涂春梅,陳國(guó)彬,劉 超

（1.重慶工商大學(xué)融智學(xué)院大數(shù)據(jù)研究所，重慶 401320；2.貴州航天電器股份有限公司，貴陽(yáng) 550009）

0 引言

鯨魚(yú)優(yōu)化算法（whale optimization algorithm,WOA）是Mirjalili和Lewis于2016年受啟發(fā)于鯨魚(yú)獨(dú)特的泡泡網(wǎng)覓食行為而提出的一種新的群智能優(yōu)化算法[1]。作為一種新型的進(jìn)化算法，與其他算法相比，WOA易于理解，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，且全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，因此一經(jīng)提出便引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注和研究，并應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、圖像處理、故障診斷支持向量機(jī)參數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域[2-4]。然而，由于WOA提出的時(shí)間較晚，尚未被熟知，其理論分析還處于初級(jí)階段，其在高維多極值復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題中也存在收斂精度不高、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題。

為了研究WOA的優(yōu)化性能及更好地改善算法的全局優(yōu)化能力，本文提出了一種新的混沌反饋?zhàn)赃m應(yīng)鯨魚(yú)優(yōu)化算法（chaos feedback adaptive WOA，CFAWOA）。在CFAWOA算法中，引入混沌理論生成初始種群增加種群多樣性，為算法全局搜索奠定基礎(chǔ)；同時(shí)，在鯨魚(yú)位置更新后期增加反饋階段，通過(guò)交流學(xué)習(xí)使最差鯨魚(yú)快速向最優(yōu)鯨魚(yú)靠攏，提高算法的全局搜索能力；此外，在鯨魚(yú)個(gè)體位置更新公式中引入自適應(yīng)慣性權(quán)值，通過(guò)平衡算法的開(kāi)發(fā)和探索能力進(jìn)一步改善算法的優(yōu)化性能。選取6個(gè)復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了CFAWOA算法在優(yōu)化性能方面得到明顯改善。

1 鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)

（1）收縮包圍機(jī)制

為了從數(shù)學(xué)上描述鯨魚(yú)的泡泡網(wǎng)覓食行為，在WOA算法中，設(shè)計(jì)了兩種不同方式：收縮包圍機(jī)制和螺旋更新位置。假設(shè)鯨魚(yú)種群規(guī)模為N，優(yōu)化空間的維度為d，每只鯨魚(yú)的位置代表一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的可行解，則Xi=,…,),i=1,…,N表示第i只鯨魚(yú)在d維空間中的位置。

鯨在狩獵的時(shí)候要包圍獵物，在求解優(yōu)化問(wèn)題前對(duì)搜索空間中的全局最優(yōu)位置沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)，因此假設(shè)當(dāng)前種群中最優(yōu)位置為獵物，鯨魚(yú)個(gè)體均向最優(yōu)位置包圍，數(shù)學(xué)模型描述如下：

式中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，Xp為獵物位置，X(t)為當(dāng)前鯨魚(yú)的位置，A和C是系數(shù)向量，定義如下：

式中，r1和r2是[0,1]中的隨機(jī)數(shù)，a為控制參數(shù)，隨迭代次數(shù)增加從2線(xiàn)性減小到0，定義如下：

式中，Tmax為最大迭代次數(shù)。收縮包圍機(jī)制通過(guò)式（1）和式（4）隨著參數(shù)a的減小而實(shí)現(xiàn)的。

（2）螺旋更新位置

鯨魚(yú)在包圍獵物之后，螺旋式運(yùn)動(dòng)以捕獲食物，其數(shù)學(xué)模型描述如下：

式中，D′= ||Xp(t)-X(t)表示鯨魚(yú)和獵物之間的距離；b是一個(gè)常數(shù)，用來(lái)定義對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的形狀；l是[-1,1]中的隨機(jī)數(shù)。

