邵敏華， 周晨陽

(同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804)

路網(wǎng)的交通流量分布是交通規(guī)劃、交通設計、交通管理工作中的重要基礎信息.對于龐大的城市路網(wǎng)而言，在每個路段都布設檢測器來獲取所有路段流量的方法耗資巨大，不具有可行性.因此，在實際應用中，如何通過布設少量的檢測器來獲取全路網(wǎng)所有路段的流量成為研究熱點，這就是網(wǎng)絡檢測器布設問題.檢測器布設問題可分為可測流問題和估計流問題[1].前者旨在以最少的檢測器數(shù)量和最優(yōu)的檢測器位置來唯一推算路網(wǎng)內(nèi)所有路段的流量[2]，后者則在檢測器數(shù)量不足以唯一推算所有路段流量的前提下，研究可獲取最優(yōu)流量估計值的檢測器布設方法[3-5].

本文關注的是檢測器布設可測流問題中的誤差分析.自Bianco等[2]于2001年首次提出這一問題以來，伍建國等[6]、邵敏華等[7-9]、Castillo等[10-15]、Rinaldi等[16-18]先后圍繞這一問題，選擇轉(zhuǎn)彎比、分流比、路段或路徑系數(shù)等不同的先驗信息以及計數(shù)檢測器、車牌檢測器等不同的檢測器類型，構建了多個模型，并給出了求解算法.其中，多數(shù)模型建立在檢測器誤差為零的前提下.現(xiàn)有研究對檢測器誤差的考慮較少，多為檢測器布設估計流問題中的誤差分析.Castillo等[12]在定位車牌識別檢測器時考慮了路徑匹配誤差來測量和估計路徑流量.Yang等[19]在2015年通過選擇一組可以保證可測和估計精度的關鍵OD(origin-destination)先驗信息,建立了OD可測分析與估計問題之間的聯(lián)系.

在檢測器布設與可測流問題研究中，僅Xu等[20]進行了討論，提出在零先驗信息條件下，可以用連接每個節(jié)點未檢測路段的最大數(shù)量最小或累積數(shù)量最小替代優(yōu)化目標，建立了考慮檢測器誤差的魯棒檢測器布設完全可測模型.

本文聚焦于檢測器布設與流量推算問題中的檢測器誤差分析，在文獻[7-9]研究的基礎上，以交叉口轉(zhuǎn)彎比為先驗信息，以路段流量檢測器為檢測手段，采用靈敏度分析的方法研究檢測器誤差對全路網(wǎng)流量推算結果的影響，并進行實例驗證.

1 問題提出

文獻[7-9]中，以唯一推算得到網(wǎng)絡內(nèi)所有路段的流量為目標，以交叉口轉(zhuǎn)彎比為先驗信息，以路段流量檢測器為檢測手段，建立了網(wǎng)絡檢測器布設可測流模型，確定了最小檢測器數(shù)量，并給出了檢測器布設位置優(yōu)化算法.

首先對路段分類，按路段與交叉口的關系可將路段分為以下三類[7-8]：①只出路段，在研究路網(wǎng)范圍內(nèi)僅為某交叉口的出口路段而不是任何交叉口的進口路段；②進出路段，在研究路網(wǎng)范圍內(nèi)同時為交叉口的進口路段和出口路段；③只進路段，在研究路網(wǎng)范圍內(nèi)僅為某交叉口的進口路段而不是任何交叉口的出口路段.只出路段和進出路段統(tǒng)稱為出口路段.

本文中檢測器布設以路段為單位，設路網(wǎng)由k條路段組成，其中有m條出口路段，有(k-m)條只進路段，g條交通生成量非零路段.全網(wǎng)流量可測的加權網(wǎng)絡檢測器布設問題(NSLP)模型如下所示：

maxWY

式中:W是所有路段的權重向量，W=(w1,w2,…,wj,…,wk+g)，wj用于綜合表征路段j的重要性和檢測成本，路段重要性越高，檢測成本越低，wj越大；Y是決策向量，Y=(y1,y2,…,yj,…,yk+g)T，yj為決策變量，yj=1代表路段j被檢測，yj=0代表路段j不被檢測；C是系數(shù)矩陣.C源于流量守恒方程，如下所示：

CX=B

其中，

aij=

A1表示只出路段和只進路段組成的集合.

