圓點在地心。軌道6根數是經典萬有引力定律描述天體按圓錐曲線運動時所必需的6個參數,如圖5所示。

圖5 軌道6根數

軌道上任意一點的GPS數據均可由軌道6根數計算確定,軌道6根數確定衛(wèi)星經度和緯度的計算如公式(3)所示。

(3)

式中：λ0為0時刻的升交點赤經；λs(t)為經度；φs(t)為緯度；i為軌道傾角；θ為真近點角；ωe為地球自轉角速度。

當衛(wèi)星所處的軌道和軌道位置即λs(t)和φs(t)的值已知時,可以通過(3)式求解出真近點角θ的值,真近點角的取值范圍是0～360°。

(4)

在未給出GPS數據的情況下,衛(wèi)星的運動可近似看成勻速圓周運動,即衛(wèi)星繞地心飛行的角速度ωs為定值,真近點角θ隨時間均勻變化。因此,在給定初始真近點角θ和飛衛(wèi)星飛行時間Δt的情況下,可以推算出當前時刻衛(wèi)星所處軌道位置的真近點角為

(5)

使用推算真近點角的方法,只需要衛(wèi)星軌道參數、飛行角速度和至少一個初始真近點角或者GPS數據,即可推算之后任意時刻衛(wèi)星所處的軌道位置和該處地磁場強度的大小。

2 非均勻地磁場歷表模型

觀察圖1發(fā)現磁場數據并不是隨著時間均勻變化,而是在某些時間段磁場曲線彎曲程度大,另外一些磁場數據彎曲程度小,因此采用均勻采樣的方法勢必造成曲率小的時間段內磁場數據冗余采樣,而在曲率較大的時間段內磁場數據不足造成精度損失。為了解決磁場曲線彎曲程度和采樣點數之間的矛盾,本文借用曲率的概念,在曲線曲率大的地方多采樣,曲率小的地方少采樣。地磁場曲線的曲率計算過程中需要對公式(2)求二階微分,因此計算復雜度較高,本文采用離散曲率的方法代替直接對地磁場直接求導的過程,從而實現計算過程的簡化。

2.1 極坐標歸一化

考慮到磁場曲線的橫坐標表示時間,縱坐標表示磁場強度,直接對圖1曲線求曲率是沒有意義的,因此在求曲率之前先把磁場曲線轉換成極坐標形式。這種使用一維曲線來表示二維目標輪廓的方法在形狀特征提取方面也有應用[13]。

將圖1轉換成極坐標的形式考慮到三軸磁場曲線是相互獨立的,于是再對每軸進行單獨的歸一化。需要注意的是,必須將極坐標下歸一化磁場曲線轉換成直角坐標系下歸一化地磁場曲線的形式之后,才可以對曲線求導。其原因在于直角坐標轉換成極坐標的過程中圖形不同區(qū)域曲率的相對大小發(fā)生了改變,損失了曲率的相對信息。

2.2 U弦長曲率

U弦長曲率是一種離散曲率計算方法[14],與現有的離散曲率計算方法相比,U弦長曲率具有更強的抗旋轉性和抗噪性,適用于完成曲線匹配等對曲率計算穩(wěn)定性要求高的一類任務。方法基本思想是: 對于輸入的參數U,按照歐氏距離在曲線當前點處確定一個支持領域,并應用文獻[15]中的曲線精化策略改進計算精度,由此計算離散曲率。

記:l={pi:(xi,yi,i=1,2,…,N)}為一條數字曲線,計算pi處的U弦長曲率時,應用與支持領域前后臂矢量夾角相關的一個余弦值作為離散曲率,具體計算公式為

(6)

2.3 K曲率加權非均勻采樣

K曲率加權的方法是本文提出的一種對每個離散點進行加權的方法,K代表離散點的固定權重,通過實驗的方法選取最優(yōu)的K值。令地磁場數據為1列N個有序的離散點,在pi處的離散曲率為Qi,則所有離散點曲率模的和為

(7)

對N個有序離散點的離散曲率進行歸一化處理,得到pi點處的離散曲率模為|Qi|/Qsum。在對地磁場數據進行非均勻離散化處理時,若只考慮每個點的曲率權重,則容易造成所采樣的點過度地聚集到曲率較大的位置處。所以對于每個離散點除了考慮曲率權重外,還應附加自身固有的權重,用以平衡這種過度聚集的情況。本文將固有權值K賦值給N個點,則pi點的權重為K/N。因此,K曲率加權的采樣方法需要滿足

(8)

式中,n為采樣點數,j=1,2,…,n,mj表示采樣點位置對應標準模型中的位置。

易知,K的選取決定了曲線的非均勻采樣結果,當K無限接近于正無窮時,K曲率加權的采樣方法便蛻化成了均勻采樣。K曲率加權采樣方法是曲率和均勻采樣的融合,不同的K值會得到不同的非均勻采樣結果,通過實驗方法篩選出最優(yōu)的K,使得非均勻采樣的點能夠更好地描述原曲線。

