寧 銳李昌勇羅宗緒

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數(shù)學學科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)及其教學意義

寧 銳1，2，李昌勇2，羅宗緒3

（1．華東師范大學 數(shù)學科學學院，上海 200241； 2．四川師范大學 數(shù)學科學學院，四川 成都 610068；3．成都雙流中學實驗學校，四川 成都 610200 ）

針對《高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的定義以及6大數(shù)學學科核心素養(yǎng)，建立了一個數(shù)學核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)模型．將6大核心素養(yǎng)分為3組，視為從低到高的3個層面：數(shù)學思維素養(yǎng)（包括直觀想象和數(shù)學抽象），數(shù)學方法素養(yǎng)（包括數(shù)學運算和邏輯推理）和數(shù)學工具素養(yǎng)（包括數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模），反映了從數(shù)學知識學習到數(shù)學應用的數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展過程．將數(shù)學學科核心素養(yǎng)定義中的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力和數(shù)學情意（包括情感、態(tài)度和價值觀）視為核心素養(yǎng)的3種成分貫穿于3個層面中，從而形成了一個數(shù)學素養(yǎng)結(jié)構(gòu)模型．在這個結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，進一步討論3種教學形式：知識教學、解題教學和問題解決教學，分別對應不同層面數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的焦點．

數(shù)學學科核心素養(yǎng)；結(jié)構(gòu)模型；思維素養(yǎng)；方法素養(yǎng)；工具素養(yǎng)

2018年1月《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《數(shù)學課標（2017）》）出版，正式公布了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的概念及6大核心素養(yǎng)．這是在落實“十八大”提出“立德樹人”的教育根本任務，以及教育部2014年發(fā)布《關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》[1]的背景下，以高中課程標準修訂為契機對整個數(shù)學教育深化改革所進行的頂層設計．從這一角度來看，數(shù)學學科核心素養(yǎng)及其內(nèi)容就不應僅僅看成是針對高中數(shù)學課程改革，更應該看成整體數(shù)學教育改革的新指向．那么，怎樣理解數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其關(guān)系，以及怎樣在數(shù)學學科核心素養(yǎng)視角下建構(gòu)數(shù)學教學目標，就成為數(shù)學教育改革實踐的重要議題．

1 數(shù)學學科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)

1.1 數(shù)學學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的來源

《數(shù)學課標（2017）》定義了數(shù)學學科核心素養(yǎng)是“具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)”，提出了6大數(shù)學學科核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學建模，直觀想象，數(shù)學運算，數(shù)據(jù)分析．課標分別闡釋了6大核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，并指出這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，是一個有機整體[2]．但課標并沒有進一步闡釋它們之間的關(guān)系．怎樣把握6大核心素養(yǎng)之間的關(guān)系呢？史寧中提出數(shù)學學科核心素養(yǎng)的本質(zhì)就是“三會”[1]，即會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界．“三會”具體化形成了6大核心素養(yǎng)：數(shù)學眼光表現(xiàn)為數(shù)學抽象和直觀想象；數(shù)學思維思考表現(xiàn)為邏輯推理與數(shù)學運算；數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析則可以看成是數(shù)學語言．這在一定意義上可以理解為對6種核心素養(yǎng)的分類，進一步將其理解為核心素養(yǎng)的3個層面，并就數(shù)學學科核心素養(yǎng)的定義的幾個方面形成了一定的結(jié)構(gòu)．

1.2 數(shù)學學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的模型構(gòu)建

將6大核心素養(yǎng)分成3組：直觀想象，數(shù)學抽象；數(shù)學運算，邏輯推理；數(shù)據(jù)分析，數(shù)學建模．分別稱之為：數(shù)學思維素養(yǎng)，數(shù)學方法素養(yǎng)，數(shù)學工具素養(yǎng)．這3組素養(yǎng)形成數(shù)學學科核心素養(yǎng)的3個層面．這主要基于如下理解：直觀想象和數(shù)學抽象看成是數(shù)學思維的兩種基本形式，體現(xiàn)了認識事物和理解數(shù)學的思維特征，因而稱之為數(shù)學思維素養(yǎng)．數(shù)學運算和邏輯推理看成是數(shù)學思維的基本方式，體現(xiàn)了建構(gòu)和推演數(shù)學，以及運用數(shù)學知識來解決問題的方法特征，因而稱之為數(shù)學方法素養(yǎng)．數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建?？闯墒沁\用數(shù)學知識和方法來解決問題的基本途徑，具有工具性特征，因而稱之為數(shù)學工具素養(yǎng)．它們分別構(gòu)成了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的3個層面：數(shù)學思維素養(yǎng)是基礎(chǔ)層面的素養(yǎng)，是按照數(shù)學方式來認識事物和理解數(shù)學的思維品質(zhì)，體現(xiàn)了“會用數(shù)學眼光來觀察世界”的思維性目標．數(shù)學方法素養(yǎng)是中間層面的素養(yǎng)，是在數(shù)學思維素養(yǎng)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的更具有數(shù)學方法特征的素養(yǎng)，學生只有掌握了數(shù)學運算和邏輯推理方法，才能真正培養(yǎng)起數(shù)學關(guān)鍵能力，體現(xiàn)出“用數(shù)學思維來思考世界”的方法性目標．數(shù)學工具素養(yǎng)是上層的素養(yǎng)，是運用數(shù)學知識和方法向外解決問題的素養(yǎng)，這不僅要求學生具有良好的數(shù)學思維和數(shù)學方法素養(yǎng)，而且需要學生具有積極的數(shù)學態(tài)度、應用意識和創(chuàng)新觀念等數(shù)學情意特征，體現(xiàn)了“用數(shù)學語言來表達世界”的工具性目標．

