王 真, 趙志高

(1.武漢紡織大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院 武漢, 430200) (2.武漢紡織大學(xué)數(shù)字化紡織裝備湖北省重點實驗室 武漢,430200) (3.武漢第二船舶設(shè)計研究所 武漢,430205)

引 言

設(shè)備振動源特性用于表征機械設(shè)備振動的固有特性。描述設(shè)備振動源特性的關(guān)鍵問題是源特性表征量的選取及其獲取方法。Breeuwer等[1]提出采用自由振速 (free velocity) 描述設(shè)備的振動源特性，自由振速[2]是指設(shè)備在自由懸掛條件下測得的設(shè)備機腳的振動速度，自由振速不受測量環(huán)境的影響，能夠表征設(shè)備振動的固有特性。目前，自由振速作為設(shè)備源特性的表征量已經(jīng)得到了認(rèn)可，是描述設(shè)備振源特性的優(yōu)選參數(shù)[3-11]。

但是，自由振速的獲取存在一定困難，主要原因是自由振速的直接測量條件苛刻，在工程中難以實施。Plunt[2]指出，自由振速的自由懸掛條件可以通過在設(shè)備安裝軟彈簧來近似滿足。原春暉[9]從工程實際出發(fā)，針對自由振速測量過程中的有效頻率范圍、設(shè)備安裝要求、測量環(huán)境和背景噪聲、隔振器選型以及測點布置等問題進行了詳細(xì)的分析。朱正道等[10]歸納了測量設(shè)備自由振速的安裝條件，其實驗數(shù)據(jù)表明：若隔振器上下端的振級差達(dá)20 dB，可將測得的設(shè)備振速作為自由振速。嚴(yán)斌等[12]的研究表明，當(dāng)機腳阻抗與隔振器阻抗失配程度達(dá)10倍以上時，測得的機腳振速可作為自由振速。

上述研究表明,當(dāng)隔振系統(tǒng)滿足一定條件時，可將彈性安裝條件下的設(shè)備機腳振速近似作為自由振速，但是此結(jié)論僅基于實驗數(shù)據(jù)，而并未進行理論證明及其誤差分析。鑒于此，筆者開展了彈性安裝下設(shè)備自由振速測量方法的理論研究和實驗驗證。首先，利用阻抗綜合分析法建立動力學(xué)方程；然后，利用有效點導(dǎo)納分析了隔振系統(tǒng)對自由振速的影響規(guī)律，獲得了自由振速與機腳振速之間的關(guān)系，進而提出了自由振速的測量方法；最后，對該測量方法進行了理論誤差分析，用有限元模擬和實驗驗證了該方法的正確性。

1 理論分析

1.1 基于阻抗分析的多點耦合隔振系統(tǒng)建模

如圖1所示，對由設(shè)備、彈性支撐以及基座所構(gòu)成的單自由隔振系統(tǒng)，可采用阻抗綜合分析方法，建立系統(tǒng)多點多激勵的動力學(xué)模型。

圖1 單層隔振系統(tǒng)簡圖Fig.1 Diagram of single raft system

設(shè)設(shè)備機腳的自由振速向量為V0，安裝隔振器后，設(shè)備機腳的振動速度向量為Vu，基座安裝點處的振動速度向量為Vb,Hu為隔振器與設(shè)備連接點所構(gòu)成的導(dǎo)納矩陣，Hb為隔振器與基座連接點所構(gòu)成的導(dǎo)納矩陣,Fu和Fb分別為隔振器作用在設(shè)備和作用在基座上的激勵力向量。

根據(jù)導(dǎo)納函數(shù)的定義，對設(shè)備建立以下模型[13]

Vu=V0-HuFu

(1)

其中：Hu為設(shè)備機腳所構(gòu)成的導(dǎo)納矩陣。

其表達(dá)式為

(2)

同理，對于基座有

Vb=HbFb

(3)

對隔振器，根據(jù)四端參數(shù)模型可得

Fu=Z11Vu+Z12Vb-Fb=Z21Vu+Z22Vb

(4)

