張 楊，呂樹(shù)臣

(哈爾濱師范大學(xué) 光電帶隙材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150025)

1 引 言

腔量子電動(dòng)力學(xué)(Cavity quantum electrodynamics)主要研究受限空間中的電磁場(chǎng)與物質(zhì)(主要有原子、離子以及量子點(diǎn)等)間相互作用的動(dòng)力學(xué)過(guò)程[1]，并且為研究各種量子現(xiàn)象提供了一種自然的環(huán)境[2]。在腔量子電動(dòng)力學(xué)中，腔內(nèi)的原子系統(tǒng)可以作為存儲(chǔ)量子位，而光子可以在整個(gè)系統(tǒng)中分布信息[2]。因此，腔量子電動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)于量子通信[3]、量子信息處理[4]、量子計(jì)算[5]、量子糾纏[6]等領(lǐng)域有重要意義。在研究單個(gè)理想二能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)相互作用的Jaynes-Cummings(簡(jiǎn)稱J-C)模型[7]建立以后，人們對(duì)原子和腔場(chǎng)相互作用過(guò)程的本質(zhì)進(jìn)行了很多研究，并且發(fā)現(xiàn)許多量子現(xiàn)象，如輻射光場(chǎng)的壓縮效應(yīng)[8]、光場(chǎng)的真空拉比分裂[9]、輻射光譜的坍縮和復(fù)起[10]、J-C模型中的非線性[11]、光子的反群聚和亞泊松分布[12]等。隨著研究的深入，模型推廣到了兩個(gè)二能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)相互作用的Tavis-Cummings(簡(jiǎn)稱T-C)模型[13]。

由于腔場(chǎng)譜和原子發(fā)射譜是獲取原子和腔場(chǎng)相互作用信息的重要手段[14]，并被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[15-16]。因此，發(fā)射光譜的研究一直備受重視，人們研究了單個(gè)二能級(jí)原子與高品質(zhì)因子單模腔場(chǎng)相互作用的發(fā)射光譜[17]、單個(gè)二能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)雙光子發(fā)射光譜[18]、兩個(gè)二能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)在強(qiáng)耦合機(jī)制下相互作用的透射譜[19]以及兩個(gè)二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)在偶極子相互作用影響下的發(fā)射光譜[20]。近年來(lái)，雙原子與雙單模腔耦合系統(tǒng)模型也受到了人們的廣泛關(guān)注，Zhang 等[21]討論了雙原子與雙單模腔系統(tǒng)的量子態(tài)轉(zhuǎn)移，Wang等[22]研究了驅(qū)動(dòng)情況下雙原子與雙單模腔的光子分布，F(xiàn)erretti等[23]研究了雙原子與雙單模腔在相干驅(qū)動(dòng)和耗散下的光子相關(guān)性。

隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)上能夠?qū)崿F(xiàn)量子點(diǎn)與半導(dǎo)體腔的耦合[24]，也能實(shí)現(xiàn)量子點(diǎn)與光子晶體腔的耦合[25]，實(shí)驗(yàn)上能觀測(cè)到量子點(diǎn)與腔耦合的Mollow三重峰[26-27]，并對(duì)解釋中峰的出現(xiàn)產(chǎn)生了極大的興趣，然而，目前關(guān)于中峰出現(xiàn)的解釋說(shuō)法不一[28]。本文目的之一就是根據(jù)我們的研究結(jié)果對(duì)中峰的出現(xiàn)給出解釋。

到目前為止，有關(guān)雙原子與雙單模腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)發(fā)射光譜的相關(guān)報(bào)道很少。因此，本文將研究雙原子與雙單模腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)的發(fā)射光譜，著重討論腔場(chǎng)與原子失諧、原子與腔場(chǎng)失諧、腔場(chǎng)衰減率以及原子的失相對(duì)發(fā)射光譜的影響。

2 腔耦合系統(tǒng)模型

本文在以往模型研究的基礎(chǔ)上，即兩個(gè)單模腔彼此相互耦合，每一個(gè)腔中都有一個(gè)二能級(jí)原子(或量子點(diǎn))[29-30]，考慮了腔1由于光子滲漏造成的腔場(chǎng)衰減，腔2受到非相干泵浦及兩個(gè)原子的失相，研究模型如圖1所示。每個(gè)腔中原子與該腔場(chǎng)在偶極作用近似下，其耦合強(qiáng)度為Ωi(i=1,2)，兩個(gè)單模腔場(chǎng)間通過(guò)偶極-偶極相互作用，其光子隧穿強(qiáng)度為J。這里不考慮兩個(gè)原子間的相互作用，以及原子與相鄰腔場(chǎng)間的相互作用。