依據(jù)上述理解，把數(shù)學學科核心素養(yǎng)定義中的3種成分與6大學科核心素養(yǎng)建立關(guān)聯(lián)，構(gòu)建了一個數(shù)學學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示．圖1是由一個平面圖表現(xiàn)的立體結(jié)構(gòu)．橫向的3列看成是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的3種成分，指向數(shù)學學科核心素養(yǎng)基本定義中3個方面：（具有數(shù)學基本特征的）思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力和以及情感、態(tài)度與價值觀（概括為“數(shù)學情意”）的綜合體現(xiàn)．這里用虛線區(qū)分只是為了分析性地顯示出它們的存在，實際上它們相互融合構(gòu)成數(shù)學學科核心素養(yǎng)的“體”，學生完成任何數(shù)學活動和任務時3種成分通常是綜合地起作用．這個“體”在縱向上由3個層面構(gòu)成，分別為：思維素養(yǎng)、方法素養(yǎng)、工具素養(yǎng)，每個層面包括了兩種數(shù)學學科核心素養(yǎng)．這里用實線區(qū)分，表示它們分界相對清晰，并且發(fā)展過程有一定的層次關(guān)系，但在同一數(shù)學活動中3個層面又常常同時得以發(fā)展．

從圖1的內(nèi)在特征來看，3個層面上的數(shù)學素養(yǎng)都包含了3種成分．反過來，不同成分也體現(xiàn)在不同層面的素養(yǎng)中．但在不同的層面數(shù)學學科核心素養(yǎng)的3種成分表現(xiàn)的分量有所不同：在數(shù)學思維層面，思維品質(zhì)成分表現(xiàn)更為突出；在數(shù)學方法層面，關(guān)鍵能力表現(xiàn)更為突出；而在數(shù)學工具層面，數(shù)學情意成分更為突出．這種不同層面數(shù)學素養(yǎng)成分的傾向性用圖1中對角線方塊陰影來突出表示．

2 數(shù)學學科核心素養(yǎng)3大層面內(nèi)涵及要素關(guān)系

在圖1結(jié)構(gòu)中，每一個層面都包含了兩種核心素養(yǎng)，這兩種素養(yǎng)為什么放在一起構(gòu)成一個層面，它們之間有什么關(guān)系，這是理解這個結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵．

圖1 數(shù)學學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)

2.1 數(shù)學思維素養(yǎng)及要素關(guān)系

數(shù)學是研究數(shù)學關(guān)系和空間形式的科學，因此從數(shù)量關(guān)系和空間形式來認識、刻畫事物的特征，反映和表達事物的關(guān)系及變化規(guī)律就是具有數(shù)學特征的思維活動．于是，數(shù)學思維素養(yǎng)的內(nèi)涵就是指人能夠從數(shù)量關(guān)系和空間形式來感知和認識事物的特征、關(guān)系和變化規(guī)律，形成數(shù)學概念與命題，并用數(shù)學概念和命題來表達事物的特征、關(guān)系和變化規(guī)律的思維特征．數(shù)學思維素養(yǎng)集中表現(xiàn)為兩種數(shù)學核心素養(yǎng)：直觀想象和數(shù)學抽象．

《數(shù)學課標（2017）》指出：直觀想象是指借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．可見，直觀想象體現(xiàn)了形象化特征的數(shù)學思維．事實上，具有這種特征的思維形式不僅僅存在于幾何學習中，而是存在于普遍性的數(shù)學思維中，即數(shù)學直觀．張廣祥等區(qū)分了幾何直觀和代數(shù)直觀，并且將后者稱為“模式直觀”，并認為模式直觀是培養(yǎng)代數(shù)想象力的基礎(chǔ)[3]．模式直觀是人們對事物之間邏輯關(guān)系的一種比較直接、形象的推斷和理解．除了數(shù)學直觀外，數(shù)學抽象是數(shù)學活動中普遍存在的另一種思維形式．史寧中指出：數(shù)學的研究源于現(xiàn)實世界的抽象，通過抽象得到了數(shù)學的研究對象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等數(shù)學方法，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律[1]．因此，《數(shù)學課標（2017）》把數(shù)學抽象素養(yǎng)定義為：通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)．不僅表現(xiàn)為通過抽象得到數(shù)學概念與關(guān)系，數(shù)學規(guī)律與結(jié)構(gòu)，而且還表現(xiàn)為用數(shù)學語言予以表征．與直觀相對，數(shù)學抽象體現(xiàn)了從形式化和結(jié)構(gòu)化角度認識事物的數(shù)學思維特征．

