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        一種用于密度法的SR插值模型

        2019-05-05 09:15:34劉曉晨敬石開(kāi)郄龍飛
        制造業(yè)自動(dòng)化 2019年4期
        關(guān)鍵詞:楊氏模量插值懲罰

        劉曉晨,孫 宇 ,敬石開(kāi),郄龍飛

        (1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,南京 210094;2.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院,北京 100029)

        0 引言

        拓?fù)鋬?yōu)化是一種在給定設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi),根據(jù)邊界及載荷條件,在滿足特定限制要求的情況下實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性能最優(yōu)的先進(jìn)設(shè)計(jì)方法,其屬于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種[1]。自1988年Bendsoe和Kikuchi[2]提出均勻化方法以來(lái),拓?fù)鋬?yōu)化得到快速發(fā)展,目前已發(fā)展出多種類型的優(yōu)化方法,如密度法[3]、水平集法[4]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法[5]、組件優(yōu)化法[6]、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法[7]等。

        密度法是常用的一種拓?fù)鋬?yōu)化方法,其基本思想是人為的引入一種假想的取值為{0,1}的密度變量,其中0代表空相材料,由白色表示,1代表實(shí)體相材料,由黑色表示。建立拓?fù)鋬?yōu)化模型時(shí),以材料密度為設(shè)計(jì)變量,通過(guò)單元密度值來(lái)控制單元的增刪,實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變。

        因設(shè)計(jì)變量只能取值0或1,上述拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題是一個(gè)典型的離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題是指設(shè)計(jì)變量在優(yōu)化過(guò)程中只能取某些離散值,而不是在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)變化[8]。因設(shè)計(jì)變量不連續(xù),導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)和約束條件不可微,因此離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題在求解時(shí)只能借助組合數(shù)學(xué)方法,而不能使用解析數(shù)學(xué)方法[9]。但拓?fù)鋬?yōu)化的典型特征就是設(shè)計(jì)變量規(guī)模大,密度法中設(shè)計(jì)變量數(shù)量與有限元網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量相等,均勻化方法中設(shè)計(jì)變量數(shù)量是有限元網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量的3倍。這帶來(lái)的問(wèn)題就是“組合爆炸”,某些情況即使借助計(jì)算機(jī)也難以求解。

        為了避免離散變量拓?fù)鋬?yōu)化中的上述問(wèn)題,通常對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行松弛,將設(shè)計(jì)變量取值范圍由{0,1}放松到[0,1],允許其在0到1之間連續(xù)取值。此舉有效緩解了優(yōu)化求解過(guò)程中的組合爆炸問(wèn)題,但是將密度值松弛到[0,1]意味著在優(yōu)化過(guò)程中引入了中間密度變量(即處于0和1之間的密度變量),中間密度變量沒(méi)有物理意義,并且使得優(yōu)化結(jié)果中產(chǎn)生大量的灰度單元(介于黑與白之間的灰色單元)。

        為了抑制中間密度單元的產(chǎn)生,密度法中通常采用懲罰策略對(duì)中間密度變量進(jìn)行處理,迫使其向0或者1兩端靠攏,從而得到清晰的0-1解,此類方法又稱為材料插值模型。密度法中最有代表性的材料插值模型是SIMP模型[10,11]和RAMP模型[12]。SIMP模型通過(guò)冪指數(shù)的形式對(duì)中間密度單元進(jìn)行懲罰,RAMP模型通過(guò)有理數(shù)的形式對(duì)中間密度單元進(jìn)行懲罰,其與SIMP模型的主要區(qū)別是設(shè)計(jì)變量在0處的敏度不為0,這有助于抑制低密度值單元的產(chǎn)生,并提高優(yōu)化過(guò)程穩(wěn)定性。但RAMP模型采用有理數(shù)的形式進(jìn)行懲罰,其優(yōu)化效率遠(yuǎn)低于SIMP模型。

        總的來(lái)說(shuō),SIMP模型具有較高的優(yōu)化效率,RAMP模型具有較高的穩(wěn)定性。但二者仍處于割裂狀態(tài),為了充分利用二者的優(yōu)勢(shì),可以構(gòu)建統(tǒng)一的懲罰模型。統(tǒng)一模型一般采用加權(quán)的形式,這種處理方式在多相材料中已有出現(xiàn)[13]:對(duì)于沒(méi)有空白相的兩相材料結(jié)構(gòu),可以使用插值,該插值對(duì)于每個(gè)材料相采用Hashin-Shtrikman上限和下限的加權(quán)平均值方式進(jìn)行處理;對(duì)于帶有空白相的兩相材料結(jié)構(gòu),則使用SIMP模型和Hashin-Shtrikman模型進(jìn)行混合插值處理[14]。

