(1.清華大學(xué) 工程力學(xué)系,北京 100084；2.中國石化工程建設(shè)公司,北京 100101)

0 引言

在我國壓力容器現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)[1-2]中，錐殼小端采用的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式為：

Pm?SⅠ≤Sm

(1)

PL?SⅡ≤1.1Sm

(2)

PL+Q?SⅣ≤3.0Sm

(3)

眾多的算例都顯示，在錐殼小端與圓柱殼連接部位，控制補(bǔ)強(qiáng)設(shè)計(jì)厚度的準(zhǔn)則是SⅡ的許用值，需要對此類結(jié)構(gòu)SⅡ許用值的合理取值進(jìn)行研究。本文通過塑性分析建議：以下列準(zhǔn)則式代替準(zhǔn)則式(2)，即：

ps/p≥1.5

(4)

式中ps——結(jié)構(gòu)的塑性極限壓力；

p——設(shè)計(jì)壓力。

由文獻(xiàn)[5]所給出的彈性薄殼理論解，計(jì)算得到最大總體加局部薄膜應(yīng)力強(qiáng)度SⅡ。將設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(2)由準(zhǔn)則式(4)替換，依據(jù)薄殼理論解所得彈性名義應(yīng)力的SⅡ，再通過彈塑性分析，由結(jié)構(gòu)的極限壓力準(zhǔn)則式(4)確定SⅡ的許用值，從而確定結(jié)構(gòu)所需的補(bǔ)強(qiáng)系數(shù)Qs。

1 內(nèi)壓作用下錐殼大、小端分別與圓柱殼相連接結(jié)構(gòu)的塑性極限壓力

20世紀(jì)后期，文獻(xiàn)[6]對錐殼大、小端分別連接圓柱殼的結(jié)構(gòu)導(dǎo)出了塑性極限分析的理論解，其力學(xué)模型見圖1[6]。

t-殼體的厚度δr;α-錐半頂角;R2,R1-大、小端圓柱殼半徑

圖2 5種可能的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)

文獻(xiàn)[6]中對圓柱殼采用單矩弱作用的Tresca屈服條件，對錐殼采用雙矩弱作用的Tresca屈服條件[7]，得到了極限分析的完全解;文獻(xiàn)[6]中還給出不同幾何參數(shù)(α,R2/R1,t/R1)條件下結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的5種塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)(見圖2[6])及塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)與這些幾何參數(shù)的關(guān)系，圖3[6]示出其中的一例。其中塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)A為錐殼大端與大圓柱殼先破壞，發(fā)生在α和R2/R1較大、t/R1較小時(shí)；塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)C,D為錐殼小端與小圓柱殼先破壞，塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)E為小圓柱殼先破壞，這三種塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)發(fā)生在α和R2/R1較小時(shí)；塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)B為錐殼大、小端和大、小圓柱殼同時(shí)破壞，發(fā)生在幾何參數(shù)為中間狀態(tài)時(shí)。文獻(xiàn)[6]還給出了每組參數(shù)(α,R2/R1,t/R1)對應(yīng)的無量綱塑性極限壓力psR1/(σst)(其中，σs為材料的屈服應(yīng)力)。受當(dāng)時(shí)研究條件所限，該項(xiàng)工作未能進(jìn)一步驗(yàn)證和應(yīng)用。

圖3 錐殼變徑段塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)與幾何參數(shù)的關(guān)系

文獻(xiàn)[8]中通過理想彈塑性小變形有限單元法對文獻(xiàn)[6]進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了文獻(xiàn)[6]根據(jù)塑性理論完全解所給出各種參數(shù)下的結(jié)構(gòu)塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)與極限壓力的可靠性。表1列出文獻(xiàn)[8]所給部分算例的幾何參數(shù)，這些算例對應(yīng)的流動(dòng)機(jī)構(gòu)見圖3[6]。