直觀想象與數(shù)學抽象有相對立的一面，但也是統(tǒng)一的．“直觀想象是實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎(chǔ)”[1]，即在對數(shù)學對象進行數(shù)學抽象之前，往往通過直觀想象的方式來感知和理解事物及其規(guī)律，然后通過數(shù)學抽象來形成數(shù)學概念、數(shù)學法則或命題．另一方面，通過數(shù)學抽象人們又能更加深刻地把握和理解數(shù)學概念和規(guī)律的實質(zhì)．比如，通過對具體函數(shù)特征的歸納和概括，并利用集合語言來描述更加抽象的函數(shù)概念，實質(zhì)上是更深刻地理解了函數(shù)概念的實質(zhì)．可以說，直觀想象是數(shù)學抽象的基礎(chǔ)，數(shù)學抽象是直觀想象的發(fā)展．因此，數(shù)學直觀與數(shù)學抽象這兩大核心素養(yǎng)是辯證統(tǒng)一地存在于認識事物和數(shù)學對象的學習過程中，是數(shù)學思維發(fā)展過程中的兩種最基本的素養(yǎng)．

2.2 數(shù)學方法素養(yǎng)及要素關(guān)系

從歷史上看，算法與演繹是數(shù)學發(fā)展的兩種基本方法．李文林認為數(shù)學發(fā)展的總體過程“呈現(xiàn)出算法傾向與演繹傾向交替繁榮的螺旋式上升過程”[4]．數(shù)學運算是根植于數(shù)學發(fā)展過程中“算法”傳統(tǒng)，而邏輯推理則體現(xiàn)了“演繹”傳統(tǒng)，它們都是數(shù)學運演的基本范式．因此，數(shù)學運算和邏輯推理作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)有著深厚的數(shù)學傳統(tǒng)基礎(chǔ)，也有著鮮明的數(shù)學方法特征．于是從這個角度來定義數(shù)學方法素養(yǎng)：指具有建構(gòu)和組織數(shù)學對象及其結(jié)構(gòu)，運用數(shù)學知識來解決問題的數(shù)學范式的思維特征．基本的數(shù)學范式有兩種：一是按照數(shù)學公式法則和程序進行運算，即數(shù)學運算；二是按照數(shù)學命題之間邏輯關(guān)系進行推理，即邏輯推理．

《數(shù)學課標（2017）》指出：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決問題的素養(yǎng)．從數(shù)學學習過程來看，這一素養(yǎng)的形成常常經(jīng)歷了理解運算對象、形成運算法則、理解算理、選擇和設計算法（運算方法與程序）、求得運算結(jié)果的全過程．在高級階段需要理解數(shù)學運算中的程序化思想，以及構(gòu)造運算程序，利用計算機來解決問題的能力．這一過程主要體現(xiàn)出歸納思維和算法思維．與之相對，邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)原理或已證明的命題推出其它命題的素養(yǎng)．在學習過程中，邏輯推理素養(yǎng)主要經(jīng)歷：發(fā)現(xiàn)和理解事物中的數(shù)量關(guān)系或圖形性質(zhì)，建立數(shù)量關(guān)系或圖形性質(zhì)之間的因果關(guān)聯(lián)，形成數(shù)學命題，對數(shù)學命題按照一定的推理方法進行說理或論證，直至用嚴謹?shù)臄?shù)學語言和推理規(guī)范對數(shù)學命題進行證明的全過程．在高級階段需要理解邏輯推理中的公理化思想，理解通過公理系統(tǒng)來建構(gòu)數(shù)學體系的數(shù)學方法范式．這一過程主要體現(xiàn)出演繹思維和推理思維．因此，這兩種素養(yǎng)有相對的一面，但同時也是統(tǒng)一的．從總體來看，它們都可以看成是基本的數(shù)學運演的方法范式，一種是按照公式法則來演算結(jié)果，一種是按照邏輯來推導數(shù)學結(jié)論（數(shù)學命題）．當然，在教學實踐中，這兩種素養(yǎng)的發(fā)展有著更為豐富的內(nèi)涵，相互為用，共同體現(xiàn)在建構(gòu)數(shù)學和解決問題的數(shù)學活動中．這兩種素養(yǎng)實質(zhì)是在數(shù)學思維素養(yǎng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，與數(shù)學知識直接關(guān)聯(lián)的，突出表現(xiàn)一個人數(shù)學能力的素養(yǎng)．

