葉海娟 褚云杰

(嘉興市第五高級中學 浙江 嘉興 314000)

1 問題的提出

眾所周知，向心加速度是圓周運動中的重要概念，同時也是高中物理教學中難度較大，教學效果欠佳的棘手內容之一.不同教師對本節(jié)內容的處理方法也不盡相同，有的教師先通過研究向心力的大小和方向，再根據(jù)牛頓第二定律得出向心加速度，這種方法的優(yōu)點在于避免了繁雜的數(shù)學推導，降低了難度，有利于培養(yǎng)學生實驗探究的能力，缺點在于實驗只是定性或半定量，嚴密性不夠；還有的教師是先通過定性感知圓周運動加速度的特征，再由加速度的定義，結合數(shù)學的推導，得到向心加速度的表達式，這種處理的優(yōu)點是推導嚴密，邏輯性強，有利于培養(yǎng)學生理論探究的能力，缺點在于對數(shù)學要求過高.筆者傾向于后者的處理，既突顯了物理的研究方法，又體現(xiàn)了數(shù)學的基礎作用，但這種處理對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和推理能力都提出了較高的要求.因此，本文借助學習進階理論，嘗試對本節(jié)內容進行再設計，努力讓學生對“向心加速度”有更透徹的理解.

2 學習進階理論

2007年美國國家研究理事會將學習進階定義為：“隨時間不斷的增加，學生對某一學習主題的思考和認識不斷豐富、精致和深入的一個過程.”由于學習進階認為學習是一種不斷積累，不斷發(fā)展的過程，所以從專業(yè)的角度講，學習進階就是在學生學習的起點和終點之間，設立不同的中間水平——稱之為“階”，并由此展開的一系列由簡單到復雜、相互關聯(lián)的教學活動；通俗的講，就是為學生的學習設置一條路徑，先學什么，后學什么，先學的知識成為日后要學知識的基礎.

本文嘗試以向心加速度為例，通過進階的起點分析、目標預設、進階點與層級預設、進階路徑設計等4個方面，對本節(jié)的教學進行再設計.

3 進階分析

3.1 進階起點分析

學生已有的事實經(jīng)驗：物體做圓周運動的具體事例.例如，用繩牽引小球在桌面上圓周運動；衛(wèi)星繞地球做圓周運動；花樣滑冰時，女運動員繞著男運動員旋轉.

學生已有的知識及知識結構：對描述勻速圓周運動的物理量有了大致的了解；已經(jīng)知道一條直線上矢量減法的運算規(guī)律和作圖方法，知道在加速和減速直線運動中如何求解速度的變化量Δv,速度v和加速度a.

學生的思維特點：思維正從直觀形象向邏輯抽象過渡，但思維還常常與感性經(jīng)驗直接聯(lián)系，仍需具體形象的材料支持.同時學生也具備一定抽象、歸納、總結、演繹、推理等能力，所以教材在處理上延續(xù)從運動學的角度出發(fā)，根據(jù)加速度的定義來推導向心加速度.

3.2 進階目標預設

從定性角度理解圓周運動中受力與運動之間的關系，能運用數(shù)學的方法，從特殊值出發(fā)，推廣到一般情況，利用極限的思想，建構并掌握向心加速度的概念及公式，明確向心加速度的方向，并能在實際的情景中運用向心加速度公式進行相關圓周運動的分析和計算.

3.3 進階點和進階層級預設

結合進階起點和預設目標，分析學生可能存在以下的思維障礙.

(1)如何把握受力與運動之間的關系？如何半定量去感知向心加速度的方向？

(2)怎樣理解矢量運算的三角形定則？如何運用三角形定則去解決不在一條直線上的矢量減法運算？

(3)如何利用近似、極限的思想去推導向心加速度的表達式？

(4)如何理解向心加速度的方向是垂直于速度方向，并指向圓心？

綜合上面的分析，我們對進階點設置了進階起點和目標，如表1所示

表1 進階點對應的進階起點和目標

根據(jù)以上的分析，教學中需補充圓周運動的相關情境，并讓學生對其受力分析，幫助學生定性了解向心加速度的方向.從復習一條直線上矢量相減的相關計算，引出不在一條直線上的矢量相減的計算方法，從特殊值出發(fā)到一般情況，逐步深入，最后利用極限思想，推導出向心加速度的大小及方向.所以我們確立了下列進階層級.

(1)對研究對象進行受力分析，明確在圓周運動的平面內有力的存在，有加速度的存在.

(2)矢量減法的運算，明確作圖方法：端點重合從初矢量的末端指向末矢量的末端.

(4)向心加速度的方向：與線速度方向垂直，沿著半徑指向圓心.

3.4 進階計劃層級策略

層級1:回歸所學，創(chuàng)設情境，猜測事實經(jīng)驗

設置目的：學生對已學知識的掌握程度參差不齊，創(chuàng)設情境讓學生回憶舊知，盡量讓學生站在同一起跑線上.

情境創(chuàng)設：

(1)回顧什么是勻速圓周運動，“勻速”的含義是什么.

(2)展示生活中圓周運動的圖片(圖1)，提出問題：這些物體為什么會做圓周運動？

圖1 生活中的圓周運動

(3)圓周運動物體所受的外力沿什么方向？加速度的方向又怎樣？

(4)該如何對圖1中的物體(鏈球、女運動員)進行受力分析

學生討論并匯報：

(1)如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，則稱之為勻速圓周運動； “勻速”的含義是指“勻速率”，即線速度的大小保持不變，方向時刻改變(切線方向).