圖1 二能級(jí)雙原子與雙單模腔耦合系統(tǒng)模型

Fig.1 Two double-level atoms coupled with two single-mode cavity system

該體系的Hamiltonian在旋波近似(RWA)和電偶極近似下可表示為(?=1)：

H=H0+H1,

(1)

其中

(2)

(3)

考慮到腔衰減、純失相、非相干泵浦等因素的影響，這種耦合原子-腔系統(tǒng)的演化在玻恩-馬爾可夫近似下可以用量子耗散主方程來(lái)描述，此時(shí)耦合體系的量子主方程可寫(xiě)為[28]：

(4)

其中，κ1為腔場(chǎng)1的衰減率，κ2為腔場(chǎng)2的非相干泵浦率，γ*為原子的失相。

對(duì)本文考慮的模型，第二個(gè)腔引進(jìn)非相干泵浦，通過(guò)兩個(gè)腔的耦合，使得這個(gè)非相干泵浦去平衡第一個(gè)腔的衰減，從而使整個(gè)系統(tǒng)能建立起一種穩(wěn)態(tài)，這樣系統(tǒng)的初始條件不需要人為設(shè)定。由公式(4)，利用單光子關(guān)聯(lián)近似[31]〈σza〉=-〈a〉及Bose統(tǒng)計(jì)，我們得到如下方程組：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

令方程組(5)～(14)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零，可得到平均值的穩(wěn)態(tài)解，如

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)Wiener-Khintchine定理，該系統(tǒng)的發(fā)射光譜可按下式計(jì)算：

(21)

(22)

3 耦合系統(tǒng)的發(fā)射光譜

下面分別討論腔場(chǎng)與原子失諧Δca=ωc-ωa、原子與腔場(chǎng)失諧Δac=ωa-ωc、腔場(chǎng)衰減率κ1以及原子失相γ*對(duì)該體系發(fā)射光譜的影響，并將原子發(fā)射譜和腔場(chǎng)譜進(jìn)行了對(duì)比分析。取定腔場(chǎng)的固有頻率ω0=1014Hz，原子的躍遷頻率和腔場(chǎng)的躍遷頻率均與固有頻率有相同的數(shù)量級(jí)。腔場(chǎng)的衰減率、腔場(chǎng)的非相干泵浦率、失相分別為κ1=κ2=γ*≈109Hz。原子和腔場(chǎng)間耦合強(qiáng)度、兩腔場(chǎng)間耦合強(qiáng)度分別取為Ω1=Ω2=J≈1010Hz。在本文研究過(guò)程中取定ωci/Ω1=ωai/Ω1=10 000(i=1,2),J/Ω1=1.8,Ω1/Ω1=1，κ1/Ω1=0.5,κ2/Ω1=0.1,以及γ*/Ω1=0.1。

3.1 腔場(chǎng)與原子失諧影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖2給出了耦合系統(tǒng)的腔場(chǎng)譜及原子發(fā)射光譜隨腔場(chǎng)與原子失諧Δca/Ω1=(ωc1-ωa1)/Ω1的變化關(guān)系。保持其他參量不變，只改變?chǔ)豤1，使Δca/Ω1=-2,-1,0,1,2。結(jié)果表明：腔場(chǎng)譜譜線有3個(gè)發(fā)射峰，如圖2(a)所示，原子發(fā)射譜譜線有兩個(gè)發(fā)射峰，如圖2(b)所示。從圖2(a)可以看出腔場(chǎng)譜當(dāng)且僅當(dāng)Δca=0，即共振時(shí)，譜線表現(xiàn)為對(duì)稱性，而其余失諧情況均為非對(duì)稱峰，并且隨著失諧的增大，兩邊峰向低頻段漂移，中峰的位置固定不變(位于ω=ω0處)。

共振情況下，不僅腔場(chǎng)譜的譜線對(duì)稱，原子發(fā)射譜的譜線也對(duì)稱，且腔場(chǎng)譜的峰位比原子發(fā)射譜的峰位偏移中心位置更多一些。失諧情況下，腔場(chǎng)譜和原子發(fā)射譜位于高頻段峰位差變小，位于低頻段腔場(chǎng)譜和原子發(fā)射譜峰位差變大。