2.3 數(shù)學工具素養(yǎng)及要素關(guān)系

前面兩個層面的素養(yǎng)主要體現(xiàn)在數(shù)學對象的形成以及數(shù)學的推演，更多是指向數(shù)學學科內(nèi)部的素養(yǎng)，也是傳統(tǒng)數(shù)學教學中關(guān)注較多的素養(yǎng)．但是核心素養(yǎng)的根本理念是從學科指向外部的，即發(fā)展學生的核心素養(yǎng)最終的目的是適應個人和社會的發(fā)展的需要．中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)定義為“指學生應具備的，能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力[5]”．這既是中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵，也必然是學科核心素養(yǎng)發(fā)展的方向．對數(shù)學學科核心素養(yǎng)來說，應該最終指向?qū)W生如何運用數(shù)學來解決個人和社會所面臨問題的需求．從這個角度來看，發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教和學應跳出數(shù)學，把數(shù)學的學習和能力的培養(yǎng)指向以數(shù)學為工具來解決問題的素養(yǎng)發(fā)展方向．為此，把數(shù)學工具素養(yǎng)定義為：能運用數(shù)學知識與方法針對個人與社會發(fā)展需要的，基于情境來發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題所必備的應用意識、創(chuàng)新觀念以及相應的數(shù)學應用和創(chuàng)新能力的綜合特征．簡單地說，數(shù)學工具素養(yǎng)就是以數(shù)學知識和方法為工具來解決問題的素養(yǎng)．數(shù)學工具素養(yǎng)集中表現(xiàn)為兩大數(shù)學學科核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模．

《數(shù)學課標（2017）》指出：數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)．數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科學、技術(shù)、工程和現(xiàn)代化生活的各個方面．可見，《數(shù)學課標（2017）》把數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)有著很深厚的統(tǒng)計學和時代背景，其本意是為了發(fā)展當今信息時代背景下學生的數(shù)據(jù)意識、數(shù)據(jù)分析和應用能力．《數(shù)學課標（2017）》中關(guān)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的內(nèi)容主要包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、構(gòu)建模型、數(shù)據(jù)推斷、獲得結(jié)論．因此，數(shù)據(jù)分析可以看成統(tǒng)計的數(shù)學工具，與數(shù)學建模有著密切的聯(lián)系．《數(shù)學課標（2017）》對數(shù)學建模素養(yǎng)定義為：對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)．數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，是數(shù)學與外部世界聯(lián)系的橋梁．可見，數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模這兩種素養(yǎng)都是指向了解決問題的特征，特別是解決現(xiàn)實問題的特征．它們不僅反映了學生的思維素養(yǎng)和方法素養(yǎng)水平，而且更多地反映了應用數(shù)學知識和方法創(chuàng)造性解決現(xiàn)實問題的意識、觀念與能力，具有突出的實踐性．因此，這兩種素養(yǎng)具有顯著的工具素養(yǎng)的特征．

3 數(shù)學學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的教學意義

學生素養(yǎng)的發(fā)展不是空中建樓閣，而是要落實到學校的具體的課程教學實踐活動中．因此，學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展的關(guān)鍵在于在具體的數(shù)學教學活動中如何聚焦數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展．盡管一個數(shù)學活動中常常包含著多種核心素養(yǎng)的發(fā)展，但是核心素養(yǎng)的各層面并不是同步發(fā)展的，不同教學活動發(fā)展核心素養(yǎng)的側(cè)重點有所不同．這也是建立數(shù)學學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的根本目的，即用以提高發(fā)展核心素養(yǎng)的有效性．

《數(shù)學課標（2017）》在必修課程和選擇性必修課程的內(nèi)容體系都是以“數(shù)學三大主線+數(shù)學實踐性活動”來設置的，課程結(jié)構(gòu)與義務教育階段的四大課程內(nèi)容領(lǐng)域結(jié)構(gòu)基本一致．因此，從總體來說，數(shù)學教學實踐仍然是按照數(shù)學課程傳統(tǒng)的學科領(lǐng)域知識內(nèi)容體系以及實踐性活動的專題來展開．學科領(lǐng)域知識內(nèi)容的教學主要表現(xiàn)為數(shù)學知識教學和數(shù)學解題教學兩種主要的教學活動，而以數(shù)學建模與數(shù)學探究為載體的數(shù)學實踐性應用性主題則表現(xiàn)為問題解決教學活動．因此，下面探討這3種主要的教學活動形式所聚焦的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展．

3.1 在數(shù)學知識教學中聚焦發(fā)展學生數(shù)學思維素養(yǎng)

