孫攀旭，楊紅,b，劉慶林

(1. 重慶大學(xué) a.土木工程學(xué)院；b.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045； 2. 深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通與環(huán)境學(xué)院，廣東 深圳 518172)

混合結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)計(jì)算方法與單一材料結(jié)構(gòu)采用的常用方法不同。由于不同材料的阻尼比不同，混合結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣并不與質(zhì)量矩陣或剛度矩陣保持比例關(guān)系，故混合結(jié)構(gòu)無法直接采用基于粘性阻尼模型的實(shí)模態(tài)疊加法，抗震計(jì)算時(shí)也無法直接采用SRSS法。

目前，常用的阻尼模型為粘性阻尼模型和復(fù)阻尼模型[1]。對于混合結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)的重要振型，可得到相應(yīng)的Rayleigh阻尼矩陣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)模態(tài)疊加法[2-4]，但其結(jié)果不具有唯一性，高階振型地震作用效應(yīng)亦偏小[5]；采用等效阻尼比的思路，將阻尼矩陣等價(jià)為比例矩陣，同樣可實(shí)現(xiàn)模態(tài)疊加法[6-7]，但計(jì)算出局部結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)偏小或偏大[8]；汪夢甫[9]、Neugebauer等[10-11]利用狀態(tài)空間法，提出了基于粘性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法，但矩陣維度增加了一倍，計(jì)算量較大；劉慶林等[12]基于復(fù)阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法可直接適用于混合結(jié)構(gòu)，但計(jì)算較為復(fù)雜，且直接剔除復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程通解中發(fā)散項(xiàng)的做法存在理論缺陷[13]。Wang[14]采用Rayleigh阻尼矩陣等效復(fù)阻尼矩陣，Reggio等[15]將Maxwell-Wiechert本構(gòu)模型等效于復(fù)阻尼本構(gòu)模型，進(jìn)而解決了發(fā)散問題，但上述方法得到的計(jì)算結(jié)果與復(fù)阻尼理論存在一定的誤差。遲滯阻尼模型計(jì)算結(jié)果唯一，且克服了粘性阻尼模型中每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率相關(guān)的缺點(diǎn)。同時(shí)，遲滯阻尼模型的時(shí)域計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定收斂，避免了復(fù)阻尼模型的發(fā)散現(xiàn)象[16]。

遲滯阻尼模型克服了粘性阻尼模型和復(fù)阻尼模型的缺陷，但不滿足能量守恒的原則。本文利用結(jié)構(gòu)每周期耗散能量與阻尼做功相等的特性，對遲滯阻尼模型的阻尼系數(shù)進(jìn)行修正，得到改進(jìn)遲滯阻尼模型，并提出了對應(yīng)的混合結(jié)構(gòu)模態(tài)疊加法。同時(shí)，分析改進(jìn)遲滯阻尼模型的反應(yīng)譜特點(diǎn)，計(jì)算最不利地震作用效應(yīng)組合，并提出了基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的混合結(jié)構(gòu)抗震分析SRSS法。

1 基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的SRSS法

1.1 改進(jìn)遲滯阻尼模型

遲滯阻尼模型假定阻尼力與結(jié)構(gòu)的位移大小成正比，與結(jié)構(gòu)的速度方向相反[16-17]。單自由度體系的遲滯阻尼運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中：m為質(zhì)量；k為剛度；η為損耗因子，即η=2ξ[12]，ξ為阻尼比；g(t)為地震加速度。

(2)

設(shè)單自由度系統(tǒng)響應(yīng)x=Xsinθt，一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)結(jié)構(gòu)的耗散能量為

ΔE=πηkX2

(3)

一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力做的功為

ΔW=-2ηkX2

(4)

由式(3)和式(4)可知，阻尼力做功與結(jié)構(gòu)每周期耗散能量的大小不相等，需要對遲滯阻尼模型進(jìn)行修正。定義遲滯阻尼模型下，單自由度體系的阻尼力為

fd=-λτkx(t)

(5)

式中：λ為阻尼系數(shù)。

由式(5)計(jì)算出每周期阻尼力做功為

ΔW=-2λkX2

(6)

利用每周期耗散能量與阻尼力做功大小相等，得

2λkX2=πηkX2

(7)

進(jìn)一步計(jì)算出阻尼系數(shù)為

(8)

從而得到改進(jìn)的遲滯阻尼運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

1.2 基于遲滯阻尼模型的混合結(jié)構(gòu)抗震分析SRSS法

改進(jìn)遲滯阻尼模型下阻尼力為

(10)