其中：Z11，Z12，Z21和Z22分別為隔振器阻抗矩陣。

由式(1)～(4)可得單層隔振系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(5)

由式(5)可知，多點耦合的單層隔振系統(tǒng)的變量互相耦合，設(shè)備在不同安裝點之間的振動速度也是耦合的，無法直接分析隔振系統(tǒng)對自由振速的影響。因此，本研究引入有效點導(dǎo)納的概念，將多輸入多輸出耦合系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多個單輸入輸出系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上分析隔振系統(tǒng)對設(shè)備自由振速的影響。

1.2 基于有效點導(dǎo)納的自由振速估算

有效點導(dǎo)納是指單個接觸點處、單方向上實際振動速度與所有接觸點、所有激勵分量在該點產(chǎn)生的單方向?qū)嶋H力的比值。因此，在多點激勵下，考慮所有點不同自由度對測量點的影響時，有效點導(dǎo)納定義[9;14]為

(6)

對式(6)進行變形，得到如下有效點導(dǎo)納的表達(dá)形式[9]

(7)

式(7)中有效點導(dǎo)納包含4部分：a.原點導(dǎo)納;b.點互耦合;c.傳遞耦合;d.傳遞互耦合。

工程實際中一般忽略點互耦合和傳遞互耦合，僅考慮多點安裝的傳遞耦合的影響，并且由式(7)可知，有效點導(dǎo)納與激勵力的大小和分布有關(guān)，本研究采用文獻[9]的方法，認(rèn)為力的分布是均勻的。因此，有效點導(dǎo)納可以表示為

(8)

將式(5)中的導(dǎo)納換成有效點導(dǎo)納，則多輸入輸出的耦合隔振系統(tǒng)就轉(zhuǎn)化成為多個單輸入輸出系統(tǒng)，則以任意一隔振器在設(shè)備機腳安裝點為研究對象，其動力學(xué)方程為

(9)

其中：v0為設(shè)備機腳的自由振速；vu和vb分別為設(shè)備機腳和基座安裝點處的振速；fu和fb分別為隔振器作用在設(shè)備和基座上的激勵力；Hu∑和Hb∑分別為設(shè)備機腳和基座安裝點的有效點導(dǎo)納；Z11，Z12，Z21和Z22分別為該隔振器阻抗。以上參數(shù)均為標(biāo)量。

(10)

由式(10)可得

(11)

(12)

β與隔振系統(tǒng)隔振效果之間的關(guān)系為

(13)

由式(13)可知，隔振效果僅與隔振器和基座的阻抗有關(guān)。隔振量Δ越大，則β值越小。對于彈性安裝來說，實際工程中設(shè)備機腳的有效點阻抗要遠(yuǎn)大于隔振器的阻抗，即

(14)

由于實際工程中彈性隔振系統(tǒng)的隔振效果一般大于10 dB，由式(12)可得

v0≈vu

(15)

式(15)表明：在彈性安裝條件下，在滿足式(14)的條件下，設(shè)備自由振速近似等于設(shè)備機腳的振速。所以，設(shè)備的自由振速可通過測量彈性安裝設(shè)備機腳的振速來獲得。

通過式(15)可以獲得此推論：當(dāng)設(shè)備采用不同的隔振器時，如果兩個隔振系統(tǒng)的隔振效果大于10 dB，則該設(shè)備在不同隔振系統(tǒng)中測得的機腳振動速度近似相等，且均等于設(shè)備的自由振速。

1.3 誤差分析

以下對式(15)的誤差進行分析，即在彈性安裝條件下，以設(shè)備機腳的振速作為設(shè)備自由振速時，由式(16)可知誤差δ為

(16)

低頻條件下可將隔振系統(tǒng)視為剛體模型，設(shè)隔振器的額定載荷為M，剛度為K，阻尼為C，阻尼比為ξ，隔振器的固有頻率為ωn，則隔振器的原點阻抗Z11與傳遞阻抗Z12分別為

(17)