鯨魚(yú)的收縮包圍機(jī)制和螺旋更新位置是一種同步行為，在數(shù)學(xué)模型描述中，通常選取兩種方式的概率相同，即Pi=0.5，描述如下：

2 混沌反饋?zhàn)赃m應(yīng)鯨魚(yú)優(yōu)化算法

為解決WOA算法在處理復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題中遇到的收斂精度較低、易陷入局部最優(yōu)的不足，提出了混沌反饋?zhàn)赃m應(yīng)鯨魚(yú)優(yōu)化算法(CFAWOA)。通過(guò)如下三種策略改善WOA算法的全局優(yōu)化性能：

（1）Sin混沌初始化種群

群智能優(yōu)化算法種群初始化方法會(huì)影響算法的收斂速度和解的精度。WOA算法在缺乏有關(guān)先驗(yàn)信息時(shí)采用隨機(jī)初始種群，不能保證鯨魚(yú)在整個(gè)解空間中均勻分布?；煦缬成涫怯纱_定性方程得到的具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具有隨機(jī)性性、遍歷性的特點(diǎn)[5]。文獻(xiàn)[6]驗(yàn)證了Sin混沌較Logistic混沌具有更明顯的混沌特性，因此采用Sin混沌進(jìn)行WOA算法的種群初始方法?？疾焓剑?）定義的Sin混沌自映射：

式（7）中初始值不能為0，避免在[-1,1]內(nèi)產(chǎn)生不動(dòng)點(diǎn)和零點(diǎn)。當(dāng)?shù)欢ù螖?shù)時(shí)，系統(tǒng)輸出將遍歷整個(gè)解空間。

（2）反饋階段

在WOA算法中，鯨魚(yú)通過(guò)獵物的位置來(lái)改變自身的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)動(dòng)方式比較單一。然而在實(shí)際的覓食過(guò)程中，最優(yōu)鯨魚(yú)有目的的與最差鯨魚(yú)進(jìn)行反饋交流，通過(guò)反饋信息交流，距離食物較遠(yuǎn)的鯨魚(yú)能快速運(yùn)動(dòng)到食物附件，這樣將能進(jìn)一步提高算法的收斂速度，本文在精英WOA算法基礎(chǔ)上，引入反饋階段來(lái)提高算法的尋優(yōu)精度及穩(wěn)定性。

反饋階段數(shù)學(xué)模型如下：

式中，Xworst是種群中最差鯨魚(yú)個(gè)體位置向量；r是[0,1]中的隨機(jī)數(shù)。比較新解Xworst_new與當(dāng)前解Xworst，如果Xworst_new優(yōu)于Xworst，則接受Xworst_new。

（3）自適應(yīng)慣性權(quán)值

慣性權(quán)值是WOA算法中的一個(gè)重要參數(shù)，式（1）和式（5）中保持較大的慣性權(quán)值1，恒定不變的慣性權(quán)重將降低算法的效率，不利于算法的全局尋優(yōu)。文獻(xiàn)[7]指出較大的慣性權(quán)值有利于全局優(yōu)化，較小的慣性權(quán)值有利于局部挖掘。理想的慣性權(quán)重策略應(yīng)呈現(xiàn)這樣的特點(diǎn)：在迭代初期，應(yīng)具有較大的權(quán)重，保證算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力；在迭代后期，應(yīng)具有較小的權(quán)重，保證算法具有較強(qiáng)的局部搜索能力。因此，合理的慣性權(quán)值有利于平衡算法的全局探索和局部開(kāi)采能力。

在式（1）和式（5）中引入如下自適應(yīng)慣性權(quán)值ω：

式中，f(x)是鯨魚(yú)x的適應(yīng)度值；u表示在第一次迭代計(jì)算中鯨魚(yú)種群中最佳的適應(yīng)度值；iter表示當(dāng)前的迭代次數(shù)。利用ω的動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性特性控制鯨魚(yú)位置對(duì)新鯨魚(yú)位置的影響度。改進(jìn)后的更新公式表述如下：

在迭代初期，較小的適應(yīng)度值保證了算法擁有較大的慣性權(quán)重；相反，后期較大適應(yīng)度值保證了算法擁有較小的慣性權(quán)重，利于WOA算法的全局優(yōu)化性能。