        受此啟發(fā),本文首先提出一種SIMP模型和RAMP模型加權(quán)的插值模型,即SR模型。SR模型通過(guò)加權(quán)因子將SIMP和RAMP向結(jié)合,通過(guò)調(diào)整加權(quán)因子的取值,SR模型可以轉(zhuǎn)換為SIMP模型或者RAMP模型;其次,在SR模型框架下,構(gòu)建了以機(jī)械柔順度為目標(biāo)函數(shù),體積約束為約束條件的拓?fù)鋬?yōu)化模型;最后,研究了適用于該優(yōu)化模型的優(yōu)化準(zhǔn)則求解算法,以及SR模型在不同加權(quán)因子取值策略下的懲罰效果。

        1 SR模型構(gòu)建基礎(chǔ)

        SIMP模型和RAMP模型均屬于隱式懲罰法,其直接對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行懲罰。SIMP模型采用冪指數(shù)的形式對(duì)中間密度單元進(jìn)行懲罰,單元i的楊氏模量Ei可表示為:

        其中,E0表示固體相的楊氏模量,Emin表示空白相的楊氏模量,其被賦予一個(gè)非常小的值以防止優(yōu)化過(guò)程中剛度矩陣變得奇異,xi為設(shè)計(jì)變量密度,p為懲罰因子。圖1展示了懲罰因子p在不同取值下的SIMP插值模型的變化曲線。

        圖1 SIMP插值模型曲線圖

        圖1中X坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量密度,Y坐標(biāo)為單元楊氏模量。如圖所示,當(dāng)懲罰因子p取值為1時(shí),SIMP模型為一條直線,此時(shí)SIMP模型對(duì)中間密度單元沒(méi)有懲罰力度,目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù),優(yōu)化模型有唯一的全局最優(yōu)解;隨著懲罰因子p取值增加,SIMP模型對(duì)中間密度單元的懲罰力度逐漸加強(qiáng),目標(biāo)函數(shù)由凸函數(shù)轉(zhuǎn)為非凸函數(shù)。從圖1中可以看出,當(dāng)懲罰因子p取值大于20時(shí),密度值處于0.8以下的單元基本被歸為0。

        RAMP模型采用有理數(shù)的形式對(duì)中間密度單元進(jìn)行懲罰,單元i的楊氏模量Ei可表示為:

        其中,q為懲罰因子。圖2展示了懲罰因子取值相同時(shí),SIMP模型和RAMP模型懲罰力度的對(duì)比情況。

        圖2 SIMP模型和RAMP模型對(duì)比圖

        圖2中X坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量密度,Y坐標(biāo)為單元楊氏模量。SIMP模型懲罰曲線由實(shí)線表示,RAMP模型懲罰曲線由虛線表示。區(qū)別于SIMP模型,當(dāng)懲罰因子取值為1時(shí),RAMP模型對(duì)中間密度單元有懲罰力度,對(duì)于其他懲罰因子取值,RAMP模型的懲罰力度均低于SIMP模型。

        2 SR模型構(gòu)建

        假設(shè)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型由?s表示,由密度法的定義可知,?s是設(shè)計(jì)域?的子域,在?s上設(shè)計(jì)變量數(shù)值為1,在?/?s區(qū)域設(shè)計(jì)變量值為0。如果用E1和E2分別表示兩種材料的楊氏模量,則第i個(gè)單元的楊氏模量需要滿足:

        其中,ΔE=E1-E2。式(3)中,假設(shè)材料1的泊松比與材料2的泊松比相同。在密度法中,固體相被視為材料E1,空白相被視為材料E2,則插值模型需滿足:

        基于此,SR模型中楊氏模量和設(shè)計(jì)變量的關(guān)系式為:

        其中,r為懲罰因子,θ為加權(quán)因子。加權(quán)因子θ決定SR模型中SIMP模型和RAMP模型的權(quán)重:當(dāng)θ=0時(shí),SR模型轉(zhuǎn)化為RAMP模型;當(dāng)θ=1時(shí),SR模型轉(zhuǎn)化為SIMP模型。