設(shè)被隔振設(shè)備的質(zhì)量為Ma，則低頻下其阻抗Zu表現(xiàn)為質(zhì)量阻抗

Zu=jωMa

(18)

若安裝N個隔振器，則設(shè)備的有效點阻抗Zu∑近似為

(19)

定義α為隔振器的載荷系數(shù)，表示隔振器的實際載荷與額定載荷之比。忽略載荷不均勻性，則設(shè)備質(zhì)量與隔振器的額定載荷之間滿足

(20)

將式(17)(19)代入式(16)，整理得

(21)

對于隔振系統(tǒng)來說，|β|?1,ωn?ωr，由式(21)可知，當(dāng)激勵頻率與隔振器的固有頻率吻合時(ω=ωn)，誤差δ近似為

(22)

2 數(shù)值算例

2.1 隔振系統(tǒng)模型

以電機作為機械設(shè)備振動源，采用ANSYS軟件對隔振系統(tǒng)進行有限元建模計算。電機功率為22 kW，轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，質(zhì)量為156 kg，設(shè)備機腳安裝4個隔振器，基座以四邊簡支矩形板模擬。模型材料特性為：彈性模量2.1×1011Pa，泊松比0.3，密度7 850 kg/m3。系統(tǒng)的阻尼比取8%。在設(shè)備上施加服從均勻分布的隨機載荷，并疊加50 Hz基頻的諧波激勵(如圖2所示)。計算了4種隔振器工況，隔振器的固有頻率、剛度、阻尼和載荷如表1所示。

圖2 設(shè)備隨機激勵載荷Fig.2 Random force on machine

工況固有頻率/Hz剛度/(N·m-1)阻尼/(N·s·m-1)載荷/kg13.52.42×1041765025.04.93×1042515037.09.66×10435250410.01.97×10550350

2.2 隔振系統(tǒng)的阻抗特性

為了分析隔振系統(tǒng)對自由振速的影響，進行隔振器、設(shè)備機腳和基座的阻抗特性分析。對于隔振器，駐波頻率取為250 Hz，阻尼比取為8%，計算隔振器的原點阻抗和傳遞阻抗(如圖3所示)。在隔振器駐波頻率處阻抗最小，高于隔振器駐波頻率時，隔振器阻抗主要受隔振器質(zhì)量的控制。低于駐波頻率時，隔振器阻抗主要表現(xiàn)為剛度特性。

圖3 隔振器原點阻抗和傳遞阻抗(工況1～工況4)Fig.3 Point impedances and transfer impedances of isolations (case 1 to case 4)

根據(jù)文獻[9]的方法，對于設(shè)備和基座，采用有限元模型獲得設(shè)備機腳與基座安裝點的導(dǎo)納矩陣，然后根據(jù)式(6)計算出有效點導(dǎo)納，從而獲得設(shè)備與基座的有效點阻抗。設(shè)備機腳有效點阻抗、基座有效點阻抗與隔振器阻抗對比如圖4所示。在低頻范圍內(nèi)，設(shè)備機腳的阻抗表現(xiàn)為質(zhì)量阻抗，甚至小于隔振器的阻抗。對于四邊簡支的基座板結(jié)構(gòu)，低于第1階模態(tài)頻率(61.64 Hz)時，其阻抗表現(xiàn)為剛度阻抗。

2.3 彈性安裝條件下設(shè)備機腳振速與自由振速

圖5 設(shè)備自由振速的理論值與有限元仿真值(工況1～工況4)Fig.5 Values of free velocities for theory and simulation (case 1 to case 4)

本研究通過有限元模擬的方法來驗證式(15)的正確性。自由振速的模擬方法為：根據(jù)其定義，對設(shè)備的有限元模型施加自由邊界條件和隨機激勵，計算設(shè)備機腳的振速即為自由振速；設(shè)備機腳振速的模擬方法為：將設(shè)備置于隔振系統(tǒng)中，在隔振系統(tǒng)的有限元模型上施加相同的隨機激勵，基座采用四邊簡支邊界條件，計算出設(shè)備機腳的振速。設(shè)備機腳振速與自由振速的4種工況的有限元模擬結(jié)果如圖5所示。機腳振速與自由振速的差異主要發(fā)生低頻段，在高頻段，機腳振速與自由振速基本一致。

