富志禹， 于 洋， 祝貴兵

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026)

船舶在狹窄水域航行需要停船時(shí)，通常將首錨拋下，讓錨在底床上拖動產(chǎn)生阻力而使船減速。中小型船舶靠碼頭無拖船協(xié)助時(shí)或遇緊急情況需要停船時(shí)，往往也利用拖錨來減速。[1-3]從拋錨到停船，船舶航行的距離即拖錨淌航距離，反映船舶拖錨的制動效果，也是確定落錨點(diǎn)的前提條件。

關(guān)于拖錨淌航距離的估算，巖井聰[4]采用動能定理，即拋錨時(shí)的船舶動能全部消耗在阻力做功上，提出拖錨淌航距離與船舶虛質(zhì)量、船速、錨阻力、船體水阻力的關(guān)系式。由于拖錨制動中的船舶運(yùn)動十分復(fù)雜，一般都假定船舶拖錨淌航時(shí)仍保持直線運(yùn)動，并忽略船舶附加質(zhì)量和水阻力，得到一個(gè)簡化的估算公式[5]。

為探討忽略船舶附加質(zhì)量和船體阻力對拖錨淌航距離估算會產(chǎn)生多大影響，采用牛頓定律，將船舶附加質(zhì)量和船體阻力均考慮進(jìn)去，采用求解微分方程的方法來模擬拖錨淌航過程，給出船體阻力量值及其在總阻力中的占比，就船舶附加質(zhì)量引起的附加慣性力大小做出分析，以及數(shù)值計(jì)算停船距離并與簡化公式結(jié)果作對比研究，由于動抓力系數(shù)的選取，本文只分析底質(zhì)為一般泥沙時(shí)的拖錨情況。

1 基于能量法的拖錨淌航距離估算

巖井聰[4]用動能定理給出的關(guān)系式為

(1)

式(1)中：S為船舶拋錨后到停船所前進(jìn)的距離，m；FH為船舶從拋錨到停船時(shí)的平均船體阻力，N；FA為從拋錨到停船的錨平均動抓力，N；M為船舶質(zhì)量，kg；Ma為船舶附加質(zhì)量，kg；V0為船舶拋錨時(shí)的速度，m/s。

忽略船體阻力和船舶附加質(zhì)量，式(1)可簡化為

(2)

將式(2)中各物理量單位轉(zhuǎn)變?yōu)楹胶３Ｓ脝挝?，則有

(3)

式(3)中：M單位為t；V0單位為kn；FA單位為t。

從式(2)和式(3)可知：該方法計(jì)算簡單，但估算過程中忽略船舶附加質(zhì)量和船體阻力對淌航距離的影響。在航海實(shí)踐中，船舶附加質(zhì)量和船體阻力對船舶航行的影響是不可忽略的。[6-7]本文著重從力學(xué)角度進(jìn)行研究，運(yùn)用牛頓定律，分析船體阻力、附加慣性力和錨阻力隨拖錨淌航距離變化的具體情況，體現(xiàn)船體阻力和附加慣性力在船舶拖錨淌航過程中的影響。

2 基于牛頓定律的拖錨淌航運(yùn)動方程

假定船舶拋錨后仍沿著原來方向作直線運(yùn)動，受到船體水阻力和拖錨阻力作用，見圖1，忽略錨鏈在水中的阻力,則由牛頓第2定律得船舶拖錨淌航運(yùn)動方程為

(4)

式(4)中：V是船舶瞬時(shí)速度；t為時(shí)間；FH和FA不是平均值，而是與時(shí)間和船速有關(guān)的變量。

圖1 船舶拖錨淌航受力分析

淌航距離的微分式為

dS=Vdt

(5)

求解式(4)和式(5)時(shí)，有FH、FA和Ma3個(gè)物理量需要賦值，其中，附加質(zhì)量Ma≈0.1M，余下的問題歸結(jié)為計(jì)算船體水阻力FH和錨阻力FA。

