楊雪鋒， 孟慶國， 李 威， 路 恩， 盛連超， 董 事

(中國礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 徐州， 221116)

引 言

對于被動隔振技術(shù)的研究具有非常重大的意義，它在精密工程、超精密工程[29]、車用發(fā)動機(jī)[30]、船舶[31-32]領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用?；谡?fù)剛度并聯(lián)的隔振原理，筆者采用拉伸彈簧作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與線性正剛度彈簧并聯(lián)，設(shè)計(jì)出一種新型的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，它對輕型機(jī)器人，特別對足式機(jī)器人低頻振動具有較好隔振性能。運(yùn)用靜力學(xué)特性，分析了系統(tǒng)在靜力平衡位置附近的準(zhǔn)零剛度特性；通過動力學(xué)特性研究，建立了系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵(lì)下的非線性動力學(xué)方程，應(yīng)用諧波平衡得到系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率;通過數(shù)值仿真觀察有、無負(fù)剛度情況下隔振系統(tǒng)的輸入、輸出曲線。

1 隔振器三維建模

1.1 三維建模和受力分析

圖1(a)為筆者提出具有準(zhǔn)零剛度特性的隔振系統(tǒng)。主要包括：①底座、②支撐柱、③滑板、④連桿、⑤載物臺、⑥垂直彈簧、⑦滑塊及⑧拉伸彈簧。在滑塊上安裝兩個(gè)圓柱銷，滑塊、連桿和水平彈簧通過圓柱銷連接。垂直彈簧的兩端分別安裝在底座和載物臺的彈簧安裝孔中。在初始位置豎直壓力等于零，載物臺存在一個(gè)初始高度，當(dāng)施加載荷后，載物臺同時(shí)受到垂直彈簧與拉伸彈簧的作用力。對于此準(zhǔn)零剛度隔振機(jī)構(gòu)，垂直彈簧主要用來承載靜態(tài)質(zhì)量，而圖中對稱的兩個(gè)水平拉伸彈簧即為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，可以和垂直正剛度彈簧的剛度相抵消。圖(b)則為三維圖簡化的受力分析，其中：F為受力；x為垂直方向位移；θ為連桿與水平線的夾角；L0為拉簧1/2的長度；h0為初始高度；Ks拉簧剛度；L為旋轉(zhuǎn)桿長度。

圖1 隔振三維模型和受力分析Fig.1 Isolation model and stress analysis

1.2 負(fù)剛度機(jī)構(gòu)

如果不考慮垂直彈簧，負(fù)剛度機(jī)構(gòu)一側(cè)的受力分析如圖1(b)所示。載物臺承載一定質(zhì)量的物體后，根據(jù)幾何關(guān)系，取其中一個(gè)拉伸彈簧的1/2部分作受力分析，求出在垂直方向上力F的表達(dá)式為

F=4Fstanθ

(1)

其中：Fs=Ksλ為拉伸彈簧1/2部分的水平力；λ為拉伸彈簧1/2部分被拉伸的距離。

在任意位置，夾角θ的表達(dá)式為

(2)

其中

將式(2)～(4)帶入式(1)，此負(fù)剛度的回復(fù)力為

(5)

對式(5)進(jìn)行無量綱化處理，即方程兩側(cè)同時(shí)除以KsL0得到

(6)

式(6)即為本隔振系統(tǒng)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的無量綱力-位移的表達(dá)式，由此可以得到它的曲線圖，如圖2(a)所示。參數(shù)m的不同取值對此機(jī)構(gòu)是否存在負(fù)剛度特性有一定影響，當(dāng)m=1時(shí)，無量綱力總是隨

圖2 無量綱力-位移圖Fig.2 Dimensionless force displacement diagram

綜上，若忽略豎直彈簧的影響，整體機(jī)構(gòu)的回復(fù)力近似一條三階曲線，如圖2所示，回復(fù)力有可能小于零，而當(dāng)回復(fù)力小于零時(shí)，如圖2(b)所示，機(jī)構(gòu)剛度大于零或小于零，若剛度小于零，就失去了隔振的意義，也達(dá)不到準(zhǔn)零剛度隔振的效果。因此，添加豎直彈簧是必要的。

2 靜力學(xué)特性

針對足式機(jī)器人行走時(shí)，來自地面的低頻振動對其工作性能的影響，提出負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與剛度為Kv的線性正剛度彈簧并聯(lián)，構(gòu)造出一種新型的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人足部對低頻振動的衰減，設(shè)計(jì)如圖3所示。

圖3 機(jī)器人準(zhǔn)零剛度隔振設(shè)計(jì)框圖與整體示意圖Fig.3 Block diagram of robot quasi-zero-stiffness vibration isolation and whole sketch map

若將機(jī)器人足部抽離出來，主要分析準(zhǔn)零剛度隔振器。假設(shè)在豎直力F的作用下，

由圖1可知此

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的無量綱力-位移關(guān)系式表示為

(7)

(8)

