劉志剛，管殿柱，白碩瑋，張開(kāi)拓

（青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，青島 266071）

0 引言

目前齒輪常用齒形為擺線與漸開(kāi)線，而圓弧齒輪的產(chǎn)生使其成為二者之后的最常見(jiàn)齒形。然而三者之間存在較大差別，與前兩者不同的是，后者的接觸線與齒高的平行度非常高，并且隨著螺旋角的減小，其曲率半徑會(huì)增加，進(jìn)而影響其疲勞強(qiáng)度。基于此，圓弧齒輪的疲勞強(qiáng)度會(huì)有較大完善，因此亦可降低其材料強(qiáng)度要求[1]。

在從嚙合到脫離的過(guò)程中，一對(duì)圓弧齒輪的行程與它們的齒寬大約相等，而且比漸開(kāi)線齒輪大6～20倍。由于其滾動(dòng)速度較高，易于產(chǎn)生油膜。結(jié)合透平壓縮機(jī)的工作情形，一般情況下圓弧齒輪耐磨損性與抗疲勞性都相對(duì)較高[2]。

1 雙圓弧齒輪的嚙合特性

1.1 圓弧齒輪的齒面方程式

圓弧齒輪的齒面是基本齒條齒面在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的包絡(luò)曲面。以圓弧齒輪的基本齒廓作為基本齒條的法截面齒形來(lái)建立圓弧齒輪的齒面方程式[3]。圓弧齒輪的凸齒面刃是由基本齒條的凹齒面∑1包絡(luò)而成[4]。設(shè)定相應(yīng)的坐標(biāo)系以完成齒面方程的建立，如圖1所示。

根據(jù)以上觀點(diǎn)與圖示方法，得到法面圓弧齒輪的通用方程式為：

圖1 齒面方程計(jì)算圖

1.2 圓弧齒輪的齒形

在1980年上海召開(kāi)的齒形定型會(huì)上，確定將B2940—81型雙圓弧齒形作為統(tǒng)一通用型標(biāo)誰(shuí)齒形。在此齒形基礎(chǔ)上，1991年擴(kuò)大了模數(shù)系列，制訂了國(guó)標(biāo)齒形，即GB12759—91型，它是目前應(yīng)用最廣泛的標(biāo)準(zhǔn)齒形，其基本齒廓如圖2所示。

圖2 GB 12759—91型雙圓弧齒輪基本齒廓

2 系統(tǒng)的總體方案設(shè)計(jì)

雙圓弧圓柱齒輪設(shè)計(jì)流程圖如圖3所示，首先需要確定輸入的原始參數(shù)，包括初選的齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)：小齒輪齒數(shù)z1、大齒輪齒數(shù)z2、模數(shù)m、壓力角α、螺旋角β、齒寬b等參數(shù)，然后進(jìn)行初步計(jì)算確定輸入的參數(shù)是否正確；若不正確則需重新輸入設(shè)計(jì)參數(shù)，若正確則進(jìn)行下一步：計(jì)算中心距，并將位數(shù)圓整為0或5，調(diào)用標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)子函數(shù)重新選擇模數(shù)、齒數(shù)等參數(shù)，然后調(diào)用子函數(shù)校核齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度，若都符合強(qiáng)度要求則在SolidWorks里輸出雙圓弧齒輪模型。

圖3 程序設(shè)計(jì)流程圖

2.1 雙圓弧圓柱齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)

雙圓弧圓柱齒輪設(shè)計(jì)系統(tǒng)用戶界面如圖4所示，主要包括雙圓弧圓柱齒輪幾何計(jì)算和三維建模兩個(gè)模塊，其中主要齒輪幾何計(jì)算主要包括基本參數(shù)輸入、基本齒廓參數(shù)計(jì)算以及雙圓弧圓柱齒輪傳動(dòng)裝配參數(shù)結(jié)果輸出三部分，其中基本參數(shù)輸入模塊包括大小齒輪的齒數(shù)z1、z2、模數(shù)m、壓力角α、螺旋角β和齒寬b；雙圓弧基本齒廓參數(shù)包括齒頂和齒根的高度、凸齒與凹齒圓弧半徑以及二者的圓心移距量和圓心偏移量等參數(shù)[5,6]。

