楊小平，唐三一

(1. 陜西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710018； 2. 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062)

在估計種群的大小及其對捕撈的反應(yīng)，預(yù)測未來的成功以及選擇適當(dāng)?shù)膽?zhàn)略以維持穩(wěn)定的可持續(xù)量和保持健康的種群是管理漁業(yè)最具挑戰(zhàn)性和最重要的問題，這些問題在很大程度上都是與系統(tǒng)的靜態(tài)行為有關(guān)，從某種意義上說，人口涉及到平均產(chǎn)量(或平均收入)的估計，他是開發(fā)水平的函數(shù)[1]，此外，由于自然種群對其物理生物環(huán)境的隨機擾動有波動的傾向，管理問題變得復(fù)雜。一些研究人員已經(jīng)調(diào)查了在隨機波動的環(huán)境中收獲種群的情況[2-4]。已經(jīng)觀察到，人口對這種隨機擾動的敏感性取決于其重要比率(生育率、死亡率和補充率)，因此，一般來說，收獲是改變的。如果不小心收獲超過了最大可持續(xù)產(chǎn)量(MSY)，這些影響就會變得非常嚴重。高的努力可能導(dǎo)致低平均產(chǎn)量和高方差。Schaefer[5]基于羅蒂斯克定律和Reed[6]和Goh[7]的魚類收獲動態(tài)開放存取模型也考慮了在無限時間范圍內(nèi)收獲種群的羅蒂斯克增長率。本文提出并研究了一種隨機修正的羅蒂斯克模型。該模型適用于水庫產(chǎn)生的倍增波動情況下的魚類捕撈，我們的模型包括戈登—舍費爾模型和佩拉—湯姆林森模型[8]。

1 模 型

讓n(t)表示在時間t的庫存大?。惶幚韓(t)是一個連續(xù)變量(考慮到庫存的大小是合理的)，用于魚類收獲的戈登—舍費爾模型有微分方程描述：

(1-1)

=f(n)-h(t)

(1-2)

(2)

其中V(t)是一個白噪聲過程，表示隨機微分方程SDE式(2)[9-10]可以寫成：

(3)

其中W(t)是一個維納過程，其形式導(dǎo)數(shù)是過程V(t)。

2 模型的確定性分析

Holt[11]之后，我們的標(biāo)準(zhǔn)化狀態(tài)變量n(t)化為φ(t)，未利用的平均值的一部分，此外，還強加了霍爾特的約束：①未開發(fā)庫存水平的1/2用于征聘，是為未開發(fā)庫存水平的3/4；②自然死亡率系數(shù)是統(tǒng)一的，我們發(fā)現(xiàn)我們的隨機微分方程式(3)化簡為：

dφ=[rφ(1-φα-1)-Eφ]dt+σφdW

(4)

r是內(nèi)在增長率，這是關(guān)于α的函數(shù)：

(5)

可持續(xù)產(chǎn)量是：

(6)

其中φ*是式(1-1)非零平衡解和發(fā)生在E=E*=r(1-1/α)上的MSY是由：

(7)

更進一步的可以看出MSY，Ymax是漸進穩(wěn)定的，因為每當(dāng)有小的擾動，隨著時間的推移，Ymax就會恢復(fù)。

(8)

因為由一點代數(shù)計算就能得到：

(9)

在α>1,r>0，Y的漸進穩(wěn)定性由式(9)得到。

2.1 可持續(xù)的產(chǎn)量與努力

α的各種值的計算表明，對于α=2,Ymax=0.25是在努力水平E*=0.50達到的，當(dāng)α超過2并且逐漸增加時，產(chǎn)量與努力曲線的峰值的位置向左移動，而當(dāng)α減少到2以下時，產(chǎn)量與努力曲線的峰值向前移動。

正如我們在介紹中提到的α=2、3、4時，我們的模型可以減少，模型分別由舍費爾和佩爾—湯姆林森(m=2,3)建立，特別地，Lett和Doubleday[12]研究表明：反向峰值佩爾—湯姆林森曲線比羅輯分析更能描述圣勞倫斯鱈魚灣的大量數(shù)據(jù)。這一發(fā)現(xiàn)至少在一定程度上表明，我們的模型實際上是一個擴展。

