萬(wàn)廣磊

一次函數(shù)是刻畫(huà)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，很多中考試題關(guān)注應(yīng)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題都是通過(guò)觀察、分析、概括、建模，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，綜合運(yùn)用方程、不等式（組）、函數(shù)等知識(shí)，借助數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解決。下面以幾道典型的中考試題為例進(jìn)行剖析。

一、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

例1 （2018·江蘇鹽城）學(xué)校與圖書(shū)館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書(shū)館，乙從圖書(shū)館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時(shí)出發(fā)，乙先到達(dá)目的地。兩人之間的距離y（米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。

（1）根據(jù)圖像信息，當(dāng)t=______分鐘時(shí)甲、乙兩人相遇，甲的速度為_(kāi)____米/分鐘。

（2）求出線(xiàn)段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式。

【解析】（1）根據(jù)圖像信息，y=0時(shí)，表示甲、乙兩人相遇，此時(shí)t=24。由圖像，知甲用60分鐘步行2400米，因此，用每分鐘步行40米。

（2）當(dāng)t=24時(shí)，甲、乙兩人相遇，可得甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100（米/分鐘）。已求甲的速度，可得出乙的速度。再求出乙從圖書(shū)館回學(xué)校的總時(shí)間即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用A點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘甲的速度得出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出線(xiàn)段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式。

解：（1）24，40。

（2）根據(jù)題意，當(dāng)t=24時(shí)，甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100（米/分鐘），∵甲的速度為40米/分鐘，∴乙的速度為60米/分鐘。乙從圖書(shū)館回學(xué)校的時(shí)間為2400÷60=40（分鐘），∴甲步行的總路程為40×40=1600（米），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（40，1600）。設(shè)線(xiàn)段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，得解得，∴線(xiàn)段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y=40x。

【點(diǎn)評(píng)】在解決第二問(wèn)時(shí)，要確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，其表示的意義就是乙到達(dá)學(xué)校時(shí)甲走完的總路程，可以利用行程問(wèn)題的示意圖分析甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與對(duì)應(yīng)的路程。

二、銷(xiāo)售問(wèn)題

例2 （2018·江蘇無(wú)錫）一水果店是A酒店某種水果的唯一供貨商，水果店根據(jù)該酒店以往每月的需求情況，本月初專(zhuān)門(mén)為他們準(zhǔn)備了2600kg的這種水果。已知水果店每售出1kg該水果可獲利潤(rùn)10元，未售出的部分每1kg將虧損6元，以x（單位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月對(duì)這種水果的需求量，y（元）表示水果店銷(xiāo)售這批水果所獲得的利潤(rùn)。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

（2）當(dāng)A酒店本月對(duì)這種水果需求多少時(shí)，該水果店銷(xiāo)售這批水果所獲的利潤(rùn)不少于22000元？

【解析】（1）分兩種情況討論：一是未能全部售出（即2000≤x≤2600），要注意用獲得的利潤(rùn)減去未出售的虧損部分；二是全部售出（即2600＜x≤3000），直接列出函數(shù)表達(dá)式。

（2）利用利潤(rùn)不少于22000元，可以列不等式求出實(shí)際問(wèn)題的解。

解：（1）由題意，分兩種情況討論如下：當(dāng) 2000≤x≤2600時(shí)，y=10x-6（2600-x）=16x-15600；當(dāng) 2600＜x≤3000時(shí) ，y=2600×10=26000。

（2）由題意得：16x-15600≥22000，解得：x≥2350，∴當(dāng)A酒店本月對(duì)這種水果的需求量x滿(mǎn)足2350≤x≤3000時(shí)，該水果店銷(xiāo)售這批水果所獲的利潤(rùn)不少于22000元。

【點(diǎn)評(píng)】本題在所給的2000≤x≤3000條件下，依然需要對(duì)x的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分為2000≤x≤2600與2600＜x≤3000兩種情況。

三、調(diào)配問(wèn)題

例3 （2018·湖北黃石）某年5月，我國(guó)南方某省A、B兩市遭受?chē)?yán)重洪澇災(zāi)害，1.5萬(wàn)人被迫轉(zhuǎn)移，鄰近縣市C、D獲知A、B兩市分別急需救災(zāi)物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)物資支援災(zāi)區(qū)。已知C市有救災(zāi)物資240噸，D市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些救災(zāi)物資全部調(diào)往A、B兩市。已知從C市運(yùn)往A、B兩市的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從D市運(yùn)往A、B兩市的費(fèi)用分別為每噸15元和30元，設(shè)從D市運(yùn)往B市的救災(zāi)物資為x噸。

（1）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：

_____________________________________C D_合計(jì)（噸______）_______________________A（噸）200_______B（噸）___x 300_______合計(jì)（噸）240___260___500___

（2）設(shè)C、D兩市的總運(yùn)費(fèi)為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍。

（3）經(jīng)過(guò)搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少m元（m＞0），其余路線(xiàn)運(yùn)費(fèi)不變。若C、D兩市的總運(yùn)費(fèi)的最小值不小于10320元，求m的取值范圍。

【解析】（1）由題意，D市運(yùn)往B市x噸，則D市運(yùn)往A市（260-x）噸，C市運(yùn)往B市（300-x）噸，C市運(yùn)往A市200-（260-x）=（x-60）噸。