表1 各算例的錐殼幾何參數(shù)與對應(yīng)的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖4示出文獻(xiàn)[6]理論解和文獻(xiàn)[8]所給算例有限元解的比較，圖中線形數(shù)據(jù)為文獻(xiàn)[6]所給理論解；離散點(diǎn)為對應(yīng)算例用彈塑性有限元法得到的極限壓力。由彈塑性變形歷史曲線，分別用JB 4732—1995[2]附錄B.5規(guī)定的“兩倍彈性線斜率法”和ASME—2017[4]5.2.4節(jié)規(guī)定的“結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)法”兩種不同的定義方法給出了塑性極限壓力，如圖5所示，在圖4，5中給予不同的標(biāo)志。圖4顯示理論解[6]與有限元解[8]能夠較好地吻合，證明了文獻(xiàn)[6]塑性理論完全解的可靠性。其中，“兩倍彈性線斜率法”較“結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)法”更為保守，在多數(shù)情況下，理論解與按“結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)法”得到的塑性極限壓力數(shù)值解一致，但當(dāng)結(jié)構(gòu)的錐半頂角和和厚徑比均較大(如算例a4，a5,a6等)時(shí)，“結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)法”所得到的極限壓力數(shù)值解高于理論解。

圖4 極限分析理論解與彈塑性有限元解

圖5 算例a2極限壓力的確定

關(guān)于各種參數(shù)情況的塑性極限分析還說明，若結(jié)構(gòu)參數(shù)(α較小)顯示：先發(fā)生D,E兩種錐殼和小端圓柱殼先破壞的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，由于此參數(shù)下錐殼大端與圓柱殼連接處彎曲應(yīng)力較小，一次局部薄膜應(yīng)力強(qiáng)度大，所以控制錐殼變徑段設(shè)計(jì)厚度的準(zhǔn)則必定為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(4)；若結(jié)構(gòu)參數(shù)(α較大)顯示：先發(fā)生A類大端圓柱殼塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，控制錐殼變徑段設(shè)計(jì)厚度的準(zhǔn)則可能為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(4)，由于此參數(shù)下錐殼大端與圓柱殼連接處有較大的彎曲應(yīng)力，一次加二次應(yīng)力強(qiáng)度較大，所以還需進(jìn)行結(jié)構(gòu)安定性校核，控制設(shè)計(jì)厚度的準(zhǔn)則也可能為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(3)。

2 內(nèi)壓作用下與圓柱殼相連的錐殼小端補(bǔ)強(qiáng)設(shè)計(jì)方法

彈性分析已經(jīng)表明，控制小端設(shè)計(jì)厚度的準(zhǔn)則是其一次薄膜應(yīng)力強(qiáng)度SⅡ。鑒于前言中所述，目前如何確定一次局部薄膜應(yīng)力強(qiáng)度的許用值尚存在問題，下面通過分析給出了安全可靠的工程設(shè)計(jì)方法：選取不同結(jié)構(gòu)參數(shù)α,t/R1,R2/R1對應(yīng)的結(jié)構(gòu)，計(jì)算其塑性極限壓力ps，將ps/1.5作為設(shè)計(jì)壓力p，用彈性薄殼理論精確解對同一結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)小端處計(jì)算得到的SⅡ/Sm值既不等于1.1，也不等于1.5；在大多數(shù)情況下，許用值取1.5Sm安全裕度不夠，而許用值取1.1Sm又過于保守。本文采用如下方法得到錐殼變徑段的補(bǔ)強(qiáng)設(shè)計(jì)方法：

(1)針對不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)(α,R2/R1)，在給定p/Sm值(Sm=σs/1.5)下設(shè)定t值，應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中的彈性薄殼理論解計(jì)算SⅠ,SⅡ和SⅣ；

(2)改變t值，重復(fù)彈性應(yīng)力分析，直至滿足現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)[1-2]原有準(zhǔn)則式(1)～(3)；

(3)通過進(jìn)行塑性極限分析結(jié)果迭代調(diào)整t值，使調(diào)整后的t值在給定p/Sm,α,R2/R1值和該t/R1值下得到的塑性極限壓力對于設(shè)計(jì)壓力的安全系數(shù)ps/p≥1.5(且接近1.5)；

(5)

式中Di——小端圓柱殼內(nèi)直徑。

計(jì)算與圓柱殼相連接的錐殼小端補(bǔ)強(qiáng)系數(shù)Qs：

(6)

根據(jù)上述方法所得到的錐殼小端補(bǔ)強(qiáng)系數(shù)Qs曲線見圖6。

圖6 錐殼小端分析設(shè)計(jì)方法加強(qiáng)系數(shù)Qs曲線與

表2 按本文錐殼小端設(shè)計(jì)曲線設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的塑性極限壓力對于設(shè)計(jì)壓力的安全系數(shù)

