欒書靜，余 航，何立國(guó)

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

設(shè)G是非交換有限群，bcl(G)是群G的最大共軛類長(zhǎng)，S(G)是群G的基柱，即G的所有極小正規(guī)子群的積．群G的非中心共軛類對(duì)群G的結(jié)構(gòu)有重要影響[1-4]．李美艷等[5]、溫海風(fēng)等[6]給出了群G的非中心共軛類數(shù)至多為5時(shí)群G的結(jié)構(gòu)，VERA-LOPEZ A等[7-9]刻畫了共軛類數(shù)不超過(guò)14時(shí)群G的結(jié)構(gòu).以此為基礎(chǔ)，筆者擬給出非中心共軛類數(shù)介于6與9之間時(shí)群G的結(jié)構(gòu)，以及非中心共軛類數(shù)是10且有可解基柱時(shí)群G的結(jié)構(gòu)．文中的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)除特別說(shuō)明之外，與文獻(xiàn)[7-8]一致．

證畢．

證明由不等式2zbcl(G)≤|G|≤z+nbcl(G)即可得．

定理1設(shè)n是群G的非中心共軛類數(shù)，若6≤n≤9，則G同構(gòu)于下列群之一：

(1)當(dāng)n=6，s≤12時(shí)，G?C13×fC3，D22，C7×fC6，C13×fC4，C11×fC5，S5，A6，C2×D10，C5×λC4，C2×A4，GL(2,3)，SL(2,3)·C4，C3×λS3，C2×D8，C4×λC4，(C4×C2)×λ1C2或C8×λC2．

(5)當(dāng)6≤n≤9，13≤s≤14時(shí)，非冪零群G包含在文獻(xiàn)[9]的表1或表3中，冪零群G是27階群或階最大為128的2-群．

(6)當(dāng)n=9，s=15時(shí)，G?C3×D8或C3×Q8．

證明若n≤9，由引理1得s≤15，若s=15，由引理1得n≥9，因此n=9，z=6.由不等式2zbcl(G)≤|G|≤z+nbcl(G)，可得bcl(G)=2，|G|=24．根據(jù)文獻(xiàn)[7-9]可得s≤14的有限群結(jié)構(gòu)，而通過(guò)GAP計(jì)算可知z=6，n=9，24階群中僅有群C3×D8或C3×Q8滿足條件s=15.

證畢．

定理2設(shè)n是群G的非中心共軛類數(shù)，群G的基柱S(G)是可解的，若n=10，則G同構(gòu)于下列群之一：

(1)當(dāng)bcl(G)=2時(shí)，G=P×A，P是G的Sylow-2子群，A是交換群．

(3)當(dāng)13≤s≤14時(shí)，非冪零群G包含在文獻(xiàn)[9]的表1或表3中，冪零群G是2-群且階最大為128．

(4)當(dāng)s=15時(shí)，G?C5×S3．

證畢．