林梅彬

（福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通工程系，福州 350108）

0 引言

隨著齒輪的廣泛應(yīng)用，其齒形的復(fù)雜程度也隨之增加，如變齒厚齒輪、非圓齒輪、壓縮機(jī)螺桿轉(zhuǎn)子等。如何簡單快速的設(shè)計并模擬出切削加工后的精確齒形就顯得額外的重要。

在復(fù)雜曲面的齒面設(shè)計研究方面，吳序堂[1]歸納并提出解析包絡(luò)法和齒廓法線法兩種計算嚙合運動共軛曲面的方法，給出了嚙合運動共軛曲面的接觸條件推算過程；劉朝陽[2]推導(dǎo)了完全共軛理論齒面存在的充分條件，并提出弧齒錐齒輪完全共軛齒面方程的求解方法；林菁[3]提出了一種基于齒面法矢量的直齒雖齒輪齒面曲面求解方法,該方法為直齒雖齒輪齒面的主動設(shè)計和三維造型提供了一種新途徑；陳兵奎等[4]通過定義曲線與曲面共軛嚙合的概念，提出了以適當(dāng)半徑的球體沿嚙合曲線的指定等距線包絡(luò)出管狀曲面的齒面構(gòu)建新方法。然而，根據(jù)曲面共軛理論所建立的模型在求解過程中存在兩方面問題：一方面復(fù)雜的齒面嚙合方程求解復(fù)雜，另一方面是在發(fā)生根切或者雙包絡(luò)時在奇異點附近會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。因此，一些不需要借助傳統(tǒng)復(fù)雜的齒面嚙合方程即可獲得精確齒形的新方法開始被提出，比如借助CAD/CAE軟件中的布爾運算方式，完成復(fù)雜曲面的三維造型。付自平等利用VB和AutoCAD二次開發(fā)實現(xiàn)正交面齒輪插齒加工運動的計算機(jī)仿真[5]；迎春等[6]從直齒錐齒輪齒面形成原理出發(fā)，提出一種基于SolidWorks三維模型建立方法—邊界曲面法；肖莉[7]基于齒輪成形法加工原理，采用Autolisp語言編程對直齒錐齒輪實體進(jìn)行動態(tài)仿真；林超[8]采用范成加工方法，運用SolidWorks設(shè)計軟件，獲得瞬時接觸微平面并完成齒廓設(shè)計，實現(xiàn)正交復(fù)合運動錐齒輪副齒面的精確建模。

本文在虛擬仿真齒輪副共軛成形加工過程的基礎(chǔ)上，結(jié)合計算機(jī)圖形學(xué)中的圖像邊緣像素提取相關(guān)理論，提出了一種非圓齒輪的齒廓離散數(shù)據(jù)了提取方法。通過提取非圓齒輪的邊緣齒廓，并對齒形誤差進(jìn)行了判定，驗證了該方法的精確性和穩(wěn)定性。

1 非圓齒輪虛擬加工原理

由于非圓齒輪齒面的復(fù)雜性，通過一般的嚙合方程很難精確獲得其齒面。為了能夠獲得非圓齒輪的精確齒面，由齒輪嚙合原理的相關(guān)理論可知，非圓齒輪齒面可以通過齒輪刀具與非圓齒輪毛坯做范成運動形成。假設(shè)非圓齒輪毛坯固定，刀具與非圓齒輪毛坯在節(jié)曲線上作純滾動。為了獲得非圓齒輪的包絡(luò)齒廓，只需對圓柱齒輪刀具的走刀軌跡進(jìn)行規(guī)劃。非圓齒輪包絡(luò)廓形的精度取決于刀具齒輪的步進(jìn)角，步進(jìn)角越小，精度越高。根據(jù)齒輪嚙合原理和幾何運動關(guān)系可知，加工刀具與非圓齒輪間的運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 圓柱齒輪與非圓齒輪間的運動關(guān)系

式中，η為圓柱齒輪做純滾動繞自身軸線角度。

在非圓齒輪的加工過程中，非圓齒輪的齒形取決于加工滾刀的外形及機(jī)床的加工誤差，以非圓齒輪的滾齒加工為例，由滾刀推導(dǎo)獲得的圓柱齒輪的加工包絡(luò)線方程為：