雖然數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標是超越具體數(shù)學內(nèi)容的教學目標，但數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展終歸是建立在數(shù)學知識的學習與理解之上．因此，無論是傳統(tǒng)的“雙基”，還是新課程之后的“四基”，知識的教學都是最基礎(chǔ)的教學活動．這里的知識教學主要是指針對數(shù)學概念、定理和法則，甚至一些具體的數(shù)學思想方法（如“函數(shù)”的思想、配方法）等以及由此構(gòu)成的數(shù)學知識系統(tǒng)的認識和理解的教學．很顯然，知識教學既是基礎(chǔ)層面的教學，又是最根本的教學．數(shù)學知識教學是數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的前提和基礎(chǔ)，是傳統(tǒng)數(shù)學教學的重要組成部分．但在應試教育背景下常常被異化，比如不強調(diào)數(shù)學知識產(chǎn)生的來源，僅僅記住概念或法則即進入解題訓練等等．這樣的教學不僅不利于數(shù)學知識的理解與掌握，也沒有充分挖掘數(shù)學知識教學的教育功能．從發(fā)展學生核心素養(yǎng)的視角來看，知識教學對發(fā)展學生核心素養(yǎng)有什么作用呢？

中小學階段的數(shù)學知識教學的主要教學目標是知識的理解．喻平把知識理解作為評價核心素養(yǎng)的一級水平[6]．知識理解表現(xiàn)在3個方面：一是了解知識的來源；二是理解知識的內(nèi)涵與關(guān)系以及相應的數(shù)學方法；三是對所理解的知識的直接應用．因此，數(shù)學知識教學常常體現(xiàn)為3個基本的環(huán)節(jié)．第一，認識數(shù)學知識的來源（或背景）．數(shù)學知識來源常常包括現(xiàn)實經(jīng)驗來源和學生的認知來源，即根據(jù)學生已有知識和經(jīng)驗來建構(gòu)學生知識理解的認知基礎(chǔ)，即所謂奧蘇貝爾的“先行組織者”，體現(xiàn)出蘇聯(lián)著名數(shù)學教育家斯托利亞爾數(shù)學活動的第一個環(huán)節(jié)“經(jīng)驗材料數(shù)學組織”[7]過程．這一過程常常是伴隨著直觀感知、模型想象的思維活動過程，指向了數(shù)學學科核心素養(yǎng)“直觀想象”的發(fā)展．第二，數(shù)學知識對象的抽象．知識教學的最終目的是要獲得抽象數(shù)學對象的認知和理解，因此在數(shù)學對象原型（或模型）直觀感知的基礎(chǔ)上要抽象和概括出數(shù)學對象的特征、要素和關(guān)系，以及數(shù)學表示方法，從而建立數(shù)學對象的認識．這一過程指向了數(shù)學學科核心素養(yǎng)“數(shù)學抽象”的發(fā)展．第三，數(shù)學知識的應用．這一過程的應用不是在復雜情境的綜合應用，而是針對抽象數(shù)學對象的原型（或模型）的直接應用，使抽象數(shù)學對象與直觀的經(jīng)驗的原型更加緊密地整合起來，形成完整的數(shù)學對象模型，從而建立起對數(shù)學對象完整的認識和理解．正如希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》第一版的扉頁引用康德的話：人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結(jié)束[8]．從而，數(shù)學知識教學中突出地體現(xiàn)了數(shù)學直觀和數(shù)學抽象之間辯證的綜合發(fā)展過程．

具體來看，3種主要不同的數(shù)學知識——概念、法則和命題，體現(xiàn)出不同的認識過程．對于幾何概念來說，有的是先有對圖形形狀的感知（如三角形），有的是先有對不同圖形模型的辨析（如圓周角），然后才建立抽象的幾何概念；對于代數(shù)概念來說，常常要先對具體的代數(shù)對象的直觀分類和辨析，形成分類模式，然后才形成代數(shù)概念．因此，概念的認識是在對概念對象的圖形感知或模式識別的直觀認知基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學概念的過程．對于數(shù)學法則來說，有的是對具體算式中所蘊含的模式的直觀認知，并概括出相應的法則的過程；有的是通過對數(shù)學關(guān)系的規(guī)律的直接感知來獲得一般關(guān)系式；有的是把特殊對象的法則規(guī)律概括為一般化法則．對于幾何命題，首先是對幾何圖形中關(guān)系的直觀感知，然后再概括成命題．這是對數(shù)學對象中的關(guān)系特征的感知才抽象成數(shù)學命題的．從這些數(shù)學知識的學習過程來看，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學抽象的思維活動過程．

總之，數(shù)學知識的教學，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學抽象的認知活動，也體現(xiàn)了數(shù)學思維素養(yǎng)的發(fā)展過程．因此，這一層面的教學活動，應該聚焦學生的數(shù)學思維素養(yǎng)的發(fā)展．

3.2 在數(shù)學解題教學中聚焦發(fā)展學生數(shù)學方法素養(yǎng)