在CFAWOA中，采用Sin混沌初始化種群以改善種群的分布情況；同時(shí)，增加反饋階段，通過(guò)最差鯨魚(yú)與最優(yōu)鯨魚(yú)進(jìn)行信息交換，以促進(jìn)最差鯨魚(yú)快速運(yùn)動(dòng)到食物周?chē)?；除此之外，自適應(yīng)慣性權(quán)值平衡算法的全局探索和局部開(kāi)采能力，進(jìn)一步改善算法的全局優(yōu)化能力。CFAWOA算法流程如下：

設(shè)置最大迭代次數(shù)Tmax，種群規(guī)模N，按式（7）產(chǎn)生N個(gè)初始鯨魚(yú)種群{Xi,i=1,2,...,N}；

計(jì)算每個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體的適應(yīng)度值{f(Xi),i=1,2,...,N}，記錄當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體及位置；

根據(jù)式（9）計(jì)算自適應(yīng)慣性權(quán)值w的值；

根據(jù)式（4）計(jì)算控制參數(shù)α的值；

更新其他參數(shù)A、C、l、p的值；

根據(jù)式（10）更新當(dāng)前鯨魚(yú)個(gè)體的位置；

在群體中選擇最差鯨魚(yú)個(gè)體Xworst；

根據(jù)式（8）更新當(dāng)前鯨魚(yú)個(gè)體的位置；

根據(jù)式（11）更新當(dāng)前鯨魚(yú)個(gè)體的位置；

計(jì)算群體中個(gè)體的適應(yīng)度值{f(Xi),i=1,2,...,N}；

更新當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體及位置；

3 CFAWOA算法性能測(cè)試

為了檢驗(yàn)CFAWOA性能，選取表1（見(jiàn)下頁(yè)）中6個(gè)函數(shù)，優(yōu)化求解最小值，測(cè)試CFAWOA優(yōu)化精度和全局尋優(yōu)能力。其中F1—F3為高維的單峰基準(zhǔn)函數(shù)，F(xiàn)4—F6為高維的多峰基準(zhǔn)函數(shù)。將CFAWOA與WOA、PSO[8]、TLBO[9]算法進(jìn)行比較。為了比較的公平性，CFAWOA、WOA、PSO和TLBO四種算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為50，迭代次數(shù)為1000，運(yùn)行次數(shù)30；另外，對(duì)于6個(gè)高維優(yōu)化函數(shù)，它們的維數(shù)均依次設(shè)置為30、50、100。此外，所有仿真實(shí)驗(yàn)均在同一平臺(tái)上完成，硬件系統(tǒng)采用戴爾Inspiron 14-7467筆記本，處理器為英特爾i7-7700HQ 2.8GHz、內(nèi)存為8GB、Win 7 64位操作系統(tǒng)，MATLAB版本為R2009a。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

3.1 概率對(duì)CFAWOA的性能影響

為了研究CFAWOA算法中不同概率P對(duì)算法性能的影響，對(duì)表1中6個(gè)測(cè)試函數(shù)均設(shè)置P=0.3、0.5、0.8三個(gè)不同的概率，對(duì)CFAWOA的優(yōu)化性能進(jìn)行測(cè)試，如表2所示。

表2 概率對(duì)CFAWOA算法性能影響

如表2所示，對(duì)單峰基準(zhǔn)函數(shù)F1和F3，概率為0.3、0.5和0.8均能搜索到全局最優(yōu)解，比較平均迭代次數(shù)（C.I.）指標(biāo)發(fā)現(xiàn)：F1、F3在概率為0.5時(shí)分別為714和84，對(duì)F2函數(shù)，概率為0.5時(shí)平均值和均方差最小。對(duì)多峰基準(zhǔn)函數(shù)F4，三種概率均為搜索到理論最優(yōu)解，但概率為0.5時(shí)最早搜索到最優(yōu)值。對(duì)于F5，三種概率都能找到全局最優(yōu)解，C.I.指標(biāo)分別為78、62、85，也即是概率為0.5時(shí)搜索到最優(yōu)解的速度最快。對(duì)F6測(cè)試函數(shù)，三種概率都沒(méi)有找到理論最優(yōu)解，概率為0.5時(shí)最優(yōu)解指標(biāo)最小。綜上所述，概率為0.5時(shí)CFAWOA算法的精度和收斂速度更具優(yōu)勢(shì)，后文在參數(shù)設(shè)置中將概率設(shè)置為0.5。