其中h和w分別為滾刀的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。

圖2 滾刀與非圓齒輪之間相對運動坐標(biāo)系

則由滾刀和非圓齒輪之間的坐標(biāo)變換關(guān)系可知，非圓齒輪的加工包絡(luò)線方程為：

通過以上包絡(luò)過程可以獲得非圓齒輪的包絡(luò)廓形，如圖3所示。

圖3 非圓齒輪的包絡(luò)齒廓

2 圖像邊緣像素提取方法

在通過模擬非圓齒輪共軛曲面的成形加工過程的基礎(chǔ)上，結(jié)合機(jī)器圖形學(xué)相關(guān)理論，本文提出一種新的齒輪邊緣齒廓提取技術(shù)。該方法通過定義刀具（可以圓柱形齒輪或者滾刀等）及其走刀路徑，在數(shù)學(xué)軟件上獲得任意齒廓的包絡(luò)曲線簇，并將包絡(luò)曲線簇轉(zhuǎn)化成二值圖像。建立矩陣行列與圖像像素點坐標(biāo)相對應(yīng)的圖像二值矩陣，根據(jù)不同的輪齒分步旋轉(zhuǎn)圖像使每個輪齒關(guān)于坐標(biāo)軸左右對稱分布，依次提取每個齒廓的圖像邊緣像素點，最后利用最小二乘法分段直線擬合像素點坐標(biāo)，精確得到非圓齒輪輪廓坐標(biāo)值，具體步驟如下：

步驟1：建立矩陣行列與圖像像素點坐標(biāo)相對應(yīng)的圖像二值矩陣，轉(zhuǎn)化成非圓齒輪齒廓的二值化圖像。對于齒輪而言，每個輪齒具有不同的齒廓斜率，由圖像的二值化原理可知，不同輪齒得到的齒廓邊界像素點的分布規(guī)律存在較大的差別，若以此像素點直接作為齒廓離散數(shù)據(jù)，則不同齒廓間存在較大的誤差，如圖4所示。

圖4 不同輪齒像素點分布規(guī)律

為了提高像素精度，結(jié)合非圓齒輪的輪齒分布規(guī)律，如圖3所示，1）非圓齒輪的齒廓均勻的分布在非圓節(jié)曲線上，每個輪齒具有一定的差異性；2）為了提高非圓齒輪的受力性能，非圓齒輪的節(jié)曲線波谷位置一般加工成左右齒面對稱的齒槽。本文考慮通過將非圓齒輪每個輪齒的對稱軸轉(zhuǎn)換到圖4中的（坐標(biāo)軸O2y2）圖像對稱位置，保證每個輪齒都關(guān)于對稱軸O2y2左右對稱，再進(jìn)行像素點的提取，從而提高齒廓的像素點精度。

步驟2：提取非圓齒輪每個輪齒的圖像邊緣像素點。在對非圓齒輪齒廓的圖像邊緣像素點進(jìn)行提取時，如果直接采用水平或者垂直的掃略方式進(jìn)行像素點提取，受齒廓的凹凸性影響，則容易造成掃略像素點的缺失，如圖5所示。

圖5 傳統(tǒng)方法的像素缺失

像素點的數(shù)量直接決定了齒廓的精度。為了提高像素點的提取數(shù)量，結(jié)合步驟1中的方法，對非圓齒輪齒廓圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

如圖6所示，以非圓齒輪旋轉(zhuǎn)中心在圖像中的像素坐標(biāo)P0（x0，y0）建立圖像的固定坐標(biāo)系S2（O2-X2Y2）及回轉(zhuǎn)坐標(biāo)系S2h（O2h-X2hY2h），假設(shè)任意位置輪齒的齒厚中點相對于坐標(biāo)軸O2y2的回轉(zhuǎn)角為；以輪齒的對稱軸建立圖像的偏轉(zhuǎn)坐標(biāo)系S2p（O2p-X2pY2p），定義任意位置輪齒的偏轉(zhuǎn)角為。為了使每個輪齒的對稱軸與圖像的坐標(biāo)軸O2y2重合，圖像的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程包括以下兩個步驟：