解題教學是中國數(shù)學教學的傳統(tǒng)，并在中國教學實踐中普遍存在．一般來說，教授完數(shù)學知識之后，教師往往以例題、習題等形式展開解題教學，復習課也屬于解題教學．雖然在應試教育背景下解題教學常常被異化為題海戰(zhàn)術(shù)，但是解題對于數(shù)學學習的重要性是毋容置疑的．正如鄭毓信稱之為“中國數(shù)學教育的‘問題特色’”，提出以“核心問題”的教學來促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，以“問題引領(lǐng)”和“問題驅(qū)動”來促進學生的數(shù)學學習[9]．不過中國數(shù)學教學實踐中的“問題”并不是西方“問題解決”中所指的“開放性問題”，更主要的是基于課程序列中數(shù)學知識的理解和應用而設計的習題類數(shù)學問題．因此，中國的解題教學在一定程度上可以看成是知識教學的延伸和拓展．解題教學的主要目的在于鞏固和加深數(shù)學知識的理解、數(shù)學技能的訓練、思想方法的掌握，以及數(shù)學能力的培養(yǎng)．

在解題教學中，解答數(shù)學問題的基本范式就是數(shù)學運算和數(shù)學推理．相對于知識教學，解題教學主要是針對數(shù)學知識和數(shù)學方法的運用．與知識教學不同，解題教學主要是按照數(shù)學范式進行操作性演算與演化，即最終得到解答的結(jié)果．通過解題教學主要目的是促進學生獲得解決數(shù)學問題的經(jīng)驗與策略，學習數(shù)學方法和數(shù)學思維方式．

怎樣在解題教學中發(fā)展學生的數(shù)學方法素養(yǎng)呢？數(shù)學運算是數(shù)學解題活動中最為普遍的方式，在數(shù)學教學實踐中基于法則展開數(shù)學運算有著豐富的內(nèi)涵和層次．《數(shù)學課標（2017）》強調(diào)了數(shù)學運算素養(yǎng)要明晰運算對象和以運算法則為依據(jù)．從數(shù)學運算的對象來看，中小學數(shù)學運算的對象主要體現(xiàn)在不同抽象層次的數(shù)學對象，比如，數(shù)的運算、代數(shù)式的運算、方程與函數(shù)運算、向量運算和三角形運算以及解析幾何中的運算等．每一種運算都是基于明確的對象和特定的運算法則．從這一角度來看，數(shù)學運算素養(yǎng)首先要明確運算對象以及相應的法則．在教學實踐中，常常是通過運算對象的變式以及不同對象之間的關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)換來提高運算素養(yǎng)的水平，對于運算法則的深入理解則表現(xiàn)在算理的認識，需要一定邏輯推理能力．其次，從數(shù)學運算操作中的思維水平來看，也表現(xiàn)出不同層次，比如，根據(jù)公式法則進行運算，強調(diào)對象的準確性，運算程序的規(guī)范性，這是最基礎(chǔ)的層次，屬于數(shù)學技能層面；根據(jù)數(shù)學概念性質(zhì)進行運算，涉及對相關(guān)概念的理解，屬于數(shù)學理解與數(shù)學方法的綜合，有一定的數(shù)學概念理解的要求，但算法的創(chuàng)造性要求并不高；根據(jù)數(shù)學方法進行運算，比如利用恒等變換方法、配方法、換元法、構(gòu)造函數(shù)等進行運算，這是針對一些綜合多種對象與數(shù)學方法進行運算問題，數(shù)學思維層次要求比較高，它需要綜合地根據(jù)問題中的數(shù)學對象特點和規(guī)律，選取一定的數(shù)學方法，甚至創(chuàng)造一定的算法，經(jīng)過一定的邏輯推理才能完成問題的解決．

推理是一種基本的數(shù)學思想[8]，也是數(shù)學方法，邏輯推理就是數(shù)學命題關(guān)系推演的基本方法．數(shù)學解題本質(zhì)上都是邏輯推理，即建立條件和結(jié)論之間的必然關(guān)系．形式演繹推理主要體現(xiàn)在平面幾何的命題證明中，即在歐氏幾何公理體系框架下展開邏輯推理，這是學生初步系統(tǒng)學習數(shù)學推理的基本途徑．幾何命題反映了圖形之間的關(guān)系．在命題教學時，要學會觀察圖形特征，提出命題，并用幾何語言來表述問題，然后通過邏輯推理來證明命題．推理方法的多樣性，不僅從不同角度反映了圖形結(jié)構(gòu)，而且體現(xiàn)了數(shù)學思維的靈活性和創(chuàng)新性．這些都是幾何命題教學中邏輯推理素養(yǎng)的內(nèi)涵．在代數(shù)解題中，按照法則進行數(shù)學運算，本質(zhì)上也是基于算理的推理過程，而構(gòu)造算法則類似于幾何推理方法的創(chuàng)造性．在統(tǒng)計概念學習過程中，基于數(shù)據(jù)分析進行統(tǒng)計推斷，本質(zhì)上也是一種邏輯推理的思維方法，其邏輯依據(jù)則變成了統(tǒng)計規(guī)律（或定律）．因此，在各個不同的數(shù)學領(lǐng)域的數(shù)學解題教學活動中，都有著豐富的邏輯推理的內(nèi)容，支持著學生邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展．