(2)因為圓周運動是一種變速曲線運動，物體的運動狀態(tài)時刻改變，根據(jù)牛頓第二定律可知，物體一定受到外力的作用，或者說物體一定存在加速度.

(3)對鏈球和女運動員的受力分析如圖2所示.雖然我們無法直接給出合外力(或加速度)的方向，但利用正交分解，考慮到物體只在某一個水平面上做圓周運動，那么在垂直于這個平面的方向上受力平衡，則合外力(或加速度)應該出現(xiàn)在該平面內.

圖2 對鏈球和運動員受力分析

設計說明：通過該層級，既做好知識儲備，又對力與運動的關系有了更深刻的認識，同時也定性地探討了加速度的方向，為后續(xù)向心加速度方向的理解指明了方向.

層級2：復習舊知，數(shù)學先行，從特殊到一般

設置目的：復習直線運動中的加速度概念，回顧一條直線上矢量減法的運算，然后遷移到曲線運動中，從數(shù)學向量的運算規(guī)則出發(fā)，通過速度方向成不同的特殊角度的計算，逐步推廣到一般情況.

情境創(chuàng)設：

(1)物體初速度v1=3 m/s，水平向東；末速度v2=5 m/s，水平向東，求Δv的大小及方向？物體初速度v1=5 m/s，水平向東；末速度v2=3 m/s，水平向東，求Δv的大小及方向？

(2)若物體的初速度v1=3 m/s，水平向東；末速度v2=4 m/s，向南，求Δv的大小及方向？

(3)若平拋的物體某一時刻速度為v1,過一段時間速度為v2，則Δv的方向怎么表示呢？

(4)勻速圓周運動中，若vA=vB=v，當兩速度的夾角分別為180°，120°，90°，60°時，求解Δv的數(shù)值.

學生交流討論，并匯報：

(1)一條直線上Δv的作圖與計算如圖3所示.

圖3 一條直線時的Δv

(2)不在一條直線上時Δv的作圖與計算如圖4所示.

(3)平拋運動中Δv的作圖與計算如圖5所示.

圖4 不在一條直線時的Δv 圖5 平拋運動的Δv

圖6 勻速圓周運動中的Δv

設計說明：通過該層級，使學生對于矢量減法(無論是直線還是曲線)的運算有了足夠清晰的認識，而且，通過特殊值的計算，在兩速度夾角不斷變小的情況下，Δv的數(shù)值也在不斷地變化，不斷地趨近于某一個值，這就為下一層級當Δθ→0(或Δt→0)時的極限情況下向心加速度an的推導設下了伏筆.

層級3:運用公式，極限逼近，化平均為瞬時

情境創(chuàng)設：

(1)在層級2的情景(4)中，若假設圓周運動的半徑為r，則分別求解各角度情況下的平均加速度的大小，并猜測若Δθ→0(或Δt→0)時，向心加速度an趨于何值.

(3)利用勻速圓周運動角速度、線速度的關系，推導向心加速度an的其他表達式.

學生交流討論并匯報：

圖7 速度變化矢量圖

設計說明：通過該層級，使學生理解極限思想的應用，并類比平均速度與瞬時速度的關系，推出瞬時加速度是Δθ→0(或Δt→0)時平均加速度的極限值，以此突破進階的難點.

層級4：動畫展示，無限逼近，化猜測為實證

設置目的：在層級3中只給出了向心加速度an大小的公式，作為一個矢量，必定還有方向，在層級1的定性分析中，我們已經(jīng)猜測到向心加速度an的方向指向圓心，這里通過動畫展示，動態(tài)分析，得到當Δθ→0(或Δt→0)時Δv的方向變化情況.

情境創(chuàng)設：

(1)根據(jù)加速度的定義，向心加速度an的方向即為速度變化量Δv的方向，即如何確定Δv的方向.

(2)動態(tài)展示Δθ→0(或Δt→0)的全過程，說明Δv的方向變化，最終確定向心加速度an的方向.

學生交流討論并匯報：

設質點沿半徑為r的圓逆時針做勻速圓周運動，某時刻位于A點，速度為vA，經(jīng)過時間Δt后位于B點，速度為vB.通過動態(tài)展示(圖8)，發(fā)現(xiàn)當Δθ→0(或Δt→0)時，Δv的方向與vA的方向相垂直，由于線速度的方向在圓周的切線方向，那么Δv的方向就是在法線方向上，并且指向圓心，所以向心加速度an的方向就在沿著半徑指向圓心的方向上.

圖8 分析向心加速度的方向

設計說明：利用多媒體技術，清晰展示出Δθ→0(或Δt→0)的極限過程，使學生對向心加速度an的方向有更深的理解.同時與層級1中的定性實驗相呼應，傳遞給學生研究物理的方法.

4 結束語

在課堂教學中，根據(jù)學生的認知發(fā)展規(guī)律，應用學習進階理論，將教學內容劃分若干個“階”，采用針對性的教學策略，幫助學生登上小“階”，再把這部分內容融入到整個高中物理的體系中去，讓其成為大“階”的一部分.爬大“階”，尋“階”而上.最終促成學生核心素養(yǎng)的全面提升.