2.4 自由振速測量的誤差分析與適用頻率范圍

將設(shè)備機腳振速與自由振速的代數(shù)差作為測量誤差，圖6為4種隔振器工況下的自由振速測量誤差曲線，有限元模擬的測量誤差與理論測量誤差基本一致。最大正向誤差發(fā)生在系統(tǒng)的垂向共振頻率處，共振時彈性安裝設(shè)備的振速放大，因此，機腳的振速遠(yuǎn)大于該頻率點的自由振速。在低于隔振器固有頻率范圍內(nèi)(如圖4所示)，由于設(shè)備機腳的阻抗小于隔振器的阻抗，此時隔振器對于設(shè)備來說相當(dāng)于是剛性約束，因此，此時設(shè)備機腳振速遠(yuǎn)小于自由振速。在高于隔振器固有頻率條件下，隨著頻率的增加，測量誤差逐漸減小，可控制在1 dB內(nèi)。表2為該測量方法的適用頻率范圍。從四種隔振器工況

圖6 自由振速測量誤差(工況1～工況4)Fig.6 Measurement errors of free velocities (case 1 to case 4)

Tab.2 Adaptive frequency ranges of measurement method Hz

來看，隔振頻率越低，測量方法的適用頻率范圍越寬。若控制測量誤差在1 dB范圍內(nèi)，測量方法適用的最低頻率值約為隔振器固有頻率的3倍；若控制測量誤差在3 dB范圍內(nèi)，測量方法適用的最低頻率值約為隔振器固有頻率的2倍。

3 實 驗

由于工程實際中設(shè)備自由振速的測量難以實施，因此筆者采取間接驗證的實驗方法，實驗裝置如圖7所示。本實驗對變頻電機設(shè)備進行隔振，分別采用兩種型號隔振器，測試頻段取10～8 000 Hz，測量了電機在4種轉(zhuǎn)速工況下機腳的振動加速度級和系統(tǒng)隔振效果，各工況轉(zhuǎn)速分別為600,1 200,1 500和2 000 r/min，實測數(shù)據(jù)如表3所示。

圖7 實驗示意圖Fig.7 Experimental diagram

Tab.3 Vibration level of machine and system isolation efficiency under four cases dB

實驗數(shù)據(jù)表明，4種電機轉(zhuǎn)速下，兩種隔振系統(tǒng)中的電機機腳振級在測量頻段內(nèi)的差異為0.9～2.5 dB，此時，兩種隔振系統(tǒng)的隔振效果均大于10 dB。誤差可能主要是測點位置的差異造成的。因此，如果不計測點位置影響和測量誤差，可認(rèn)為設(shè)備機腳的振級與隔振器無關(guān)，且為常數(shù)，即近似等于設(shè)備的自由振速。該實驗結(jié)論驗證了文中1.2節(jié)的理論推論，間接驗證了式 (15)。

4 結(jié) 論

1) 在彈性安裝條件下，當(dāng)系統(tǒng)的隔振效果大于10 dB時，設(shè)備自由振速近似等于設(shè)備機腳振速。

2) 自由振速可通過單層彈性安裝的方式獲得。設(shè)備機腳的阻抗特性對自由振速的測量結(jié)果影響較大，系統(tǒng)的隔振效果對自由振速測量的影響要小于設(shè)備機腳阻抗特性的影響。

3) 考慮到實際工程中的測量誤差一般為1 dB，誤差分析表明，當(dāng)設(shè)備機腳與基座阻抗遠(yuǎn)大于隔振器阻抗時，彈性安裝條件下測量設(shè)備自由振速的適用頻率范圍為大于3倍的隔振器固有頻率。

4) 本研究工作對自由振速的獲取以及機械設(shè)備振動源特性的轉(zhuǎn)換研究具有一定的理論價值和工程應(yīng)用前景。