總之，數(shù)學解題教學中主要是運用數(shù)學運算和邏輯推理來解決數(shù)學問題，突出體現(xiàn)了數(shù)學方法范式．在數(shù)學解題教學活動中，學生通過數(shù)學解題不僅突出訓練了數(shù)學運算與邏輯推理兩種素養(yǎng)，而且加深了學生對數(shù)學對象和關(guān)系的理解，掌握了數(shù)學方法，形成有秩序合乎邏輯地認識和表達的理性精神．因此，這一層面的教學活動，應該聚焦學生的數(shù)學方法素養(yǎng)的發(fā)展．

3.3 在問題解決教學中聚焦發(fā)展學生數(shù)學工具素養(yǎng)

如前所述，數(shù)學工具素養(yǎng)是針對數(shù)學應用的素養(yǎng)，是一種從數(shù)學內(nèi)部向數(shù)學外部遷移的素養(yǎng)，也是在數(shù)學外部以數(shù)學知識和方法為工具來解決問題的素養(yǎng)．中國傳統(tǒng)數(shù)學教育中學生數(shù)學工具素養(yǎng)方面的發(fā)展是不足的．這是因為數(shù)學學習和教學往往是以考試為導向，而考試主要是數(shù)學內(nèi)部的問題，因此學生學習很多數(shù)學知識與方法，能夠很好地解決數(shù)學問題，卻常常不知道在實際問題情境中如何運用數(shù)學知識和方法進行問題解決．研究核心素養(yǎng)的國際權(quán)威機構(gòu)世界經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）將素養(yǎng)定義為：運用知識、技能和態(tài)度滿足特定情境中復雜需要的能力[10]．它所組織的國際學生評價項目（PISA）也主要測試學生在現(xiàn)實情境下運用數(shù)學解決實際問題的表現(xiàn)．因此，這里的問題解決主要是指基于綜合情境（包括現(xiàn)實情境和復雜數(shù)學情境）中所展開的提出問題、分析問題、建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識和方法來解決問題，并能從問題情境中的現(xiàn)象或規(guī)律進行解釋或推斷，以及對問題結(jié)果或方法展開拓展等活動．問題解決教學活動主要表現(xiàn)課程標準中的數(shù)學建模與數(shù)學探究活動，同時把基于現(xiàn)實情境中運用數(shù)據(jù)分析方法來處理概率統(tǒng)計問題也看成問題解決活動．問題解決教學活動在教學實踐中表現(xiàn)在3個方面．

第一，情境與問題解決．問題解決中的“問題”常常是在情境中產(chǎn)生的．文[11]論述了情境與6大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，表明情境與數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展有著密切關(guān)系．新課程改革后，中國的數(shù)學教學突出了情境性，在綜合實踐課程領(lǐng)域，也設計了情境性的數(shù)學問題．這些情境雖然不是真正意義上問題解決中的情境，但從這些情境中觀察和分析數(shù)學信息，用數(shù)學方式來表示情境中的現(xiàn)象與規(guī)律，甚至形成數(shù)學對象，以及采用數(shù)學知識和方法來解決問題等教學活動，都隱含著數(shù)學知識和方法應用的基本特點，也就體現(xiàn)了問題解決的特點．同時通過情境，感受和領(lǐng)會數(shù)學知識與情境之間的關(guān)系，從而潛在地形成了數(shù)學與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學觀，促進數(shù)學應用意識和能力的發(fā)展．

第二，數(shù)學建模與問題解決．《數(shù)學課標（2017）》設置了數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動的內(nèi)容，使得發(fā)展學生工具素養(yǎng)顯得更加突出．數(shù)學建模是基于數(shù)學思維運用模型解決實際問題的綜合實踐活動，一般包括如下過程：首先，構(gòu)建基于現(xiàn)實情境的數(shù)學問題．其次，通過對現(xiàn)實情境的要素與對象的數(shù)學關(guān)系與結(jié)構(gòu)進行分析，建構(gòu)相應的數(shù)學模型．再次，有的數(shù)學模型可能只是一個形式模型，還需要確定具體的參數(shù)，常常需要通過調(diào)查統(tǒng)計獲取數(shù)據(jù)，通過計算獲得數(shù)學模型參數(shù)．這樣才建立起了描述情境問題的具體的數(shù)學模型，利用這個模型才能求解結(jié)果．最后，將根據(jù)模型求得的結(jié)果放入到原來情境中去檢驗，看結(jié)果是否符合實際的要求和條件，是否可以解釋原情境中的現(xiàn)象與規(guī)律．當結(jié)果與實際情境有很大差異時，還需要改進模型，以便求出符合實際的結(jié)果．數(shù)學建模類的實際問題解決活動，不僅反映了學生綜合地運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的創(chuàng)新能力，而且也讓學生體會了數(shù)學與情境問題之間的關(guān)系，培養(yǎng)了數(shù)學應用意識與創(chuàng)新觀念，最終發(fā)展了學生知識、觀念和能力相互整合的數(shù)學工具素養(yǎng)．