值得注意的是，當(dāng)α向α=2的右邊移動，所需的努力水平E*降低，而最大可持續(xù)產(chǎn)量Ymax增加，因此相對于α>2與α≤2相比較，該物種的收獲更有利可圖(見表1)。r=r(α)的值，使可持續(xù)產(chǎn)量φ*(E*)最大化的努力水平E*，當(dāng)E=E*時φ的平衡值和最大持續(xù)產(chǎn)量Ymax=Y(E*,φ*(E*))顯示不同的α值。

表1 α取不同值時φ的平衡值及最大可持續(xù)產(chǎn)量對比

2.2 收獲庫存的特征回歸時間TR

到目前為止，我們已經(jīng)研究了庫存φ和可持續(xù)產(chǎn)量Y的依賴性，在收獲狀態(tài)下，在穩(wěn)定狀態(tài)下。在這一節(jié)中，我們將研究動態(tài)方面，解決的基本問題是，當(dāng)受到均衡價值的影響時，開發(fā)會如何影響庫存趨于恢復(fù)的速度，對于一個微分方程組描述的模型，他的特征時間TR由其Hession矩陣的主特征值的實部的幅度(絕對值)的倒數(shù)給出，如果所有特征值位于復(fù)平面圖的左半部分。因此，原始種群的特征時間為TR(0)，收獲種群的特征時間為TR(E)，結(jié)果是：

(10)

和

(11)

其中的r(α)，任意的α是由式(5)給出的。

因此，

(12)

2.3 時間平穩(wěn)收獲策略的隨機分析

在本節(jié)中，我們將對隨機微分方程式(4)描述的收獲模型進行隨機分析，但需滿足以下條件：①時間視界是無限的，沒有任何折現(xiàn)因子；②環(huán)境中普通存在的波動是倍增的，是由白噪聲過程產(chǎn)生的；③我們的吸引力和直觀的收獲政策是對于某些臨界規(guī)模的nc(根據(jù)經(jīng)驗確定)在n(t)>nc的情況下進行收獲，當(dāng)n(t)

正如Abakuks和Prajneshu[13]以及Shah[14]所展示那樣，我們的模型甚至可以證明時間平穩(wěn)的政策導(dǎo)致了最大的長期效益。

保持這些建議，繼續(xù)規(guī)范化魚群φ(t)=n(t)/K，我們的模型式(4)化簡為：

dφ=[rφ{(diào)1-φα-1}-EφH{φ(t)-φc}]dt+σφdW(t)

(13)

其中H(x)是赫維賽德函數(shù)，定義為：

(14)

將給出漂移和擴散項：

(15)

和S(φ,t)=σ2φ2

(16)

對應(yīng)于隨機微分方程式(13)的相關(guān)的?？恕绽士朔匠虨椋?/p>

(17)

在穩(wěn)定狀態(tài)下減少到：

(18-1)

(18-2)

積分(18-1)和(18-2)，我們得到：

(19)

其中A和B是積分常數(shù)，并由連續(xù)性條件確定。

(20)

和歸一化條件：

(21)

我們得到：

(22)

其中γ(v,u)和Γ(v,u)是不完全伽馬函數(shù)。

給定臨界尺寸φc的長期收益由：

(23)

最后，將B的值代入式(23)并化簡，我們發(fā)現(xiàn)：

(24)

對于給定的φc，另一個感興趣的數(shù)量在長期的時間比例T(φc)是用于收獲：

(25)

3 結(jié) 語

我們提出并研究了戈登—舍費爾模型咋隨機波動環(huán)境下魚群收獲的推廣，從而產(chǎn)生了乘性噪聲，我們的模型包括梅等人討論的3個重要模型。我們用一般的 作為泛化指標(biāo)，生長速率曲線因物種而異。結(jié)果表明： 對于生長速率曲線發(fā)展較快的物種來說是一個更好的選擇； 值給出了增長緩慢的曲線我們研究了與魚類捕撈有關(guān)的若干因素的依賴性。如最大可持續(xù)產(chǎn)量、特征回歸時間、長期平均產(chǎn)量、長期時間比例等，這有助于漁業(yè)管理。