由式(10)可得到改進(jìn)遲滯阻尼模型的阻尼力-位移變化曲線(見圖1)，阻尼力不隨位移的變化而連續(xù)變化，因此，改進(jìn)遲滯阻尼系統(tǒng)不再保持整體線性特征，而是具有局部非線性特征，導(dǎo)致多自由體系不能直接采用模態(tài)疊加法。

圖1 阻尼力位移變化曲線Fig.1 The change curve between damping

對于混合結(jié)構(gòu)，多自由度體系的改進(jìn)遲滯阻尼運(yùn)動(dòng)方程為

(11)

(12)

(13)

(14)

式(14)對應(yīng)的齊次方程為

(15)

由式(15)可計(jì)算出對應(yīng)的自振頻率和特征向量，采用改進(jìn)遲滯阻尼模型時(shí)，Kf可視為結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)剛度矩陣，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)過程將是剛度不斷變化的過程。由式(15)可知，方程的特征值和特征向量不僅與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼有關(guān)，還與運(yùn)動(dòng)過程中的符號(hào)矩陣有關(guān)。對于n自由度結(jié)構(gòu)，符號(hào)矩陣的個(gè)數(shù)為2n，因此，需要計(jì)算對應(yīng)的2n個(gè)特征值和特征向量。當(dāng)符號(hào)矩陣確定時(shí)，利用每個(gè)符號(hào)矩陣對應(yīng)的特征向量，可對式(11)進(jìn)行解耦計(jì)算，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)改進(jìn)遲滯阻尼模型的模態(tài)疊加法。

利用特征向量和加速度反應(yīng)譜，可計(jì)算每個(gè)符號(hào)矩陣對應(yīng)下的地震作用效應(yīng)，但為了保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性，用于設(shè)計(jì)的地震作用效應(yīng)須選擇最不利情況，即多種地震作用效應(yīng)中的最大值，從而可實(shí)現(xiàn)改進(jìn)遲滯阻尼模型的抗震分析SRRS法。

2 基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的加速度反應(yīng)譜

采用改進(jìn)遲滯阻尼模型時(shí)，單自由度體系的時(shí)域積分計(jì)算仍按照時(shí)間步長Δt進(jìn)行離散，任意時(shí)刻可表示為tk=kΔt(k=0,1,2…)。當(dāng)Δt取值足夠小時(shí)，可利用tk時(shí)刻結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)確定tk+1時(shí)刻的符號(hào)矩陣，并得到tk+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程，由此進(jìn)行時(shí)域迭代計(jì)算。利用單自由度的加速度響應(yīng)，可得到基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的加速度反應(yīng)譜。

加速度反應(yīng)譜是結(jié)構(gòu)抗震分析SRSS法的重要依據(jù)。以兩條地震波為例，分析了改進(jìn)遲滯阻尼模型加速度反應(yīng)譜和粘性阻尼模型反應(yīng)譜之間的差異。

在圖2和圖3中，計(jì)算所得的兩條地震波作用下改進(jìn)遲滯阻尼模型(CZ)的加速度譜值和粘性阻尼模型(NZ)的加速度譜值表明：在短周期段，CZ計(jì)算的加速度譜值小于NZ計(jì)算結(jié)果；在中周期段和長周期段，CZ計(jì)算的加速度譜值大于NZ計(jì)算結(jié)果。

圖2 遷安波東西分量加速度反應(yīng)譜Fig.2 The acceleration response spectrum of east-west Qian-an wave

圖3 El Centro波南北分量加速度反應(yīng)譜Fig.3 The acceleration response spectrum of south-north El Centro

由于本文的重點(diǎn)在于研究遲滯阻尼理論的改進(jìn)以及混合結(jié)構(gòu)SRSS法的實(shí)現(xiàn)方法，對于遲滯阻尼理論反應(yīng)譜的深入分析以及兩種阻尼模型對應(yīng)的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的差異和對地震響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的影響，有待后續(xù)研究進(jìn)一步澄清。與此同時(shí)，考慮到基于粘性阻尼理論的規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜存在人為抬高拉平的做法[18]，故在后續(xù)算例中采用改進(jìn)遲滯阻尼模型進(jìn)行SRSS計(jì)算時(shí)，仍暫時(shí)借用規(guī)范的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。

3 算例分析

如圖4所示，以不同材料組成的3層剪切型框架結(jié)構(gòu)為例，其具體參數(shù)為：抗震設(shè)防烈度為8度，設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.20g，設(shè)計(jì)地震分組為第2組，場地類別為II類，鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.02，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.05。