圖6 80點K曲率加權采樣

圖6是采用K曲率加權非均勻采樣方法得到的80點地磁場模型,和文章的設計意圖相同,采樣密度較高的地方集中在曲率較大的區(qū)域?？梢钥闯鲭S著采樣點數的減小,三軸地磁場圖形變得越來越簡陋,離散點所表達的信息也越來越少,圖形的輪廓變得越來越模糊。

(9)

本文選取的一個軌道的地磁場數據的N=5 875。E用于描述2條磁場曲線的偏離程度,E越小,表示2條曲線越貼近。

圖7 采樣點數為80

3 飛衛(wèi)星姿態(tài)確定實驗

3.1 雙矢量姿態(tài)確定模型

本文中飛衛(wèi)星的姿態(tài)確定系統(tǒng)采用太陽敏感器和磁強計的組合作為敏感器,并基于矢量算法進行飛衛(wèi)星姿態(tài)確定算法的設計。雙矢量定姿的思路如下:

1) 根據軌道坐標系中的單位矢量S0,B0,在軌道坐標系中建立新的正交坐標系L,各坐標表軸的單位矢量為:

(10)

2) 根據衛(wèi)星本體坐標系中的單位矢量Sb,Bb在衛(wèi)星本體系中建立一個正交坐標系S,各坐標軸的單位矢量為:

(11)

3) 定義矩陣ML=[l1l2l3],MS=

[s1s2s3],可得Ms=Ab0ML,則存在唯一的正交姿態(tài)矩陣,滿足

(12)

圖8描述了雙矢量姿態(tài)確定的流程,其中對地磁場數據的使用包括圖中虛線框內的3個流程。首先,測定軌道位置、加載軌道系地磁場數據;其次,初始化衛(wèi)星的軌道位置并進行軌道推演;最后使用地磁場模型解算對應的軌道系地磁場矢量數據。圖中磁場強度模型和太陽能電池板電壓模型引自文獻[16]。

圖8 雙矢量姿態(tài)確定流程

3.2 蒙特卡洛模擬

在模擬地磁場數據和太陽矢量數據的過程中,由于隨機誤差的引入,往往導致模擬的量測數據和實際量測的數據之間存在偏差,為了降低此類偏差以提高模擬精度,本文采用蒙特卡洛模擬降低此類誤差的影響。蒙特卡洛方式是一種概率統(tǒng)計理論為指導的數值計算方法,指的是使用隨機數來解決很多計算問題的方法。

(13)

(14)

3.3 實驗結果和分析

實驗中,選取蒙特卡洛模擬次數M=50,軌道周期N=5 875 s,地球半徑為6 385 km,軌道高度為650 km,升交點赤經為10°,近地點幅角為10°,離心率為0.1,軌道傾角為97°,軌道常量為3.986×1014,軌道角速度由軌道常量和軌道半徑計算得出;地磁場模型噪聲的均值為0,標準差為10-8T;太陽矢量模型的均值為0,標準差為0.01。

圖9 X軸θARMSE對比

圖10為使用80采樣點的K曲率加權地磁場模型得到的姿態(tài)確定結果，從圖中可以看出其姿態(tài)確定精度維持在7°以內。

圖10 80采樣點的K曲率加權姿態(tài)確定

3.4 應用前景分析

本文的研究表明，對于一條軌道(5 875 s)三軸地磁場數據，使用80采樣點的地磁場歷表模型基本可以替代IGRF模型在姿態(tài)確定中的作用。文獻[10]提出了網格化地磁場模型，即使用經緯度數據去映射存儲磁場數據，若以4字節(jié)的float格式存儲磁場數據，則共需要128.2 kB。由于飛衛(wèi)星沒有變軌功能，因此網格化磁場模型中存儲了大量的數據冗余。相比之下，若IGRF模型和80采樣點的地磁場數據以4字節(jié)的float格式存儲，則各需要70.5 kB和0.96 kB。由此可見，本文提出的基于K曲率加權的地磁場歷表模型不僅占用存儲空間較小，滿足在前文提及的3種飛衛(wèi)星的FLASH中輕量化存儲的需求，同時可實現將FLASH中的地磁場數據一次性加載到MCU的RAM中，從而達到對地磁數據快速訪問的目的。所以本文設計的磁場歷表模型不僅極大程度上節(jié)約了存儲空間，而且提高了程序的運行速度，從而縮短了算法的控制周期。

4 結 論

本文致力于解決地磁場模型簡化計算量和存儲空間的問題，給出了地磁場歷表模型的表格存儲格式；并提出了K曲率加權的非均勻采樣地磁場模型，在采樣點數固定的情況下，給出非均勻點的選取方法；最后，為驗證K曲率加權模型的正確性，文章采用蒙特卡洛模擬方法對衛(wèi)星姿態(tài)確定過程進行分析和驗證。K曲率加權模型在滿足衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的前提下，盡量減少選取的采樣點數，從而降低所需的存儲空間，在計算能力偏弱、存儲空間較小的飛衛(wèi)星姿態(tài)確定領域具有非常曠闊的應用前景。