在腔場(chǎng)譜中，如圖2(a)所示,位于高頻段邊峰的光譜強(qiáng)度隨著腔場(chǎng)與原子正失諧的增大而增大；隨著腔場(chǎng)與原子負(fù)失諧的增大而逐漸減小；位于低頻段的邊峰光譜強(qiáng)度的變化剛好相反，而失諧的變化對(duì)中間峰位的光譜強(qiáng)度幾乎無(wú)影響。在原子發(fā)射譜中，如圖2(b)所示，位于高頻段的發(fā)射強(qiáng)度隨著腔場(chǎng)與原子失諧的增大在逐漸增大；位于低頻段的發(fā)射強(qiáng)度隨著腔場(chǎng)與原子失諧的增大而逐漸減小。對(duì)于同一失諧影響下的兩個(gè)邊峰，光譜強(qiáng)度變化規(guī)律相似，即其中任一邊峰在腔場(chǎng)譜中光譜強(qiáng)度大(小)，在原子發(fā)射譜中的光譜強(qiáng)度也大(小)。

圖2 腔場(chǎng)與原子失諧影響下，(a)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系；(c)兩腔場(chǎng)間耦合強(qiáng)度為零時(shí)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系。

Fig.2 Under the influence of the detuning between the cavity field and atom: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra; (c) change of cavity field spectrum when the coupling strength between two cavity fields is zero.

在討論單腔模與二能級(jí)單原子耦合系統(tǒng)中，無(wú)論在理論還是實(shí)驗(yàn)上，都發(fā)現(xiàn)了Mollow三重峰的存在[27,32]。一個(gè)令人特別感興趣且迷惑的現(xiàn)象是解釋中峰的出現(xiàn)，在以往的報(bào)道中，Mollow三重峰的出現(xiàn)要么與外加泵浦場(chǎng)相關(guān)[27]，要么與聲子耦合相關(guān)[33-34]。從我們的研究結(jié)果可以得出這樣的結(jié)論：只要單腔模與二能級(jí)單原子耦合系統(tǒng)受到外界相干場(chǎng)的作用，理論上就應(yīng)出現(xiàn)Mollow三重峰，例如在本文所研究的系統(tǒng)中，由于腔間耦合的存在(J≠0)，由方程(19)和(21)不難看出腔1發(fā)射譜Mollow三重峰必然存在(當(dāng)然不排除有兩個(gè)峰重疊的情況)。

3.2 原子與腔場(chǎng)失諧影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖3闡述了耦合系統(tǒng)的腔場(chǎng)譜及原子發(fā)射光譜隨原子與腔場(chǎng)失諧Δac/Ω1=(ωa1-ωc1)Ω1的變化關(guān)系。在保持其他參量不變的情況下，只改變?chǔ)豠1，使Δac/Ω1=-2,-1,0,1,2。由圖3(a)不難發(fā)現(xiàn)，在失諧的情況下，隨著Δac的增加，腔場(chǎng)譜中峰的強(qiáng)度明顯增大，且中峰峰位明顯偏離ω=ω0的位置，從高頻向低頻移動(dòng)。特別是，中峰的強(qiáng)度關(guān)于Δac=0呈對(duì)稱性增長(zhǎng)。

在腔場(chǎng)譜中，如圖3(a)所示，高頻段的光譜強(qiáng)度隨著原子與腔場(chǎng)正失諧的增大而增大；隨著原子與腔場(chǎng)負(fù)失諧的增大而逐漸減??；低頻段的邊峰光譜強(qiáng)度的變化剛好相反。對(duì)原子發(fā)射譜而言，如圖3(b)所示，位于高頻段的光譜強(qiáng)度隨著Δac的增大而減小；位于低頻段的光譜強(qiáng)度隨著Δac的增大而增大。圖2(b)和圖3(b)均表明當(dāng)原子與腔場(chǎng)負(fù)失諧時(shí)，低頻側(cè)發(fā)射譜強(qiáng)度弱于高頻側(cè)發(fā)射譜強(qiáng)度，當(dāng)原子與腔場(chǎng)正失諧時(shí)，低頻側(cè)發(fā)射譜強(qiáng)度大于高頻側(cè)發(fā)射譜強(qiáng)度。

圖3 原子與腔場(chǎng)失諧影響下，(a)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.3 Under the influence of the detuning between the atom and the cavity field: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