3 船體水阻力計(jì)算

船體阻力一般分為黏性阻力和興波阻力2部分。對拖錨淌航問題，船舶余速較小，F(xiàn)r均低于0.1。因此,在估算船體阻力時(shí)，可忽略興波阻力。采用文獻(xiàn)[8]方法計(jì)算船體阻力。

(6)

式(6)中：ρw為水密度，kg/m3；AH為船體濕表面積，m2；CH為水阻力系數(shù)。

濕表面積AH計(jì)算式為

AH=1.7Ld+CbLB

(7)

式(7)中：L為船長，m；d為船舶吃水，m；B為船寬，m；Cb為方形系數(shù)。

水阻力系數(shù)計(jì)算式為

CH=0.046Re-0.134+b

(8)

式(8)中：b為系數(shù)；Re為雷諾數(shù)。

(9)

式(9)中：ν為水的運(yùn)動黏性系數(shù)，其值與水溫有關(guān)。取15 ℃水溫的值：ν=1.14×10-4m2/s。系數(shù)b與船舶方形系數(shù)和寬度吃水比有關(guān)，見表1。中間值可插值求得。

表1 系數(shù)b的取值

4 錨阻力計(jì)算

從錨自備錨位置拋出開始計(jì)時(shí)，到船完全停止，整個(gè)過程按錨阻力的不同而劃為錨入水前、錨入水至著底、錨著底至錨鏈達(dá)到計(jì)劃出鏈長度和拖錨淌航至停船等4個(gè)階段。

4.1 錨入水前下落運(yùn)動分析

錨入水前對船舶的阻力為零。此階段的分析主要是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)公式計(jì)算錨自備錨位置到入水的速度和時(shí)間。于洋等[9]計(jì)算錨下落過程包含許多參數(shù)，考慮各種物理量的影響，但算式比較復(fù)雜。這里采用簡化算法。NAKAYAMA等[10]通過實(shí)船拋錨試驗(yàn)，測得錨下落至水面的速度與自由落體速度的比值平均為0.6。由此得錨下落至水面的速度v1和平均加速度a的表達(dá)式為

(10)

式(10)中：h為備錨位置錨冠到水面高度；g為重力加速度。錨自備錨位置下落到水面所需時(shí)間為

(11)

忽略錨鏈重力，通過錨的力學(xué)方程可求出錨鏈張力T為

T=m(g-a)=0.64mg

(12)

式(12)中：m為錨質(zhì)量，kg。

4.2 錨入水后至著底的運(yùn)動分析

錨入水后、著底前，受到水平方向水阻力FA、鉛垂方向作用力W和錨鏈張力T的作用(見圖2)。其中鉛垂方向作用力是錨在水中重力與水阻力R的合力為

W=0.87mg-R

(13)

下面分別計(jì)算錨水平移動的水阻力FA和垂直下落的水阻力R。

4.2.1錨在水中水平移動的阻力

錨所受水阻力的水平分力FA為

(14)

式(14)中：C1為系數(shù)；Ap為錨懸掛狀態(tài)下水平移動的擋水面積。Ap的值并不方便獲取，為此，根據(jù)量綱分析，設(shè)Ap與錨體積的2/3次方成正比，即

Ap=C2(m/ρs)2/3

(15)

式(15)中：ρs為鑄鋼密度，取7 800 kg/m3。將式(15)代入式(14)，并令C=C1C2，得

(16)

參照王偉等[11]的霍爾錨水阻力試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取速度為0.3、0.5、0.8、1.1等4個(gè)檔的阻力值，運(yùn)用最小二乘法得到水阻力無因次系數(shù)：C=4.342。這樣就避開錨擋水面積，只要給出錨的質(zhì)量大小即可計(jì)算錨的水阻力。

4.2.2錨垂直下落時(shí)的水阻力

錨所受水阻力的垂直分力R為

(17)