注：表中除注明者外，其余算例均為R2/R1=1.2，其中kL為該算例對應(yīng)的一次局部薄膜應(yīng)力強(qiáng)度的許用值SⅡ/Sm

圖6還示出了與原標(biāo)準(zhǔn)[1-2]中曲線的對比結(jié)果，其中實(shí)線為本文所給出，點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)[1-2]中所給Qs值(按設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(1)～(3))。按圖6中Qs值所設(shè)計(jì)的錐殼變徑段小端，用彈塑性小變形有限元法計(jì)算塑性變形歷史并繪制曲線，按照“兩倍彈性線斜率法”給出對應(yīng)的塑性極限壓力，按設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(4)控制設(shè)計(jì)厚度的典型算例結(jié)果見表2。

(1)本文的分析和圖6與表2顯示，原標(biāo)準(zhǔn)[1-2]所采用的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(2)略為保守：所有算例對一次局部薄膜應(yīng)力強(qiáng)度SⅡ的許用值超過1.1Sm，都可以得到ps/p略大于1.5的結(jié)果；本文建議曲線具有合理的安全裕度，錐殼變徑段小端加強(qiáng)系數(shù)比原標(biāo)準(zhǔn)[1-2]所給補(bǔ)強(qiáng)系數(shù)值略小。

(2)綜合圖6和文獻(xiàn)[5]關(guān)于錐殼大端與圓柱殼連接的分析可知，對于R2/R1較大的長錐殼變徑段(如R2/R1=1.5)，當(dāng)p/Sm>0.03以及α>35°時(shí)，由于錐頂角和設(shè)計(jì)壓力較大時(shí)，錐殼大端的總體一次薄膜應(yīng)力加大，錐殼大端設(shè)計(jì)厚度都由準(zhǔn)則式(1)控制(見文獻(xiàn)[5]中圖10)，而圖6顯示錐殼小端的加強(qiáng)系數(shù)Qs值隨p/Sm值的增大而減小，錐殼變徑段的設(shè)計(jì)厚度是按設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(1)控制的。

3 大、小端分別與圓柱殼相連的錐殼變徑段兩端邊緣效應(yīng)耦合時(shí)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則討論

文獻(xiàn)[5]已指出，與不考慮邊緣效應(yīng)耦合所得簡單邊界效應(yīng)解的傳統(tǒng)概念相反，錐殼變徑段兩端邊緣效應(yīng)的耦合作用使錐殼中的一次局部薄膜應(yīng)力降低，同時(shí)采用設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(1),(3),(4)來替代原有的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(1),(2),(3)，給出了考慮邊緣效應(yīng)耦合作用的錐殼變徑段補(bǔ)強(qiáng)系數(shù)Qs的設(shè)計(jì)曲線。本文進(jìn)一步論證該設(shè)計(jì)方法的安全性以及對于此類復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用塑性極限準(zhǔn)則的必要性。

表3列出文獻(xiàn)[5]所提出的考慮邊緣效應(yīng)耦合作用的短錐殼變徑段設(shè)計(jì)方法所對應(yīng)典型算例的極限壓力，并同時(shí)給出這些算例對應(yīng)的kL=SⅡ/Sm值。

表3 錐殼變徑段兩端邊緣效應(yīng)耦合結(jié)構(gòu)的塑性極限壓力與設(shè)計(jì)壓力之比及塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)類型

(1)表3顯示,考慮錐殼變徑段兩端邊緣效應(yīng)的耦合作用所給出的設(shè)計(jì)方法有足夠的安全裕度，所有算例的結(jié)構(gòu)塑性極限壓力對于設(shè)計(jì)壓力的安全系數(shù)ps/p都大于1.5。

(2)表3顯示,錐殼變徑段兩端邊緣效應(yīng)的耦合作用使錐殼與圓柱殼連接處的一次局部薄膜應(yīng)力進(jìn)一步降低，部分滿足塑性極限強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(4)的算例，該處kL=SⅡ/Sm值甚至小于1，遠(yuǎn)小于按彈性分析設(shè)計(jì)準(zhǔn)則式(2)的要求。圖7,8分別示出算例No.1(α=60°,R1=1 000 mm,R2/R1=1.1,t/R1=Qsp/Sm=0.006 25,p=0.2 MPa)按照薄殼理論解和有限元數(shù)值解所得錐殼變徑段中環(huán)向薄膜彈性名義應(yīng)力分量和經(jīng)向薄膜加彎曲彈性名義應(yīng)力分量的對比結(jié)果，表明薄殼理論的精確解是可靠的，而對于短錐殼變徑段，簡單邊界效應(yīng)解與有限元、精確解的誤差太大，如一次薄膜應(yīng)力分量遠(yuǎn)大于有限元和精確解的結(jié)果。