3.3 腔場(chǎng)衰減率影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖4為共振情況時(shí)，耦合系統(tǒng)的腔場(chǎng)譜及原子發(fā)射光譜隨腔場(chǎng)衰減率κ1的變化關(guān)系。保持其他參量不變，κ1/Ω1=0.5，0.6，0.7，0.8。從圖4(a)可以看出，隨著腔場(chǎng)衰減率的增大，腔場(chǎng)譜3個(gè)峰的峰位均無(wú)變化，兩個(gè)邊峰的強(qiáng)度均逐漸降低，且降低的幅度也在逐漸減小，兩邊峰譜線的線寬變得寬化。對(duì)應(yīng)于同一腔場(chǎng)衰減率，腔場(chǎng)譜兩邊峰的強(qiáng)度相同，如圖4(a)所示。

對(duì)于原子發(fā)射譜來(lái)說(shuō)，隨著腔場(chǎng)衰減率的增加，兩個(gè)峰的強(qiáng)度也在減小，兩個(gè)峰的峰位均有向內(nèi)微弱的移動(dòng)，譜線的線寬均向內(nèi)寬化；對(duì)應(yīng)于同一腔場(chǎng)衰減率，原子發(fā)射譜兩邊峰的強(qiáng)度也是相同的，如圖4(b)所示。 在本文所研究的模型中，雖然我們未考慮原子的自發(fā)輻射(即原子發(fā)射的衰減率)對(duì)原子發(fā)射譜帶來(lái)的影響，但從方程(20)可以推斷腔場(chǎng)衰減率通過(guò)腔場(chǎng)與原子的耦合作用，間接影響到原子發(fā)射譜的發(fā)射強(qiáng)度，這一推斷為圖4(b)所證實(shí)。

圖4 共振時(shí)，腔場(chǎng)衰減率影響下，(a)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.4 Under the influence of cavity decay rate in the case of resonance: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

圖5為失諧情況時(shí)，耦合系統(tǒng)的腔場(chǎng)譜及原子發(fā)射光譜隨腔場(chǎng)衰減率κ1的變化關(guān)系。保持其他參量不變的情況下，取定ωa1/Ω1=9 998，κ1/Ω1=0.5，0.6，0.7，0.8。從圖5(a)可以看出，對(duì)于腔場(chǎng)譜來(lái)說(shuō)，失諧時(shí)，對(duì)應(yīng)于同一腔場(chǎng)衰減率，中峰光譜強(qiáng)度最大，低頻段邊峰的光譜強(qiáng)度大于高頻段邊峰的光譜強(qiáng)度。隨著腔場(chǎng)衰減率的增大，3個(gè)峰的強(qiáng)度均逐漸降低，且降低的幅度均逐漸減小，中峰衰減的幅度最大，其次是低頻段邊峰，最后是高頻段邊峰；中峰和低頻段邊峰的峰位均無(wú)明顯變化，而高頻段邊峰向低頻側(cè)有微弱的移動(dòng)。此外，3個(gè)峰譜線的線寬變得寬化，如圖5(a)所示。

對(duì)于原子發(fā)射譜來(lái)說(shuō)，失諧時(shí)，對(duì)應(yīng)于同一腔場(chǎng)衰減率，高頻段邊峰的光譜強(qiáng)度大于低頻段邊峰的光譜強(qiáng)度。隨著腔場(chǎng)衰減率的增加，兩個(gè)峰的強(qiáng)度均在減少，高頻段邊峰衰減的幅度大于低頻段邊峰衰減的幅度；兩個(gè)峰的峰位無(wú)明顯變化，譜線的線寬變得寬化，如圖5(b)所示。隨著κ1的增大，對(duì)于腔場(chǎng)譜來(lái)說(shuō)衰減的幅度大于原子發(fā)射譜，說(shuō)明作用在腔場(chǎng)上的衰減率對(duì)腔場(chǎng)譜的影響更大一些，這是因?yàn)榍粓?chǎng)的衰減率通過(guò)原子和腔場(chǎng)耦合間接地影響原子發(fā)射譜。

圖5 失諧時(shí)，腔場(chǎng)衰減率影響下，(a)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.5 Under the influence of cavity decay rate in the case of detuning: (a) change of cavity field spectrua; (b) change of atomic emission spectra.