圖4 豎向混合結(jié)構(gòu)框架的質(zhì)量和剛度分布圖Fig.4 The mass and stiffness distribution of vertical mixed structure

質(zhì)量矩陣為

(16)

剛度矩陣為

(17)

阻尼矩陣為

(18)

對于3層框架，其符號(hào)矩陣共有8個(gè)，因此，需要計(jì)算每個(gè)符號(hào)矩陣對應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程下的框架層間剪力。如上文所述，基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的SRSS法可暫時(shí)采用規(guī)范反應(yīng)譜，據(jù)此可計(jì)算出8個(gè)符號(hào)矩陣對應(yīng)下的層間剪力，其結(jié)果如表1和圖5所示。

在圖5中，繪制了層間剪力的散點(diǎn)圖，可得到最大剪力包絡(luò)線，即選擇最不利地震作用效應(yīng)組合，從而計(jì)算出改進(jìn)遲滯阻尼模型下的框架層間剪力。

表1 采用改進(jìn)遲滯阻尼模型計(jì)算的層間剪力Table 1 Calculated story shear forces by improved hysteretic damping model

圖5 基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的層間剪力Fig.5 Story shear forces based on improved

混合結(jié)構(gòu)基于粘性阻尼模型的SRSS法可采用等效阻尼比ξd計(jì)算層間剪力。選擇等效阻尼比時(shí)，若直接取阻尼比的平均值，可得等效阻尼比為0.035；若采用復(fù)頻率法[6]確定混合結(jié)構(gòu)振型阻尼比，將質(zhì)量參與系數(shù)作為權(quán)系數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，得到的混合結(jié)構(gòu)等效阻尼比為0.038 9。分別采用粘性阻尼模型的SRSS法(NZ_SRSS)和改進(jìn)遲滯阻尼模型的SRSS法(CZ_SRSS)計(jì)算框架的層間剪力，其結(jié)果見表2。

表2 不同方法計(jì)算的層間剪力Table 2 Story shear forces with different methods

CZ_SRSS的計(jì)算結(jié)果較NZ_SRSS(ξd=0.035)計(jì)算的層間剪力增加幅度為14.81%～16.75%，表明CZ_SRSS的計(jì)算結(jié)果普遍較大，且頂層剪力增幅最大，達(dá)到16.75%；CZ_SRSS的計(jì)算結(jié)果較NZ_SRSS(ξd=0.038 9)計(jì)算的層間剪力增加幅度為16.92%～19.14%，其增幅規(guī)律類似，且頂層剪力增幅達(dá)到19.14%。

對于N層剪切型框架，第k層結(jié)構(gòu)在符號(hào)矩陣中對應(yīng)的對角元素為1，其他層結(jié)構(gòu)對應(yīng)的對角元素為-1，即

(19)

此時(shí)，相比粘性阻尼模型下原結(jié)構(gòu)的剛度分布情況，第k層結(jié)構(gòu)對應(yīng)的剛度增大，其他層對應(yīng)的剛度減小，進(jìn)而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果中第k層結(jié)構(gòu)對應(yīng)的地震作用效應(yīng)增大。

基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的SRSS法選擇每個(gè)符號(hào)矩陣對應(yīng)下的最大地震作用效應(yīng)，進(jìn)而形成最不利地震作用效應(yīng)組合，使得改進(jìn)遲滯阻尼模型計(jì)算的地震作用效應(yīng)大于粘性阻尼模型。

4 結(jié)論

經(jīng)理論推導(dǎo)和算例分析，得以下結(jié)論：

1)改進(jìn)遲滯阻尼模型具有每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無關(guān)的優(yōu)點(diǎn)，但改進(jìn)遲滯阻尼系統(tǒng)不再保持線性特征，具有局部的非線性特征。

2)與粘性阻尼模型相比，基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的模態(tài)疊加法可適用于非比例阻尼矩陣的混合結(jié)構(gòu)。

3)基于改進(jìn)遲滯阻尼模型的混合結(jié)構(gòu)抗震分析SRSS法需要計(jì)算每種符號(hào)矩陣下的地震作用效應(yīng)，計(jì)算量相對較大；若選擇最不利地震作用效應(yīng)組合，改進(jìn)遲滯阻尼模型計(jì)算的地震作用效應(yīng)比粘性阻尼模型計(jì)算的地震作用效應(yīng)更大，其增大幅度約為15%～20%。