雙圓弧圓柱齒輪配合與計(jì)算結(jié)果輸出參數(shù)主要包括中心距a、速比、縱向重合度、凸凹齒接觸點(diǎn)軸距、接觸點(diǎn)距離系數(shù)、總重合度、大小齒輪分度圓直徑和齒頂圓直徑等參數(shù)。

圖4 雙圓弧齒輪設(shè)計(jì)系統(tǒng)界面

如圖設(shè)置完所需齒輪參數(shù)后，點(diǎn)擊“計(jì)算”按鍵，雙圓弧圓柱齒輪的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 雙圓弧圓柱齒輪設(shè)計(jì)系統(tǒng)輸出計(jì)算結(jié)果界面

2.2 雙圓弧圓柱齒輪強(qiáng)度校核

2.2.1 強(qiáng)度校核計(jì)算程序數(shù)學(xué)模型

雙圓弧圓柱齒輪齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度的校核計(jì)算公式如表1所示。

表1 雙圓弧圓柱齒輪強(qiáng)度校核計(jì)算公式

為了校核雙圓弧圓柱齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度和接觸疲勞強(qiáng)度，設(shè)計(jì)其流程圖如圖6所示。首先需要輸入原始齒輪參數(shù)數(shù)據(jù)如大小齒輪齒數(shù)、模和壓力角等，并確認(rèn)輸入值是否正確，然后調(diào)用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度校核模塊，若不正確需要對(duì)輸入的參數(shù)進(jìn)行修改。然后進(jìn)行調(diào)用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度校核模塊，最終輸出校核結(jié)果，并SolidWorks里輸出三維模型。

圖6 雙圓弧圓柱齒輪校核流程圖

2.2.2 雙圓弧圓柱齒輪接觸強(qiáng)度與彎曲強(qiáng)度校核

如圖7所示，雙圓弧圓柱齒輪接觸強(qiáng)度校核界面主要包括齒輪材料參數(shù)、系數(shù)計(jì)算和計(jì)算輸出三項(xiàng)。用戶在選擇齒輪的材料后，系統(tǒng)會(huì)匹配相應(yīng)的材料屈服極限，在大小齒輪的材料都確定后，系統(tǒng)會(huì)相應(yīng)計(jì)算其最小安全系數(shù)即最小彎曲強(qiáng)度值。系數(shù)計(jì)算模塊主要有有效齒寬b、使用系數(shù)KA、動(dòng)載系數(shù)KV和接觸跡內(nèi)載荷分配系數(shù)K1等。計(jì)算輸出模塊包含的齒輪參數(shù)有接觸應(yīng)力σH和計(jì)算安全系數(shù)SH，并且可以在校核結(jié)果中顯示是否合格。

圖7 雙圓弧圓柱齒輪接觸強(qiáng)度校核界面

如圖8所示，與接觸強(qiáng)度校核同理，雙圓弧圓柱齒輪彎曲強(qiáng)度校核界面亦包含齒輪材料參數(shù)、系數(shù)計(jì)算和計(jì)算輸出三個(gè)模塊。

圖8 雙圓弧圓柱齒輪彎曲強(qiáng)度校核界面

如圖7與圖8所示設(shè)置相應(yīng)齒輪參數(shù)后，點(diǎn)擊“開(kāi)始校核”按鈕，校核結(jié)果無(wú)誤后，單擊幾何計(jì)算與三維建模界面下的“三維建?！卑粹o，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)啟動(dòng)SolidWorks軟件，并生成雙圓弧齒輪模型。如圖9所示是生成的雙圓弧斜齒輪副，其模數(shù)m=2，小齒輪齒數(shù)z1=20，大齒輪齒數(shù)z2=36，齒寬為b=10。