系數(shù)矩陣C可分為子陣A和Y′.子陣A由基于轉(zhuǎn)彎比的流量守恒方程得到，子陣Y′記錄檢測路段及其位置信息.C可表示為

其中，

X為推算路段的流量向量，X=(x1,x2,…,xk+g)T.B為常數(shù)項列向量，B=(b1,b2,…,bm,bm+1,bm+2,…,bm+k+g)T，向量B也可分成B0和BY兩部分，B=(B0，BY)T，其中B0=(b1,b2,…,bm)T，BY=(bm+1,bm+2,…,bm+k+g)T.B0是流量守恒方程組的常數(shù)項系數(shù)，由m個零元素組成，即b1=b2=…=bm=0；BY由(k+g)個檢測路段的檢測流量組成.

可以看出，這一模型是基于零檢測器誤差建立的，但在實際應用中，檢測器誤差難以避免.檢測器誤差的存在必然會對路網(wǎng)流量推算結果造成影響.以文獻[8]中的實例路網(wǎng)為例，說明檢測器誤差對流量推算的影響.

以圖1所示的簡單路網(wǎng)為例，共14個路段，假設路網(wǎng)所有路段均無交通生成量.確定檢測路段集{9,10,11,12,13,14}，假設所有路段轉(zhuǎn)彎比均為(0.1,0.6,0.3)，此時矩陣C的秩等于路段數(shù)14，基于式(1)，根據(jù)流量守恒方程組唯一確定各個路段上的流量.

圖1 簡單路網(wǎng)示例

在零誤差條件下，假設所有檢測路段的流量均為1 000，可唯一推算路網(wǎng)中所有路段的流量，如表1所示.現(xiàn)假設路段9的檢測器出現(xiàn)20%的誤差，使得檢測流量變?yōu)?00，采用存在誤差的檢測數(shù)據(jù)進行流量推算，結果也列于表1中.

由表1可知，路段9出現(xiàn)檢測器誤差后，{2,3,4,5,6,7}路段的推算流量都出現(xiàn)不同程度的變化.剖析檢測器誤差對流量推算結果的影響機理對于完善既有模型、提高流量推算精度具有十分重要的意義.

2 檢測器誤差對路網(wǎng)推算流量的靈敏度分析方法

本文中采用靈敏度分析方法研究檢測器誤差對路網(wǎng)流量推算的影響.路網(wǎng)中的路段可以分成以下三類：①檢測路段,通過檢測器可以直接測量流量的路段；②誤差源路段，檢測路段中存在檢測器誤差的路段；③推算路段，路段流量需通過檢測路段流量來推算的路段.

以誤差源路段檢測器誤差為零時的路網(wǎng)流量推算結果為真值，在非飽和路網(wǎng)中，研究誤差源路段存在不同程度的檢測器誤差時，路網(wǎng)流量推算結果與真值之間差異程度的變化.

2.1 給定檢測器布設方案下的流量守恒方程組構建

由于原流量守恒方程組是對一般情況的表示，而本文研究是基于某種給定檢測器布設的方案，為了簡化計算，有必要簡化原流量守恒方程組，構建出給定檢測器布設方案下的流量守恒方程組.

原系數(shù)矩陣C包含(k+g)條路段，令n=k+g，即C中包含n條路段.另外，C的子陣Y′含有實際信息的只有布設檢測器的(n-m)行，其余部分全為零.為簡化模型，刪去Y′中全是零的行，并對路段進行重新編號.對于檢測路段在最后的(n-m)行，即檢測路段集對應行號為{m+1,m+2,…,n}的行，將這(n-m)個檢測器記為{ym+1,ym+2,…，yn}.將原系數(shù)矩陣C中(n-m)個檢測器對應列調(diào)到最右，使得新矩陣右下角(n-m)(n-m)子陣為對角矩陣，這樣生成新的系數(shù)矩陣，記為C1.C1中系數(shù)aij因為列調(diào)換而變化，使常數(shù)項列向量B變?yōu)锽1，同時解集X中每個元素對應的路段也發(fā)生變化.生成的新流量守恒方程為

C1X=B1

其中，

X=(x1,x2,…,xn)T

B1=(b1,b2,…,bm,bm+1,…,bj,…,bn)′

將B1中前m個元素組成的向量記為B0，則B0=(b1,b2,…,bm)T=(0,0,…,0)T.B1的后(n-m)個元素表示檢測路段的流量，記為BY，BY=(bm+1,…,bj,…,bn)T.

2.2 流量推算誤差項推導

表1 有無檢測器誤差的流量推算結果比較

對推算流量有

因此，可得

2.3 單個路段檢測器誤差的影響——影響系數(shù)

(1)

式中：ΔB(j)表示向量ΔB的第j個元素.

ΔX=ΔbUj=ΔbCe=

為反映單個誤差源路段檢測器誤差對推算路段流量推算結果的影響，定義影響系數(shù)為：將cie定義為誤差源路段ys檢測器誤差對路段i的流量推算結果的影響系數(shù)，i∈{1,2,…,n}，路網(wǎng)所有路段影響系數(shù)的集合稱為影響向量，即c1e,c2e,…,cie,…,cne分別是誤差源路段ys對路段1,2,…,n的影響系數(shù)，Ce為誤差源路段ys的影響向量.