第三，數(shù)學探究與問題解決．數(shù)學探究是《數(shù)學課標（2017）》中另一類問題解決課程，是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動．課標指出[2]：數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜想合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論．因此數(shù)學探究性活動主要是在綜合的數(shù)學情境中展開的數(shù)學創(chuàng)造性的探究活動，體現(xiàn)了學生整合數(shù)學知識與方法，數(shù)學運算與推理，關(guān)系推演與結(jié)構(gòu)變化等高層次數(shù)學思維能力，是數(shù)學素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，也可以看成是一種高階的工具素養(yǎng)．

值得注意的是，上述所討論的3種教學活動分別聚焦了不同層面的數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展．但實際上，每一種教學實踐活動并不意味著僅僅只有一個層面的素養(yǎng)發(fā)展，而是3個層面的素養(yǎng)可能同時發(fā)展．因此，將圖1中的核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)圖稍微變化一下來顯示3種教學活動與數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)系圖（圖2）．

圖2 教學活動與數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展關(guān)系

另外，以上3種教學形式不是孤立存在的教學實踐，而是統(tǒng)一體現(xiàn)在完整的教學活動過程中．通常是首先完成知識教學，通過直觀想象和數(shù)學抽象過程，建立了學生對數(shù)學知識的基本理解，突出培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)；然后通過解題教學既鞏固知識的理解，又學習數(shù)學運算和邏輯推理方法，突出發(fā)展數(shù)學能力；最后基于問題解決的數(shù)學知識和方法應用過程，通過數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模等活動，體會以數(shù)學為工具應用于解決問題的過程，認識數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)系，突出發(fā)展數(shù)學應用意識和創(chuàng)新觀念．總體來看，數(shù)學素養(yǎng)正是隨著教學活動的推進沿著圖2對角線方向不斷發(fā)展．

[1] 史寧中．高中數(shù)學課程標準修訂中的關(guān)鍵問題[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（1）：8-10．

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：4-8，35．

[3] 張廣祥，張奠宙．代數(shù)教學中的模式直觀[J]．數(shù)學教育學報，2006，15（1）：1-4．

[4] 李文林．數(shù)學的進化——東西方數(shù)學史比較研究[M]．北京：科學出版社，2005：4．

[5] 核心素養(yǎng)研究課題組．中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)[J]．中國教育學刊，2016（10）：1-3．

[6] 喻平．數(shù)學學科核心素養(yǎng)評價的一個框架[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（2）：19-23．

[7] 斯托利亞爾．數(shù)學教育學[M]．丁爾陞，鐘善基，王玉閣，等譯．北京：人民教育出版社，1984：116．

[8] 史寧中．漫談數(shù)學的基本思想[J]．中國大學教學，2011（7）：9-11．

[9] 鄭毓信．中國數(shù)學教育的“問題特色”[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（1）：1-7．

[10]? OECD. The definition and selection of key competencies: executive summary [EB/OL]. (2018-12-18) [2005-05-27]. http://www.oecd.org/pisa/35070367.pdf.

[11] 常磊，鮑建生．情境視角下的數(shù)學與核心素養(yǎng)[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（2）：24-28．

The Structure of Mathematical Core Competencies and Its Teaching Significance

NING Rui1, 2, LI Chang-yong2, LUO Zong-xu3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2. School of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610068, China; 3. The Experimental School of Chengdu Shuangliu Middle School, Sichuan Chengdu 610200, China)

This paper proposed a structural model of mathematical core competencies focusing on the definition of mathematical core competencies and six major elements put forward in Mathematics Curriculum Standard for Senior High Schools (2017 Edition). The six core competencies were divided into three groups at three ascending levels, i.e., mathematical thinking literacy (including intuitive imagination and mathematical abstraction), mathematical method literacy (including mathematical operations and logical reasoning), and mathematical tool literacy (including data analysis and mathematical modeling).This reflected the development of competencies of mathematics from mathematical knowledge learning to applications of mathematics. The thinking quality, key abilities, and mathematical affection (including emotions, attitudes, and values) in the definition of mathematical core competencies were regarded as three components throughout the three levels. Thus a structural model about mathematical core competencies was formed. On the basis of this structural model, three types of teaching were further discussed, including knowledge teaching, teaching for solving mathematical problems, and teaching for problem solving, which corresponded to the focus of the development of mathematical core competence at different levels.

mathematical core competencies; structural model; thinking literacy; method literacy; tool literacy

2019–01–21

四川省教育廳項目——核心素養(yǎng)視角下發(fā)展學生數(shù)學思維品質(zhì)之教學研究（18SA0203）

寧銳（1972—），男，四川儀隴人，講師，博士生，主要從事教師教育與數(shù)學教學研究．

G40–03

A

1004–9894（2019）02–0024–06

寧銳，李昌勇，羅宗緒．數(shù)學學科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)及其教學意義[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（2）：24-29．

[責任編校：陳雋、陳漢君]