1）圖像中每個輪齒中點P2i繞旋轉(zhuǎn)中點P0回轉(zhuǎn)后，其回轉(zhuǎn)坐標(biāo)系S2’到固定坐標(biāo)系S2的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為：

圖6 圖像像素點的坐標(biāo)變換過程

由于非圓柱齒輪節(jié)曲線不具有高度的對稱性，每個輪齒的回轉(zhuǎn)角并不能均勻分布。從齒輪嚙合原理的角度上來講，為了保證齒輪副的正常嚙合，必須要保證輪齒均勻的分布在節(jié)曲線上，如圖7所示。

圖7 非圓齒輪齒廓分布規(guī)律

由齒輪嚙合原理可知，相鄰兩個輪齒中點間對于的弧長為：

則每個輪齒中心相對于坐標(biāo)軸O2y2的弧長為可以表達(dá)成：

式中，i=1,2,4,……,2z2通過式(8)，即可反求獲得每個輪齒在節(jié)曲線上的輪齒中點對應(yīng)的回轉(zhuǎn)角；

2）由于圖像回轉(zhuǎn)后只有輪齒中點與坐標(biāo)軸重合，而輪齒的對稱軸仍未與其重合。因此，需要將在圖像中將輪齒對稱軸以輪齒中心P2i為偏轉(zhuǎn)中心偏轉(zhuǎn)。

步驟3：通過1）和2）的坐標(biāo)變換過程，即可得到每個輪齒在二值化圖像中關(guān)于坐標(biāo)軸O2y2的對稱齒形，再結(jié)合水平或者垂直掃描方式，即可獲得每個輪齒對于的像素坐標(biāo)。假設(shè)每個輪齒中心在原像素坐標(biāo)系中的像素坐標(biāo)點為P2i（x2i，y2i），變換后的坐標(biāo)點為P2i’（x2i’，y2i’），則兩者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為：

通過以上步驟掃略獲得的非圓齒輪齒廓像素點。

步驟4：非圓齒輪齒廓像素點的后期處理。由于提取的像素點與理論坐標(biāo)之間存在一定的間隔，為了提高齒廓精度，需要對提取的像素點進(jìn)行后期處理。本文以非圓齒輪中的圓柱孔為標(biāo)定基準(zhǔn)，對非圓齒輪的齒廓像素點進(jìn)行二次處理，如圖8所示。

1）確定非圓齒輪旋轉(zhuǎn)中心在圖像中的像素坐標(biāo)P0（x0，y0），以該點為基準(zhǔn)，沿著水平與垂直方向提取非圓齒輪內(nèi)孔的像素坐標(biāo)。

2）對像素點進(jìn)行插值，擬合成圓，并與理論齒廓進(jìn)行對比，確定兩者之間的比例關(guān)系，再將提取的非圓齒輪齒廓像素點結(jié)合該比例關(guān)系獲取最終的齒廓像素坐標(biāo)。

圖8 圓柱孔的標(biāo)定

3 實例分析

本文以直齒非圓齒輪為例進(jìn)行分析，以驗證該方法求解非圓齒輪齒廓的正確性。其中涉及到的基本參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 基本參數(shù)設(shè)定

圖9所示為非圓齒輪齒廓對比結(jié)果。由圖9(a)、圖9(b)可知，非圓齒輪的齒廓誤差為-7.55～+7.61um，齒廓誤差較小，說明通過該方法可精確的獲得非圓齒輪的齒廓離散數(shù)據(jù)點。

圖9 齒廓誤差對比

4 結(jié)論

本文提出了一種非圓齒輪齒廓的快速提取方法，該方法無需借助復(fù)雜的齒輪嚙合方程即可完成非圓齒輪齒廓的求解，可應(yīng)用于求解復(fù)雜齒輪的齒廓；該方法運算速度快、數(shù)值計算精度高、穩(wěn)定性好，可直接應(yīng)用于開發(fā)相關(guān)的共軛曲面廓形自動生成CAD/CAM軟件。