3.2 CFAWOA算法性能驗(yàn)證

為了驗(yàn)證CFAWOA的性能，將CFAWOA與基本W(wǎng)OA、PSO和TLBO進(jìn)行對(duì)比。以表格的形式記錄各優(yōu)化算法尋優(yōu)的平均值和均方差，如下頁(yè)表3所示。

從表3可以看出，在設(shè)定的參數(shù)條件下，CFAWOA能夠找到F1、F3、F5的理論最優(yōu)值，對(duì)其余函數(shù)來(lái)說(shuō)，雖然CFAWOA精度沒(méi)有達(dá)到理論最優(yōu)，但CFAWOA算法搜索的結(jié)果無(wú)限接近最優(yōu)值，與其他三個(gè)算法相比在精度上有了很大的提高，也更加穩(wěn)定。改進(jìn)后的鯨魚(yú)算法較基本的鯨魚(yú)算法在精度上都有了極大的提高。

以最優(yōu)解的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)比較CFAWOA、WOA、PSO和TLBO的優(yōu)化結(jié)果可以看出，無(wú)論是30維、50維還是100維情況下，CFAWOA在6個(gè)優(yōu)化問(wèn)題上都能表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力。除此之外，CFAWOA針對(duì)6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)而言，無(wú)論優(yōu)化問(wèn)題為30維或50維、還是100維，CFAWOA較其他三種算法更加穩(wěn)定，搜索的精度依然很高。

圖1是四種算法在50維情況下6個(gè)優(yōu)化函數(shù)的尋優(yōu)曲線(xiàn)。從圖1中可以看出，對(duì)于函數(shù)F1、F3、F5，CFAWOA算法能快速搜索到理論最優(yōu)解，觀察其余函數(shù)，CFAWOA算法收斂速度較其他三種算法更快，收斂精度也有一定的提高；CFAWOA算法對(duì)F2和F6函數(shù)在50維進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，有多處拐點(diǎn)出現(xiàn)，證明其跳出局部最優(yōu)的能力得到了有效增強(qiáng)；綜上所述，針對(duì)多維復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，CFAWOA算法的優(yōu)化能力相對(duì)WOA算法有了較大改善，其優(yōu)化性能比PSO和TLBO算法更加有效，CFAWOA算法能夠有效解決高維復(fù)雜數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題。

圖1 優(yōu)化性能比較

表3 四種算法對(duì)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)WOA算法存在的初始種群不均勻、全局搜索能力不高、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，提出了一種混沌反饋?zhàn)赃m應(yīng)鯨魚(yú)優(yōu)化算法(CFAWOA)以解決復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)混沌策略初始化種群，保證了解空間分布均勻，且不失多樣性，改善算法的優(yōu)化性能。在鯨魚(yú)位置更新后期增加反饋階段，通過(guò)交流學(xué)習(xí)幫助最差鯨魚(yú)快速向最優(yōu)鯨魚(yú)靠攏，提高算法的全局搜索能力；除此之外，引入自適應(yīng)慣性權(quán)值幫助算法及時(shí)跳出早熟收斂進(jìn)一步提高WOA算法的全局優(yōu)化能力。數(shù)值函數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)表明，CFAWOA算法在進(jìn)行高維、多峰復(fù)雜數(shù)值函數(shù)求解時(shí)能取得較為滿(mǎn)意的優(yōu)化結(jié)果，與其余優(yōu)化算法相比較，在一定程度上表現(xiàn)出了更好的收斂精度且更加穩(wěn)定。