2.4 多個路段檢測器誤差的影響——關鍵系數(shù)

(2)

因此，可以算出流量變化量ΔX.ΔX計算式如下所示：

為了反映多個誤差源路段檢測器誤差對推算路段流量推算結果的影響，定義關鍵系數(shù)為：將多個誤差源路段檢測器誤差對某一推算路段流量推算結果的影響程度定義為關鍵系數(shù)，路網(wǎng)所有路段關鍵系數(shù)的集合稱為關鍵向量.

2.5 關鍵系數(shù)和影響系數(shù)的關系

根據(jù)影響系數(shù)和關鍵系數(shù)的定義，對應單個誤差源路段時，Ce是影響向量也同為關鍵向量，因此關鍵向量就是影響向量，關鍵系數(shù)就是影響系數(shù).對應多個誤差源路段時(假設有r個誤差源路段)，Ce1,Ce2,…,Cer分別為誤差源路段ys1,ys2,…,ysr的影響向量，而ΔX為關鍵向量.

從式(2)可看出，關鍵向量是對影響向量的線性疊加，對于路網(wǎng)中每個路段來說，關鍵系數(shù)是對影響系數(shù)的線性疊加.因此，多個誤差源路段流量檢測器誤差對路網(wǎng)流量推算結果的影響是單個誤差源路段影響系數(shù)的線性疊加，同時也是單個誤差源路段流量檢測器誤差影響的線性疊加.

3 基于靈敏度理論的檢測器誤差分析示例

基于第2節(jié)的檢測器誤差靈敏度分析方法，本節(jié)以方格式路網(wǎng)為實例分析檢測器誤差對推算流量的影響.

3.1 示例路網(wǎng)

首先建立一個簡化的3×3方格式路網(wǎng)，每個路口均采取典型十字交叉口，具體布局如圖2所示.

從圖2可以看到，實例路網(wǎng)共有48條路段，36條出口路段，12條只進路段，12條只出路段.用Oin表示只進路段集，Oout表示只出路段集，則

Oin={1,3,5,10,11,24,25,38,39,44,46,48}

Oout={2,4,6,7,14,21,28,35,42,43,45,47}

3.2 檢測器布設方案選擇和交叉口轉(zhuǎn)彎比

根據(jù)加權NSLP模型[8]，對于實例路網(wǎng)，要保證全網(wǎng)推算流量的唯一性，只要滿足

圖2 3×3方格式路網(wǎng)

本文中選取了只進方案和只出方案進行實例分析：①只進方案，在Oin布設檢測器的檢測器布設方案；②只出方案，在Oout布設檢測器的檢測器布設方案.

經(jīng)過檢驗只進方案和只出方案下的系數(shù)矩陣C1的秩均為48，即兩種方案均可唯一推算路網(wǎng)所有路段流量.

為簡化計算，假定所有交叉口進口道的轉(zhuǎn)彎比都相同，并將轉(zhuǎn)彎比定為左轉(zhuǎn)0.1、直行0.6、右轉(zhuǎn)0.3.

3.3 檢測器誤差的設定

基于第2節(jié)的檢測器誤差靈敏度分析方法，為簡化分析，假設誤差源路段的流量誤差為單位1(當誤差是單位1的倍數(shù)時關鍵系數(shù)也呈倍數(shù)增長).對單個誤差源路段，令Δb=1，影響向量和關鍵向量均為Ce；對多個誤差源路段(假設有r個誤差源路段)，令Δbs1=Δbs2=…=Δbsr=1，此時誤差源路段ys1,ys2,…,ysr的影響向量分別為Ce1,Ce2,…,Cer，關鍵向量ΔX的表達式為

3.4 只進方案檢測器誤差的靈敏度分析實例

3.4.1單個誤差源路段

表2 只進方案誤差源路段1關鍵系數(shù)

根據(jù)表2和實例路網(wǎng)的底圖，畫出誤差源路段1對各推算路段關鍵系數(shù)的三維柱狀圖，如圖3所示.

圖3 只進方案誤差源路段1的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

同理可以畫出誤差源路段3的關鍵系數(shù)柱狀圖，如圖4所示.

由圖3和圖4可知，對于只進方案單個誤差源路段時，所有路段誤差都小于誤差源路段的檢測器誤差，并且在整體上路段的流量推算誤差隨著與誤差源路段距離的增加而減少.