式(17)中：C3為系數(shù)，由文獻(xiàn)[12]可知C3=1.2；Ac為錨垂直下落的阻水面積，近似取為錨冠長與寬的乘積；v⊥為錨垂向下落速度，m/s。錨在水中的運(yùn)動不是垂直的，其下落過程可分解成錨在水平方向相對于船的速度v//和錨在鉛垂方向上下落的速度v⊥。因此，錨下落速度v可由v//與v⊥矢量合成，見圖3。

圖2 錨下落時(shí)的受力圖3 錨下落時(shí)的速度

錨的水平阻力和垂直阻力求出后，則由圖2得出

θ=arctan(FA/W)

(18)

根據(jù)牛頓定律建立錨的運(yùn)動方程為

(19)

式(19)中：ma為錨的附加質(zhì)量，近似取值為錨排開同體積水的質(zhì)量。錨鏈長度變化量為

dLc=vdt

(20)

4.3 錨著底至計(jì)劃出鏈長度段分析

錨著底后，伴隨船舶淌航前行而在底床拖動，本文選取的底質(zhì)為一般泥沙。錨的動抓力系數(shù)(動抓力與水中錨重的比值)見表2。[13]

表2 錨動抓力與鏈長水深比的關(guān)系

由于拖錨淌航過程中船舶余速一般屬于低速階段，錨著底時(shí)，水下鏈長通常較計(jì)劃出鏈長度短。在此階段，錨在底床上屬于靜止?fàn)顟B(tài)還是被拖動狀態(tài)，這取決于出鏈速度和船舶速度，其情況相對較為復(fù)雜。為簡化計(jì)算，假設(shè)錨著底瞬間的阻力為錨受水阻力的水平分力，可由式(16)計(jì)算得到；繼續(xù)出鏈至計(jì)劃出鏈長度則按線性插值估算錨拖底阻力。出鏈速度仍按錨著底時(shí)的速度計(jì)算。

4.4 出鏈長度達(dá)到預(yù)定長度的分析

此階段的錨阻力FA按表2插值計(jì)算。若船舶淌航一段距離后拋下另一只錨，則該錨阻力重復(fù)前述過程計(jì)算。

5 船舶拖錨淌航運(yùn)動數(shù)值求解

5.1 船舶淌航運(yùn)動差分方程

將式(4)改寫為

Vi+1=Vi+α·Δt

(21)

式(21)中：Δt為時(shí)間步長，自行設(shè)定；初速度為船舶拋錨時(shí)余速V0；α為船舶加速度。

α=-(FH+FA)/(M+Ma)

(22)

式(22)中：Ma≈0.1M；FH按式(6)～式(9)計(jì)算；錨阻力按第4.1節(jié)～第4.4節(jié)的步驟計(jì)算。式(5)改寫為

Si+1=Si+Vi·Δt

(23)

其初始位置可設(shè)為零。

5.2 錨下落運(yùn)動差分方程

錨自水面到著底這一過程由式(19)改寫為

vi+1=vi+β·Δt

(24)

式(24)中：初速度由式(10)求出。

(25)

式(25)中:FA可由式(16)計(jì)算求出；W可由式(13)和式(17)計(jì)算求出；T由式(12)計(jì)算求出；附加質(zhì)量ma近取為錨排開同體積水的質(zhì)量。

ma=m·ρw/ρs

(26)

出鏈長度由式(20)改寫為

Lcj+1=Lcj+vjΔt

(27)

按上述思路和式子編寫1個(gè)小程序，可在電腦上運(yùn)行計(jì)算。

6 算例

某船船長118 m，船寬19 m，滿載吃水7.8 m，滿載排水量11 709 t，方形系數(shù)0.65，配霍爾錨每只4.6 t，備錨時(shí)錨冠距水面2 m。船舶余速3 kn時(shí)拋下1只錨，出鏈長度為1節(jié)水面，水深12 m。求：