(3)從表3可以看出，對于這些錐殼變徑段非常短、兩端殼體邊緣效應(yīng)互相耦合的結(jié)構(gòu)，其塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)大多屬于圖2中的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)B，即錐殼兩端與大、小圓柱殼連接處及大、小圓柱殼中均出現(xiàn)塑性鉸，3個(gè)元件同時(shí)發(fā)生塑性流動(dòng)的情況。

圖7 算例No.1經(jīng)向薄膜加彎曲彈性名義應(yīng)力

圖8 算例No.1環(huán)向薄膜彈性名義應(yīng)力分量

表3中各算例是以塑性極限準(zhǔn)則式(4)控制設(shè)計(jì)厚度的，本文將進(jìn)一步分析對于此類復(fù)雜結(jié)構(gòu)，不宜采用彈性名義應(yīng)力準(zhǔn)則式(1)～(3)。以圖7,8，即表3中算例No.1為例，該算例的基本參數(shù)為：α=60°,R1=1 000 mm,R2=1 100 mm,p=0.2 MPa，材料屈服極限σs=300 MPa,若取t=6.25 mm，由t/R1=0.006 25，計(jì)算其彈性名義應(yīng)力強(qiáng)度：km=SⅠ/Sm=0.352<1,kL=SⅡ/Sm=0.75<1.1,kP+Q=SⅣ/Sm=2.3<3。也就是說，按照彈性分析及相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，該算例可承受比0.2 MPa更高的設(shè)計(jì)壓力，但是進(jìn)一步的塑性分析表明，對于此類短錐殼變徑段，應(yīng)用傳統(tǒng)的與彈性名義應(yīng)力分析方法相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則不能給出可靠的設(shè)計(jì)結(jié)果。

算例No.1由有限元法計(jì)算得到的彈塑性變形歷史曲線及按照文獻(xiàn)[2]與文獻(xiàn)[4]兩種不同定義的塑性極限壓力ps下的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布云圖見圖9。圖7顯示在算例No.1的錐殼大端P2截面、小端P1截面分別具有負(fù)最大和正最大的彎矩，當(dāng)結(jié)構(gòu)承受設(shè)計(jì)壓力p=0.2 MPa時(shí)，P2和P1截面附近錐殼和大、小端圓柱殼中的彈性名義應(yīng)力已經(jīng)遠(yuǎn)超過材料的屈服極限。該兩處殼體表面的應(yīng)力已經(jīng)達(dá)到屈服極限，不能再增加，但是從彈塑性分析(見圖9)可知：p=0.2 MPa時(shí)，該兩處沿旋轉(zhuǎn)殼體周圈橫截面中部仍為彈性，整個(gè)變徑段殼體結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生塑性流動(dòng)；其后，隨著壓力的增大，旋轉(zhuǎn)殼彈性部分應(yīng)力將沿著該兩處錐殼和大、小端圓柱殼的全截面及其經(jīng)向逐漸增大，直至大部分錐殼和與錐殼連接處的部分圓柱殼都進(jìn)入塑性極限，形成幾何可變的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)，發(fā)生流動(dòng)。對于理想彈塑性有限元分析得到的結(jié)果，按兩倍彈性線斜率定義[2]，ps=0.304 MPa；若按文獻(xiàn)[4]中的定義，理想彈塑性有限元程序可計(jì)算出的小端處平行圓最大徑向位移為15.8 mm，對應(yīng)的極限壓力為0.34 MPa。

圖9 算例No.1彈塑性變形歷史曲線和應(yīng)力分布云圖

若按照傳統(tǒng)彈性名義應(yīng)力的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，當(dāng)SⅣ/Sm=3時(shí)，該算例可以承受比0.2 MPa更高的設(shè)計(jì)壓力(0.261 MPa)。但是，按照彈塑性有限元分析，當(dāng)材料的屈服極限σs=300 MPa=1.5Sm時(shí)，它僅可承受ps=0.304 MPa的極限壓力(按兩倍彈性線斜率定義[2])，安全裕量僅為1.165。即使按照最大塑性變形時(shí)所對應(yīng)的ps=0.34 MPa計(jì)算，安全系數(shù)也只有1.3。