3.4.2多個誤差源路段

兩列影響系數(shù)分別對應誤差源路段1、3檢測器誤差對推算路段流量推算結果的影響，兩列影響系數(shù)之和就是關鍵系數(shù).關鍵系數(shù)柱狀圖如圖5所示.

圖4 只進方案誤差源路段3的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

由圖5可知，對于只進方案，關鍵系數(shù)均非負并不超過單位1，說明所有推算路段與誤差源路段的流量變化方向一致，所有路段誤差都小于誤差源路段的檢測器誤差，并且多個檢測器誤差的整體影響效果是單個檢測器誤差影響效果的線性疊加.

3.5 只出方案檢測器誤差的靈敏度分析實例

只出方案的實例分析與只進方案類似，對單個誤差源路段選擇2和4，對多個誤差源路段選擇相鄰路段{2,4}，分別畫出關鍵系數(shù)柱狀圖，如圖6～8所示.

由圖6～8可知，對于只出方案，多個檢測器誤差的整體影響仍是單個檢測器誤差影響效果的線性疊加，但部分推算路段關鍵系數(shù)出現(xiàn)負值，也有關鍵系數(shù)絕對值超過單位1的，說明部分推算路段與誤差源路段的流量變化方向相反，部分路段誤差會大于誤差源路段的檢測器誤差.在整體上，路段的流量推算誤差隨與誤差源路段距離的增加而增加.

表3 只進方案誤差源路段1、3的影響系數(shù)和關鍵系數(shù)

圖5 只進方案誤差源路段1、3的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖6 只出方案誤差源路段2的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖7 只出方案誤差源路段4的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖8 只出方案誤差源路段2、4的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

3.6 交叉口轉(zhuǎn)彎比不同情況下的分析

以上是在所有交叉口進口道轉(zhuǎn)彎比相同假設下的示例分析.在實際路網(wǎng)中，不同交叉口的轉(zhuǎn)彎比往往不同，這里對這一情況給出簡單示例.

隨機生成3×3方格式路網(wǎng)的路段轉(zhuǎn)彎比，任意轉(zhuǎn)彎比范圍都是[0,1]，同時滿足左轉(zhuǎn)、直行、右轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)彎比之和為1，如表4所示.

在其他條件與前文相同的前提下，采用如表4所示的隨機轉(zhuǎn)彎比數(shù)據(jù)，分別計算只進方案下誤差源路段1、誤差源路段3和誤差源路段1、3的關鍵系數(shù)，如圖9～11所示.

由圖9～11可得，對于只進方案，隨機轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段1、3的關鍵系數(shù)是誤差源路段1和3影響系數(shù)的疊加.對于只出方案，經(jīng)過驗證也得到了同樣的結論，這里不再贅述.可見，在各交叉口轉(zhuǎn)彎比不同的情況下，多個檢測器誤差的整體影響仍是單個檢測器誤差影響效果的線性疊加.

表4 3×3方格式路網(wǎng)路段隨機轉(zhuǎn)彎比

圖9 隨機轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段1的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

3.7 檢測器誤差分析實例小結

對比兩個方案的分析結果可以看出：只進方案和只出方案下，多個檢測器誤差的整體影響都是單個檢測器誤差影響效果的線性疊加.對于只進方案，關鍵系數(shù)均非負，所有路段誤差均小于誤差源路段的檢測器誤差，而對于只出方案，部分路段關鍵系數(shù)超過單位1，推算誤差大于誤差源路段的檢測器誤差.

圖10 隨機轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段3的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖11 隨機轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段1、3的關鍵系數(shù)三維柱狀圖

4 結語

本文采用靈敏度分析方法研究檢測器誤差對路網(wǎng)流量推算的影響.將靈敏度分析方法作為檢測器誤差分析的通用方法，定義影響系數(shù)和關鍵系數(shù)來反映誤差源路段檢測器誤差對推算路段流量推算結果的影響.影響系數(shù)反映了單個誤差源路段檢測器誤差對推算路段流量推算結果的影響，關鍵系數(shù)是影響系數(shù)線性之和，反映了所有誤差源路段檢測器誤差對推算路段流量推算結果的影響.推導結果表明，多個檢測器誤差的整體影響是單個檢測器誤差的線性疊加.

以方格式路網(wǎng)為示例，分只進方案和只出方案，計算推算路段受檢測器誤差影響的關鍵系數(shù).結果表明，兩種方案下檢測器誤差的傳遞規(guī)律有所不同.對于只進方案，所有路段誤差均小于誤差源路段的檢測器誤差，并且變化方向與誤差源路段一致；對于只出方案，推算路段隨誤差源路段的流量變化方向不定，并且部分推算路段誤差大于誤差源路段的檢測器誤差.