葉晟波

(慈溪中學(xué) 浙江 寧波 315300)

1 問題的提出

【例1】如圖1所示，兩根足夠長的光滑金屬桿ab和cd豎直放置，在金屬桿的底端連有C=0.9 F的電容器，質(zhì)量m=0.1 kg，長度L=0.5 m的金屬棒ef套在豎直桿上，能自由運動，電阻r=1 Ω，金屬桿的所在區(qū)域存在磁感應(yīng)強度B=2 T的勻強磁場，方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域足夠大,g取10 m/s2,閉合開關(guān)S，將金屬棒ef從某一高處靜止釋放，當(dāng)金屬棒下落h=2 m時(未離開磁場，電容器充電時間不計)，求電容器所帶電荷量q.

圖1 例1題圖

2 對該題的錯誤分析

根據(jù)電流定義式

(1)

式中a為金屬棒的瞬時加速度.由牛頓第二定律可得

mg-BIL=ma

(2)

將式(2)代入式(1)，解得

據(jù)此判斷出金屬棒做初速度為零、加速度為1 m/s2的勻加速直線運動，當(dāng)下落h=2 m時，根據(jù)運動學(xué)公式v2=2ah，得到

v=2 m/s

金屬棒兩端的電壓

U=BLv=2 V

電容器帶電荷量

q=CU=1.8 C

以上的分析求解過程是錯誤的.從能量觀點分析，金屬棒切割磁感線，把金屬棒的機械能轉(zhuǎn)化為電容器的電場能和金屬棒內(nèi)阻上的焦耳熱，即滿足相應(yīng)的功率關(guān)系為

BLvI=IUC+I2r

兩邊同約去電流I，得到

BLv=UC+Ir

此式也可以閉合電路角度分析，金屬棒作為電源，它的電動勢BLv等于金屬棒內(nèi)阻兩端電壓Ir加上電容器兩端的電壓UC，可見當(dāng)金屬棒有電阻時，電動勢與路端電壓這兩物理量數(shù)值上不相等.

3 對該題的正確分析

既然BLv≠UC，那么金屬棒還會做初速為零的勻加速直線運動嗎？根據(jù)電流定義式

(3)

聯(lián)立式(2)和式(3)，得

(4)

式(4)簡化為

觀察此式可以通過求導(dǎo)得到電流I與t的關(guān)系.

由一階線性微分方程的通解公式可得

(5)

當(dāng)t=0時I=0，代入式(5)得

即

(6)

從式(6)發(fā)現(xiàn)金屬棒不再做初速度為零的勻加速直線運動，那么如何求金屬棒下落h=2 m時的瞬時速度呢？把式(6)代入式(2)，得

(7)

對式(7)積分，得到

(8)

當(dāng)t=0時,v=0，代入式(8)得

即

(9)

對式(9)積分，得到

(10)

當(dāng)t=0時,h=0，代入式(10)得

(11)

代入已知量得h與t的數(shù)學(xué)關(guān)系式

當(dāng)h=2 m時，解得t≈1.38 s，把t代入式(9)得到此時的瞬時速度

把t代入式(6)得到此時的

把I和v代入閉合電路歐姆定律

BLv=UC+Ir

得到UC=1.29 V,從而求得此時電容器所帶電荷量

q=CUC≈1.16 C

以上的數(shù)學(xué)求解過程已經(jīng)超出高中生的知識范圍，所以對于高中物理教學(xué)在題設(shè)中金屬棒的電阻不計比較合適，當(dāng)金屬棒的電阻不計時電動勢與路端電壓數(shù)值上相等，那么金屬棒做勻加速直線運動，就可以根據(jù)運動學(xué)公式求得速度v,從而求得電容器兩端的電壓UC，最后求得電荷量.為了全方位理解電動勢和路端電壓這兩個物理量的本質(zhì)和內(nèi)涵，我們可以通過教材《物理·選修3-1》第三章第五節(jié)課后習(xí)題4的分析，建構(gòu)電源模型，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，從物理學(xué)視角抽象概括出電源的電動勢和電路中的電壓的本質(zhì)屬性、內(nèi)在規(guī)律及相互關(guān)系.

4 兩個概念的本質(zhì)和相互關(guān)系

【例2】磁流體發(fā)電是一項新興技術(shù)，圖2是它的示意圖.平行金屬板A和B之間有一個很強的磁場，將一束等離子體以速度v噴入磁場，A，B間距為d，板間的磁場按勻強磁場處理，磁感應(yīng)強度為B，設(shè)磁流體通道長為a，寬為b，導(dǎo)電流體的電阻率為ρ，負載電阻為R，求：

(1)該發(fā)電機產(chǎn)生的電動勢是多大；

(2)負載R兩端的電壓U多大；

(3)磁流體發(fā)電機總功率P.

圖2 磁流體發(fā)電示意圖

(1)建立電源模型

為方便受力分析，將圖2轉(zhuǎn)化為圖3.題中等離子體是帶有等量異種電荷的粒子流，它們以速度v射入磁場，由于受洛倫茲力的作用，分別向上、下兩平行金屬板A，B偏轉(zhuǎn)，金屬板上因會聚電荷在垂直于磁場和流速的方向上產(chǎn)生一個向下的電場E.如把金屬板與外負載相接，可以對負載供電成為電源.從能量轉(zhuǎn)化角度來看，電源是通過非靜電力做功把其他形式的能轉(zhuǎn)化為電勢能的裝置，磁流體發(fā)電機產(chǎn)生電動勢跟金屬棒產(chǎn)生電動勢的原理相同，它們的非靜電力都是由水平向右的速度所對應(yīng)的豎直方向上的洛倫茲力提供，此分力克服靜電場力，將電子從高電位移向低電位做功，使導(dǎo)體MN兩端形成電勢差，產(chǎn)生電動勢，電動勢是電源的一個重要參數(shù).

圖3 分析等離子體在磁場中的運動及受力

(2)如何求磁流體發(fā)電機的電動勢？

把負載R與電源斷開，洛倫茲力的分力克服靜電場力，當(dāng)電荷受到的洛倫茲力與電場力平衡時，如圖3所示，即qvB=Eq時，滿足E=vB，電荷做直線運動，此后金屬板上電荷不再增加，則電動勢ε=Ed=vBd，這與金屬棒切割磁感線產(chǎn)生電動勢的公式也相同，它們都利用了電磁感應(yīng)原理.

(3)如何求磁流體發(fā)電機負載兩端的電壓？

(4)認識ε和U的本質(zhì)及相互關(guān)系

從以上式子可以發(fā)現(xiàn)，無論是金屬棒還是磁流體發(fā)電機作為電源，當(dāng)電路中存在等效內(nèi)阻時，電動勢ε大于電壓U.電動勢和電壓分別對應(yīng)著不同的力做功，不同的能量形式的轉(zhuǎn)化，但是都是標(biāo)量.對于給定的電源來說，不管外電阻是多少，電源的電動勢總是不變的，表征電源的特性，而電源的路端電壓則是隨著外電阻的變化而變化的，它是表征外電路性質(zhì)的物理量.