由于該算例的錐殼非常短，這種沿殼體經(jīng)向應(yīng)力增加達(dá)到屈服極限的過程容易完成，所以用傳統(tǒng)的彈性名義應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則將造成很大誤差、且安全裕度不夠。

文獻(xiàn)[6]的理論解給出了當(dāng)R2/R1=1.1時(shí)結(jié)構(gòu)在極限壓力下塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，見圖10[6]?？梢钥闯觯憷齆o.1的破壞模式為圖2中的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)B。圖11[6]示出錐殼中彎矩(Ms,Mθ)、薄膜內(nèi)力素(Ts,Tθ)的雙矩弱作用Tresca屈服條件，當(dāng)錐殼中內(nèi)力素位于屈服面內(nèi)，即屬于彈性范圍，增大到屈服面上即進(jìn)入塑性，根據(jù)理想塑性材料的假設(shè)，錐殼中的內(nèi)力素不可超出屈服面。發(fā)生塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)B時(shí)，錐殼中的彎矩Ms和Mθ、薄膜內(nèi)力素Ts和Tθ對應(yīng)于圖11中的加粗線條，它們都位于屈服面上。

圖10 R2/R1=1.1時(shí)錐殼變徑段的塑性流動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖11 錐殼的雙矩弱作用Tresca屈服條件

按照文獻(xiàn)[6]的理論解，在該參數(shù)下算例No.1的無量綱極限壓力為psR1/σst=0.17,ps≈0.318 MPa，理論解與有限元解分析得到的結(jié)構(gòu)塑性流動(dòng)模式一致，理論解所得塑性極限壓力介于由彈塑性有限元法按兩種不同定義方法所得的塑性極限壓力之間，故文獻(xiàn)[2]中所規(guī)定的兩倍彈性線斜率定義方法所得極限壓力偏于保守。

4 錐殼兩端邊緣效應(yīng)耦合時(shí)短錐殼變徑段的設(shè)計(jì)方法

根據(jù)錐殼與大、小端兩個(gè)圓柱殼相連接的力學(xué)模型，由彈性薄殼理論的精確解和塑性極限壓力和安定性準(zhǔn)則式(1),(3),(4)，本課題組進(jìn)一步得到了短錐殼變徑段的分析設(shè)計(jì)方法。大量算例分析發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)α<45°時(shí)，短錐殼兩端的邊緣效應(yīng)耦合作用較小，對于其設(shè)計(jì)厚度的影響可以忽略；

(2)當(dāng)α≥45°時(shí)，與現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)[1-2]相比，考慮變徑段短錐殼兩端的邊緣效應(yīng)耦合作用，使加強(qiáng)段設(shè)計(jì)厚度有所減?。?/p>

(3)α,t/R1越大，此種耦合作用越大；

(4)在α≤60°的范圍內(nèi)，當(dāng)DiL/Dis>1.35時(shí)，不需考慮邊緣效應(yīng)的耦合作用。

圖12示出了兩例短錐殼變徑段加強(qiáng)系數(shù)設(shè)計(jì)曲線。當(dāng)p/Sm較大時(shí)，圖中未給出Qs的部分為變徑段過短，已不屬于薄殼的結(jié)構(gòu)。

(a)α=50° (b)α=60°

圖12 考慮錐殼變徑段大、小端邊緣效應(yīng)耦合作用時(shí)的Qs值

5 結(jié)語

本文基于塑性極限分析理論與理想彈塑性有限元，對錐殼大、小端分別與圓柱殼相連接的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了極限壓力分析，提出采用結(jié)構(gòu)極限壓力ps與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)壓力p的比值ps/p≥1.5替換傳統(tǒng)的彈性名義應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則SⅡ/Sm=1.1(或1.5)。根據(jù)所提出的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，對錐殼小端與圓柱殼連接的結(jié)構(gòu)以及短錐殼變徑段分別與大、小端圓柱殼連接的結(jié)構(gòu)提出了加強(qiáng)段的設(shè)計(jì)方法。彈塑性分析結(jié)果證明所提出的方法和設(shè)計(jì)準(zhǔn)則安全合理。