3.4 原子失相影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖6為共振情況時(shí)，耦合系統(tǒng)的腔場(chǎng)譜及原子發(fā)射光譜隨原子的失相γ*的變化關(guān)系。保持其他參量不變，γ*/Ω1=0.1，0.2，0.3,0.4。隨著γ*的增大，邊峰均逐漸降低，而且降低的幅度逐漸減小，對(duì)于腔場(chǎng)譜來(lái)說(shuō)衰減的幅度小于原子發(fā)射譜，說(shuō)明作用在原子上的失相對(duì)原子發(fā)射譜的影響更大一些，這是因?yàn)樵拥氖嗤ㄟ^(guò)原子和腔場(chǎng)耦合間接地影響腔場(chǎng)譜。對(duì)應(yīng)于同一失相下，腔場(chǎng)譜中邊峰的強(qiáng)度相同，原子發(fā)射譜兩個(gè)峰的強(qiáng)度也相同。

在腔場(chǎng)譜中，如圖6(a)所示，隨著失相的增大中峰的強(qiáng)度逐漸減小，但減小的幅度非常小。隨著失相的增加，譜線的線寬向內(nèi)寬化。在原子發(fā)射譜中，如圖6(b)所示，隨著失相的增大，兩個(gè)峰的位置均有向外微弱的移動(dòng)，譜線線寬均向外寬化。原子的失相導(dǎo)致發(fā)射光譜強(qiáng)度降低和譜線寬化，這與文獻(xiàn)[35]考慮失相的單模腔與單原子耦合系統(tǒng)得到的結(jié)論是一致的。

圖6 共振時(shí)，原子失相影響下，(a)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.6 Under the influence of atom dephasing in the case of resonance: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

圖7為失諧情況時(shí)，耦合系統(tǒng)的腔場(chǎng)譜及原子發(fā)射光譜隨原子的失相γ*的變化關(guān)系。保持其他參量不變的情況下，取定ωa1/Ω1=9 998，γ*/Ω1=0.1，0.2，0.3,0.4。從圖7(a)可以看出，對(duì)于腔場(chǎng)譜來(lái)說(shuō)，失諧時(shí)，對(duì)應(yīng)于同一原子失相，中峰的光譜強(qiáng)度最大，低頻段邊峰的光譜強(qiáng)度大于高頻段邊峰的光譜強(qiáng)度。隨著腔場(chǎng)衰減率的增大，3個(gè)峰的強(qiáng)度均逐漸降低，且降低的幅度均逐漸減小，中峰衰減的幅度最大，其次是低頻段邊峰，最后是高頻段邊峰；3個(gè)峰的峰位均無(wú)明顯變化。此外，3個(gè)峰譜線的線寬變得寬化。

對(duì)于原子發(fā)射譜來(lái)說(shuō)，失諧時(shí)，對(duì)應(yīng)于同一腔場(chǎng)衰減率，高頻段邊峰的光譜強(qiáng)度大于低頻段邊峰的光譜強(qiáng)度。隨著腔場(chǎng)衰減率的增加，高頻段邊峰衰減的幅度明顯；而兩個(gè)峰的峰位無(wú)明顯變化，譜線的線寬變得寬化，如圖7(b)所示。隨著γ*的增大，對(duì)于腔場(chǎng)譜來(lái)說(shuō)衰減的幅度小于原子發(fā)射譜，說(shuō)明作用在原子上的失相對(duì)原子發(fā)射譜的影響更大一些，對(duì)腔場(chǎng)譜的影響小一些，這是因?yàn)樵拥氖嗤ㄟ^(guò)原子和腔場(chǎng)耦合間接地影響腔場(chǎng)譜。

圖7 失諧時(shí)，原子失相影響下，(a)腔場(chǎng)譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.7 Under the influence of atom dephasing in the case of detuning: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

4 結(jié) 論

本文研究了二能級(jí)雙原子與雙單模腔耦合系統(tǒng)的發(fā)射光譜。我們發(fā)現(xiàn)腔場(chǎng)與原子失諧和原子與腔場(chǎng)失諧對(duì)發(fā)射譜有著不同的影響，腔場(chǎng)與原子失諧的增大可使邊峰向低頻段漂移，并改變其光譜強(qiáng)度；原子與腔場(chǎng)失諧的增大可使光譜整體向低頻段漂移，并改變其光譜強(qiáng)度。隨著腔場(chǎng)衰減率的增大或失相的增大，耦合系統(tǒng)邊峰的強(qiáng)度減小，并且寬化。本文的研究結(jié)果可以例證：?jiǎn)吻荒Ｅc二能級(jí)單原子耦合系統(tǒng)受到外界相干場(chǎng)的作用，理論上就應(yīng)出現(xiàn)Mollow三重峰。