其中:α=Ks/Kv為剛度比。

對式(8)進(jìn)行求導(dǎo)，得到系統(tǒng)無量綱剛度-位移的關(guān)系

(9)

(10)

(11)

結(jié)合式(9)～(11)可以得出系統(tǒng)在平衡位置處不同參數(shù)值的準(zhǔn)零剛度特性，如圖6所示。根據(jù)圖6可知，在m不斷增大的情況下，則需要更小的剛度比α使其在平衡位置保持零剛度特性。

圖4 不同m值下的剛度曲線 圖5 不同剛度比下的剛度曲線 圖6 參數(shù)不同時(shí)無量綱位移-剛度 Fig.4 Stiffness curves under Fig5 Stiffness curves under different Fig．6 Non dimensional displacement- different m values stiffness ratios stiffness for parameter

3 動力學(xué)特性

3.1 回復(fù)力近似替換

為方便研究系統(tǒng)動力學(xué)特性，需對其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡化，即系統(tǒng)回復(fù)力可以用一個(gè)三階表達(dá)式近似替換。通過泰勒展開式并忽略高次項(xiàng)，來近似替換回復(fù)力。

(12)

所以，無量綱力-位移近似關(guān)系式為

(13)

(14)

圖7 精確力和近似力比較 圖8 精確剛度和近似剛度比較Fig．7 Precision force and approximate force comparison Fig.8 Comparison of exact stiffness and approximate stiffness

3.2 系統(tǒng)動力學(xué)建模

當(dāng)承載被隔振物體后，剛好u=0，達(dá)到靜力平衡位置，此時(shí)系統(tǒng)的剛度等于零。由式(8)知

(15)

對該系統(tǒng)施加兩種諧波激勵(lì)，分別是對隔振物體進(jìn)行諧波力激勵(lì)Fcos(ωt)，對基座施加諧波位移激勵(lì)Zcos(ωt)并建立系統(tǒng)的非線性運(yùn)動微分方程

其中：y=u-z為諧波位移激勵(lì)下被隔振物體與基座之間的相對位移；F1和F2為諧波力激勵(lì)與諧波位移激勵(lì)下的系統(tǒng)回復(fù)力。

則

(18)

(19)

(20)

(21)

為方便表達(dá)，將式(20)，(21)統(tǒng)一化成

(22)

(23)

由式(23)可以解出在諧波力和諧波位移激勵(lì)下的關(guān)于Ω的兩個(gè)解，其表達(dá)式為

(24)

(25)

(26)

(27)

設(shè)fe，fd為彈性力和阻尼力，通過準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)傳遞到基礎(chǔ)上的力為

(28)

它的力傳遞率為

/F

(29)

根據(jù)以上分析，可以得到不同的激勵(lì)幅值和參數(shù)對隔振系統(tǒng)的影響，如圖9、圖10所示。

圖9 力傳遞率Fig．9 Force transfer rate

圖10 位移傳遞率Fig．10 Displacement transfer rate

圖9為力傳遞率曲線圖，綠色曲線表示非穩(wěn)定解，(a)(b)圖分別為激勵(lì)幅值與阻尼比變化時(shí)對力傳遞率的影響。由圖9(a)知，隨著激勵(lì)幅值的遞增，力傳遞率也是遞增的，當(dāng)激勵(lì)頻率大于一定值后，力傳遞率會迅速下降，而且，適當(dāng)提高激勵(lì)幅值會使系統(tǒng)的隔振起始率降低。由圖9(b)知，改變阻尼比并不能降低隔振系統(tǒng)的隔振起始率，隨著阻尼比的不斷增大，力傳遞率也隨之變大，這與理論符合。

由圖10(a)和(b)可以看出，其中，綠色曲線也為非穩(wěn)定解，無論是激勵(lì)幅值還是阻尼比對位移傳遞率的影響基本相同，該系統(tǒng)的激勵(lì)幅值和阻尼比越小，隔振的頻率范圍越大，對被隔振物體的損害變小，系統(tǒng)的隔振性能也越好。

4 實(shí) 驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)的激勵(lì)控制裝置主要包括振動控制器(SCS-2 Shaker Control System)、功率放大器(Power Amplifier BAA 120)以及上位機(jī)(電腦)。在圖11中，連接線除了連接振動控制器和功率放大器外，還將電腦與振動控制器相連，通過電腦安裝的VibExpert軟件，將在軟件VibExpert里輸入的激勵(lì)頻率和激振幅值通過功率放大器的放大后，作為準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)里激振器(S 51110)的輸入信號，最終產(chǎn)生輸出振幅。

圖11 準(zhǔn)零剛度隔振實(shí)驗(yàn)的激勵(lì)控制裝置Fig.11 Excitation control device of quasi zero stiffness vibration isolation experiment