        圖3展示了懲罰因子r取值為5時(shí)的SR模型的插值曲面圖。

        圖3 SR插值模型曲面圖

        圖3中,X坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量,Y坐標(biāo)為加權(quán)因子,Z坐標(biāo)為楊氏模量,懲罰因子r取值為5。當(dāng)懲罰因子取不同數(shù)值時(shí),區(qū)別于SIMP模型和RAMP模型的曲線圖,SR模型為一系列不同的曲面。如上所述,當(dāng)懲罰因子取值為0時(shí),SR模型轉(zhuǎn)化為RAMP模型;當(dāng)懲罰因子取值為0時(shí),SR模型轉(zhuǎn)化為SIMP模型。在圖3中,θ=0時(shí)SR模型的曲線與RAMP模型中q=5的曲線相同;θ=1時(shí)SR模型的曲線與SIMP模型中p=5的曲線相同。因此,r=5的SR模型曲面為q=5的RAMP模型過(guò)渡到p=5的SIMP模型所形成。

        3 基于SR模型的拓?fù)鋬?yōu)化模型

        對(duì)于以機(jī)械柔順度為目標(biāo)函數(shù),體積約束為約束條件,采用SR插值模型的拓?fù)鋬?yōu)化模型可表示為:

        其中,c=UTKU為目標(biāo)函數(shù)機(jī)械柔順度,K,U和F為別表示全局剛度矩陣、全局位移矩陣和全局載荷矩陣,ui表示單元i的位移,ki為單元?jiǎng)偠染仃?,k0表示單位楊氏模量的單元?jiǎng)偠染仃嚕珿0為體積約束,V表示優(yōu)化后設(shè)計(jì)域的體積,V0表示原始設(shè)計(jì)域的體積,vi表示單元i的體積,n表示有限元網(wǎng)格劃分的數(shù)量,xmin為一很小的正數(shù),為了避免優(yōu)化過(guò)程整體剛度矩陣變得奇異。

        4 SR拓?fù)鋬?yōu)化模型求解

        根據(jù)OC算法的原理[15],用于求解SR拓?fù)鋬?yōu)化模型的優(yōu)化準(zhǔn)則算法可以通過(guò)優(yōu)化模型中目標(biāo)函數(shù)和約束條件所構(gòu)建的拉格朗日函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。公式(6)對(duì)應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)為:

        當(dāng)xi=xmin時(shí),設(shè)計(jì)變量上限無(wú)效,此時(shí);當(dāng)xi=xmax時(shí),設(shè)計(jì)變量下限無(wú)效,此時(shí);當(dāng)時(shí),設(shè)計(jì)變量的上下限均無(wú)效,此時(shí)?;诖耍?8)可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

        將機(jī)械柔順度c=UTKU代入式(9),考慮等式項(xiàng),可得:

        在SR模型中,單元?jiǎng)偠染仃噆i和單位楊氏模量剛度矩陣k0關(guān)系為:

        將其代入式(10),并結(jié)合整體剛度矩陣的對(duì)稱性,可得:

        OC算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則表示為:

        將設(shè)計(jì)變量的上下限代入式(14)中,可得OC算法的迭代優(yōu)化公式:

        其中,引入阻尼系數(shù)η以保證優(yōu)化過(guò)程的穩(wěn)定性和收斂性。一般地,當(dāng)滿足以下條件時(shí),OC算法停止迭代:

        其中,ε為任意小的正數(shù)。

        5 數(shù)值算例

        本節(jié)以MBB梁為對(duì)象測(cè)試SR模型在不同懲罰因子取值策略下的優(yōu)化效果。采用敏度過(guò)濾器進(jìn)行過(guò)濾。MBB梁的設(shè)計(jì)域、邊界條件及載荷情況如圖4所示(由于對(duì)稱性,圖中僅展示一半MBB梁),其左端面為對(duì)稱結(jié)構(gòu),左上角作用一個(gè)大小為1,垂直向下的力F,右下角處為水平支撐,設(shè)計(jì)域的長(zhǎng)寬比例為3:1。參數(shù)設(shè)置如下:網(wǎng)格劃分120×40,體積分?jǐn)?shù)取值為0.5,懲罰因子取值為4,過(guò)濾半徑取值為4。

        圖4 MBB梁的設(shè)計(jì)域、邊界條件及載荷情況

        為了評(píng)價(jià)優(yōu)化結(jié)果的0/1離散率,本節(jié)引入指標(biāo)Mnd指標(biāo)[16],其表達(dá)式為:

        圖5展示的是SIMP模型和RAMP模型的優(yōu)化結(jié)果。

        圖5 MBB梁的優(yōu)化結(jié)果

        圖5(a)為SIMP模型優(yōu)化結(jié)果,其右上部分和左下部分支撐處出現(xiàn)明顯的灰度單元聚集區(qū)域。RAMP模型的優(yōu)化結(jié)果較為清晰。兩者的優(yōu)化結(jié)果中均未出現(xiàn)棋盤(pán)格和網(wǎng)格依賴問(wèn)題。

        圖6展示的SR模型θ取值為0.25,0.5和0.75的優(yōu)化結(jié)果。

        圖6 MBB梁的優(yōu)化結(jié)果

        由圖6可以看出,SR模型的優(yōu)化結(jié)果中在上下兩支撐處未出現(xiàn)明顯的灰度單元聚集區(qū)域,并且在非支撐區(qū)域也存在較少中間密度單元,優(yōu)化結(jié)果清晰,沒(méi)有產(chǎn)生網(wǎng)格依賴和棋盤(pán)格現(xiàn)象。上述測(cè)試的優(yōu)化數(shù)據(jù)如表1所示。

        表1 MBB梁優(yōu)化數(shù)據(jù)

        SIMP模型采用冪指數(shù)的懲罰形式,相同參數(shù)下,其收斂速度最快,迭代次數(shù)最少。當(dāng)θ取值為0.25時(shí),SR模型體現(xiàn)出SIMP模型的特征,具有較快的收斂速度,且目標(biāo)函數(shù)值和Mnd值均低于SIMP優(yōu)化結(jié)果。隨著加權(quán)因子取值增大,SR模型迭代次數(shù)不斷增加。其原因是SR模型逐漸由SIMP模型過(guò)渡到RAMP模型,其懲罰效率逐漸降低。三種加權(quán)因子取值下SR模型優(yōu)的迭代次數(shù)均低于RAMP模型的迭代次數(shù)。

        目標(biāo)函數(shù)值也體現(xiàn)出同樣的規(guī)律:SR模型θ=0.25優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值最低,目標(biāo)函數(shù)值隨著加權(quán)因子取值增大而增大。需要指出的是,θ=0.25時(shí)SR模型目標(biāo)函數(shù)值低于SIMP模型,θ=0.75時(shí)目標(biāo)函數(shù)值高于RAMP模型,這是SR模型與SIMP和RAMP模型的差異。

        0-1離散率方面,SIMP模型因其優(yōu)化結(jié)果中上下兩支撐處產(chǎn)生灰度單元聚集區(qū)域,其Mnd值較高。SR模型和RAMP模型的Mnd值明顯低于SIMP模型Mnd值。加權(quán)因子取越大值時(shí),SR模型優(yōu)化結(jié)果的Mnd值越低。

        6 結(jié)論

        密度法中通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行松弛來(lái)避免離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題求解時(shí)的組合爆炸問(wèn)題,為了抑制因松弛操作而引入的中間密度單元,密度法中通常引入材料插值模型,對(duì)中間密度單元進(jìn)行懲罰,使其向0或1兩端靠攏。

        本文首先提出一種SIMP模型和RAMP模型的加權(quán)材料插值模型,即SR模型。該模型通過(guò)引入加權(quán)因子將SIMP與RAMP相結(jié)合,通過(guò)調(diào)整加權(quán)因子的取值,SR模型可轉(zhuǎn)化為SIMP模型或者RAMP模型。基于此,本文分析了SR模型的懲罰曲面特征,并構(gòu)建了以機(jī)械柔順度為目標(biāo)函數(shù),體積約束為約束條件,采用SR插值模型的拓?fù)鋬?yōu)化模型;其次,研究了適用于該模型的優(yōu)化準(zhǔn)則求解算法。以MBB梁為例,驗(yàn)證SIMP模型、RAMP模型以及SR模型的優(yōu)化特征,研究加權(quán)因子對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響關(guān)系。

        實(shí)驗(yàn)表明,SR模型可獲得較為清晰的優(yōu)化構(gòu)型,優(yōu)化結(jié)果中無(wú)棋盤(pán)格和網(wǎng)格依賴現(xiàn)象,并且沒(méi)產(chǎn)生明顯的中間密度單元聚集區(qū)域。通過(guò)調(diào)整加權(quán)因子取值,SR模型表現(xiàn)出SIMP模型收斂速度快以及RAMP穩(wěn)定性高的特點(diǎn);通過(guò)分配較大的懲罰因子,SR模型可獲得低Mnd值的優(yōu)化結(jié)果,并且優(yōu)化過(guò)程沒(méi)有出現(xiàn)震蕩。

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