圖9 雙圓弧齒輪副SolidWorks模型

3 雙圓弧齒輪有限元接觸分析

3.1 有限元模型前處理

將生成的雙圓弧齒輪副零件與裝配體分別另存，將齒輪副裝配模型導(dǎo)入到Workbench軟件中。雙圓弧齒輪分析為結(jié)構(gòu)非線性分析，選擇Analysis Systrms下的瞬態(tài)結(jié)構(gòu)分析（Transient Structural）命令對(duì)其進(jìn)行分析。齒輪材料選用合金鋼，在Project主界面定義材料，在Model中的Geometry中選擇為齒輪所定義的材料。Workbench中默認(rèn)實(shí)體單元為Solid186（3D20N），為了最大限度地提高有限元計(jì)算精度以盡量與實(shí)際工況相符，以及滿足網(wǎng)格劃分時(shí)對(duì)模型施加載荷的要求，采用Solid 185單元對(duì)齒輪副進(jìn)行有限元分析[7～12]。雙圓弧齒輪的材料參數(shù)如表2所示。

表2 齒輪材料參數(shù)

3.2 網(wǎng)格劃分

設(shè)置完齒輪材料后，對(duì)其有限元模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。為減少計(jì)算機(jī)迭代時(shí)的計(jì)算時(shí)間，選用四面體網(wǎng)格對(duì)齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將網(wǎng)格大小設(shè)置成智能尺寸，軟件會(huì)自動(dòng)對(duì)齒輪模型進(jìn)行特征識(shí)別，并且根據(jù)模型不同細(xì)節(jié)特征進(jìn)行相應(yīng)合理的細(xì)化和單元分布，最終生成利于計(jì)算與分析的網(wǎng)格模型。劃分好網(wǎng)格的模型如圖10所示，本模型所建網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)共計(jì)30836個(gè)。

圖10 劃分網(wǎng)格后的雙圓弧齒輪模型

3.3 定義接觸對(duì)

選擇Connection中的Frictional命令，對(duì)齒輪副輪齒接觸對(duì)進(jìn)行接觸定義，將主動(dòng)輪齒面和從動(dòng)輪齒面分別定義為目標(biāo)面和接觸面[13]，在Type欄中選擇Frictional選項(xiàng)并且將摩擦系數(shù)（Fritional Size）設(shè)為0.1。

3.4 設(shè)置邊界條件

在劃分完網(wǎng)格和定義完接觸對(duì)后，需要對(duì)齒輪副模型進(jìn)行施加載荷。在雙圓弧齒輪的傳動(dòng)過(guò)程中，其中嚙合的輪齒數(shù)以及其位置的變化隨著齒寬的改變而改變。分別對(duì)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪施加轉(zhuǎn)動(dòng)副后對(duì)其施加Joint Load，在主動(dòng)輪內(nèi)孔上選擇施加類型為轉(zhuǎn)速（Rotational Velocity），定義其大小為600PRM，在從動(dòng)輪內(nèi)孔上選擇施加轉(zhuǎn)矩（Moment），定義其大小為10N·m，使大齒輪只保證在與小齒輪配合上的轉(zhuǎn)動(dòng)而非其余自由度的移動(dòng)。設(shè)定初始子步和最小子步為10，最大子步為1000。

3.5 結(jié)果與討論

將約束完成后的齒輪有限元模型進(jìn)行計(jì)算得到最終的分析云圖，其中的應(yīng)力云圖如圖11所示。

圖11 雙圓弧齒輪應(yīng)力云圖

由分析結(jié)果知，雙圓弧齒輪在此齒寬與約束條件下，其接觸最大應(yīng)力為226.85MPa，滿足合金鋼屈服極限要求。

4 結(jié)論

本文針對(duì)雙圓弧圓柱齒輪，建立了雙圓弧齒輪數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了齒輪VB參數(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，其中包含雙圓弧齒輪的三維設(shè)計(jì)、齒面接觸強(qiáng)度校核和齒根彎曲強(qiáng)度校核。輸入?yún)?shù)根據(jù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)出的齒輪模型，對(duì)其進(jìn)行有限元分析。通過(guò)對(duì)齒輪副進(jìn)行接觸分析，得到其應(yīng)力云圖，其最大應(yīng)力為226.85MPa，結(jié)果證明系統(tǒng)設(shè)計(jì)的齒輪復(fù)合材料要求。系統(tǒng)界面簡(jiǎn)單易懂，易于操作，減少了雙圓弧齒輪的設(shè)計(jì)與校核時(shí)間，對(duì)齒輪的設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。