準(zhǔn)零剛度隔振裝置主要包括準(zhǔn)零剛度機(jī)構(gòu)、被隔振的物體、導(dǎo)向裝置以及導(dǎo)桿，準(zhǔn)零剛度機(jī)構(gòu)安裝在一個(gè)底座上，底座安裝在激振器上，底座和準(zhǔn)零剛度隔振機(jī)構(gòu)可看做一個(gè)整體。壓簧套在導(dǎo)桿的外圍，在避免摩擦的情況下，兩者直徑相當(dāng)，導(dǎo)桿可以在振動的時(shí)候保證壓簧不會彎曲變形。為了減小豎直和水平運(yùn)動方向的摩擦，裝置中都安裝了滾輪，因?yàn)闈L動摩擦力相對較小。

輸出位移采集裝置主要包括LK-G35激光位移傳感器(激光傳感頭、RS-232C連接器)與LK-Navigator測量軟件。LK-G35激光位移傳感器的測量范圍為-5～+5 mm，它的精確度可以達(dá)到微米，通過USB與電腦相連，利用LK-Navigator軟件對測量的輸出位移量進(jìn)行記錄和處理。

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

根據(jù)以上的理論研究，現(xiàn)對提出的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)臺的搭建和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)臺如圖12所示，其中，剛度比為0.97，被隔振質(zhì)量為1.2 kg。激振器提供振動源，包括振幅和頻率。激光位移傳感器測量輸出的位移。

圖12 準(zhǔn)零剛度實(shí)驗(yàn)臺Fig.12 Eperimental platform of quasi zero stiffness

因?yàn)榭祻?fù)機(jī)器人穿戴于人體上，而人體的敏感頻率范圍在4～8 Hz之間，實(shí)驗(yàn)的激振頻率取值為3.0～15 Hz,可以得到在有無負(fù)剛度機(jī)構(gòu)下的數(shù)據(jù)表以及與理論曲線的對比圖，如表1和圖13所示。然后，在同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，改變激勵(lì)幅值，得準(zhǔn)零剛度傳遞率的變化曲線，如圖14所示。

表1 準(zhǔn)零剛度隔振實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

Tab．1 Experimental data of quasi zero stiffness vibration isolation

序號激勵(lì)頻率/Hz線性實(shí)驗(yàn)傳遞率非線性實(shí)驗(yàn)傳遞率123456789101112131415161718193.03.5404.55.05.56.06.57.07.58.08.59.010.011.012.013.014.015.03.601.801.110.870.680.520.400.330.280.230.200.180.170.150.110.100.080.060.060.6600.5200.3800.2800.2370.1900.1530.1330.1230.1070.0900.0800.0700.0580.0370.0270.0230.0230.020

圖13 準(zhǔn)零剛度實(shí)驗(yàn)曲線圖Fig.13 Experimental curves of quasi zero stiffness

圖14 不同激勵(lì)幅值的準(zhǔn)零剛度傳遞率曲線Fig.14 Quasi-zero-stiffness transfer curve with different excitation amplitude

由圖13可知，在頻率3～8 Hz之間，隔振系統(tǒng)的傳遞率存在很大變化，這也說明，此準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)應(yīng)用在康復(fù)機(jī)器人上，能夠有效減少低頻振動對人體的影響，具有實(shí)際意義。其次，對激勵(lì)幅值改變對隔振系統(tǒng)的影響進(jìn)行了驗(yàn)證，如圖14中，圖(a)～(d)代表激勵(lì)幅值逐漸遞增，又因?yàn)閷?shí)驗(yàn)驗(yàn)證并沒有達(dá)到共振，而是集中在曲線峰值右側(cè)，傳遞率分別對應(yīng)0.761,0.755,0.740和0.732，傳遞率在峰值右側(cè)遞減，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論的正確性。

5 結(jié)束語

筆者提出了一種以拉簧作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，并與線性正剛度彈簧并聯(lián)且適用于康復(fù)機(jī)器人的準(zhǔn)零剛度非線性被動隔振系統(tǒng)。研究分析了此系統(tǒng)的靜力學(xué)、動力學(xué)特性并對其隔振性能進(jìn)行數(shù)值仿真。通過靜力學(xué)研究，系統(tǒng)在靜態(tài)平衡位置可以獲得準(zhǔn)零剛度特性，而且通過對參數(shù)m和α的控制，在較小振動范圍內(nèi)擴(kuò)大零剛度程度；通過動力學(xué)研究，研究了激勵(lì)幅值、阻尼比不同參數(shù)改變對系統(tǒng)的力傳遞率、位移傳遞率的影響。適當(dāng)增大激勵(lì)幅值可以降低系統(tǒng)的起始隔振率，增大阻尼比可以降低系統(tǒng)的傳遞率。最后，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在有、無負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的情況下系統(tǒng)的隔振效果。此系統(tǒng)在3～8 Hz的低頻隔振方面有良好的性能，而且，根據(jù)文獻(xiàn)顯示，準(zhǔn)零剛度隔振應(yīng)用到康復(fù)機(jī)器人領(lǐng)域非常少，因此，本研究對機(jī)器人低頻隔振方面具有創(chuàng)新性和理論指導(dǎo)意義。