1)船舶淌航距離。

2)船舶淌航45 m時(shí)拋另1只錨(出鏈長度同上)的總淌航距離。

解：將有關(guān)物理量單位改為標(biāo)準(zhǔn)單位(t→kg；kn→m/s)，給計(jì)算程序賦值后運(yùn)行，結(jié)果見圖4～圖6。

圖4 船舶速度與淌航距離關(guān)系

由圖4可知：船舶拋單錨淌航距離是228 m，拋

圖5 船舶拖單錨淌航各外力沿程變化

圖6 船舶拖雙錨淌航各外力沿程變化

雙錨淌航距離是144 m。為與式(2)估算結(jié)果相對比，將M=11 709×103kg，鏈長水深比Lc/D=27.5/12=2.292，λ=1.417，F(xiàn)A=λ×0.87 mg，m=4 600 kg，g=9.8 m/s2，V0=3×0.514 4 m/s代入式(2)得：

S2≈148 m

由此可看出，與本文結(jié)果相比，拖單錨淌航時(shí)，根據(jù)式(2)計(jì)算的結(jié)果，大約多出1節(jié)鏈長的距離；拖雙錨淌航時(shí)，其結(jié)果大體相同,是因?yàn)橥蠁五^時(shí)船體阻力占總阻力的比例比較大，故式(2)忽略船體阻力后使計(jì)算結(jié)果偏大；而拖雙錨時(shí)，船體阻力占總阻力比例變小，所以計(jì)算結(jié)果差別不大。

另外，本文與式(2)的計(jì)算起點(diǎn)不同。前者是從拋錨開始，后者是從拖錨開始。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]在使用式(2)或式(3)計(jì)算淌航距離時(shí)，還需再加上出鏈長度的水平投影作為實(shí)際淌航距離。若考慮這個(gè)因素，兩種算法的結(jié)果差別就更加明顯。

拖單錨淌航時(shí)各外力隨淌航距離的變化情況如圖5所示。由圖5可知:在初始階段，船體阻力大約是單錨阻力的1/2；隨著淌航前行，船體阻力大約呈直線下降。附加慣性力方向朝前，會助推船舶前行，但力的量值在整個(gè)運(yùn)動過程中所占比重不大。另外，拋單錨時(shí)，附加慣性力最大僅為7 kN左右，而此時(shí)單錨阻力約為55.6 kN，附加慣性力約占單錨阻力的1/8。船舶淌航45 m后拋另1只錨的淌航情況如圖6所示，可知拋出雙錨后錨的阻力占絕對優(yōu)勢。

由圖5和圖6可知：從備錨位置拋錨至達(dá)到計(jì)劃出鏈長度階段，錨的水平阻力相比船體阻力來說較小，其對船舶淌航狀態(tài)影響也很小。同樣，這階段的距離對整個(gè)拖錨淌航距離的影響也很小，說明所提出方法的計(jì)算起點(diǎn)并非是造成兩種方法拖錨淌航距離差的主要原因。

7 結(jié)束語

運(yùn)用牛頓定律建立船舶拖錨淌航運(yùn)動微分方程，分別計(jì)算拖單錨和拖雙錨的淌航距離，以及船舶速度、船體阻力、錨阻力和附加慣性阻力沿程變化情況，還給出霍爾錨垂直狀態(tài)下水平移動時(shí)的水阻力計(jì)算方法。本文算例結(jié)果表明:船舶淌航初始階段船體阻力約為單錨阻力的1/2，忽略該阻力會產(chǎn)生較大偏差。附加慣性力在整個(gè)淌航過程中所占比例均較小，最大值約為單錨阻力的1/8，附加慣性力的方向與船舶運(yùn)動方向相同，會抵消一部分的船體阻力，兩者的合力至少能達(dá)到錨阻力的3/8，所以會使船舶拖錨淌航距離變小。

實(shí)際上，船舶拖錨淌航時(shí)一般不會沿直線前行，而且影響船舶拖錨淌航的距離的因素有很多，今后還需在船舶受力分析基礎(chǔ)上運(yùn)用牛頓定律進(jìn)行更深入的研究。