（2）由題意，w是4條線(xiàn)路的費(fèi)用總和，可得w與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性，進(jìn)行分類(lèi)討論。

解：（1）C運(yùn)往A市：x-60；C運(yùn)往B市：300-x；D運(yùn)往A市：260-x。

（2）由題意得，w=20（x-60）+25（300-x）+15（260-x）+30x=10x+10200，∴w=10x+10200（60≤x≤260）。

（3）由題意得，w=10x+10200-mx=（10-m）x+10200。

當(dāng)0＜m＜10時(shí)，x=60時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w=（10-m）×60+10200≥10320，解得0＜m≤8；當(dāng)m＞10時(shí)，x=260時(shí)，w取得最小值，此時(shí)，w=（10-m）×260+10200≥10320，解得＜10，∴m＞10不符合題意。

綜上討論，m的取值范圍是0＜m≤8。

【點(diǎn)評(píng)】本題在解答第三問(wèn)時(shí)，需要根據(jù)一次函數(shù)w=（10-m）x+10200的增減性，對(duì)（10-m）的值是否大于0和是否小于0分別進(jìn)行討論。

四、方案問(wèn)題

例5 （2018·江蘇連云港）某村在推進(jìn)美麗鄉(xiāng)村活動(dòng)中，決定建設(shè)幸福廣場(chǎng)，計(jì)劃鋪設(shè)相同大小規(guī)格的紅色和藍(lán)色地磚。經(jīng)過(guò)調(diào)査，獲取信息如下：

_紅色地_______磚_藍(lán)色地_______磚購(gòu)買(mǎi)數(shù)量低于______________________________5000塊原價(jià)銷(xiāo)售______原價(jià)銷(xiāo)售______購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不低于5000塊____以八折銷(xiāo)售__以九折銷(xiāo)售__

如果購(gòu)買(mǎi)紅色地磚4000塊，藍(lán)色地磚6000塊，需付款86000元；如果購(gòu)買(mǎi)紅色地磚10000塊，藍(lán)色地磚3500塊，需付款99000元。

（1）紅色地磚與藍(lán)色地磚的單價(jià)各多少元？

（2）經(jīng)過(guò)測(cè)算，需要購(gòu)置地磚12000塊，其中藍(lán)色地磚的數(shù)量不少于紅色地磚的一半，并且不超過(guò)6000塊，如何購(gòu)買(mǎi)付款最少？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合表格中數(shù)據(jù)，分別列出方程，得出答案。

（2）利用已知，得出x的取值范圍，再利用一次函數(shù)的增減性得出答案。

解：（1）設(shè)紅色地磚每塊a元，藍(lán)色地磚每塊b元，由題意，得：

答：每塊紅色地磚8元，每塊藍(lán)色地磚10元。

（2）設(shè)購(gòu)置藍(lán)色地磚x塊，則購(gòu)置紅色地磚（12000-x）塊，所需的總費(fèi)用為y元，由題意可得：x≥（12000-x），解得：x≥4000。

又∵x≤6000，

∴藍(lán)磚塊數(shù)x的取值范圍：4000≤x≤6000。

當(dāng)4000≤x＜5000時(shí)，y=10x+8×0.8（12000-x）=76800+3.6x，∴x=4000時(shí)，y有最小值91200。

當(dāng) 5000≤x≤6000時(shí)，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800，∴x=5000時(shí)，y有最小值89800。

∵89800＜91200，

∴購(gòu)買(mǎi)藍(lán)色地磚5000塊，紅色地磚7000塊，費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為89800元。

【點(diǎn)評(píng)】本題在解答第二問(wèn)時(shí)，需要根據(jù)一次函數(shù)的增減性，分別進(jìn)行討論，分為4000≤x＜5000與5000≤x≤6000兩種情況。

五、學(xué)科交叉

例6 （2018·浙江紹興）實(shí)驗(yàn)室里有一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器，從內(nèi)部量得它的高是15cm，底面的長(zhǎng)是30cm，寬是20cm，容器內(nèi)的水深為xcm?，F(xiàn)往容器內(nèi)放入如圖的長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊（鐵塊一面平放在容器底面），過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的長(zhǎng)分別10cm，10cm，ycm（y≤15），當(dāng)鐵塊的頂部高出水面2cm時(shí)，x，y滿(mǎn)足的關(guān)系式是 。

【解析】分兩種情況討論，看長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的哪個(gè)面平放在長(zhǎng)方體的容器底面，利用“實(shí)心鐵塊浸在水中的體積等于容器中水位增加后的體積減去原來(lái)水的體積”建立方程，求解即可。

解：當(dāng)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的棱長(zhǎng)為10cm和ycm的那一面平放在長(zhǎng)方體的容器底面時(shí)，鐵塊浸在水中的高度為8cm，此時(shí)，水位上升了（8-x）cm（x＜8），鐵塊浸在水中的體積為10×8×y=80y。

當(dāng)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的棱長(zhǎng)為10cm和10cm的那一面平放在長(zhǎng)方體的容器底面時(shí)，同理得

【點(diǎn)評(píng)】本題的等量關(guān)系是：長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊排開(kāi)水的體積等于長(zhǎng)方體容器上升的水的體積，由此等量關(guān)系寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式。

六、油箱問(wèn)題

例7 （2018·上海）一輛汽車(chē)在某次行駛過(guò)程中，油箱中的剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖像如圖所示。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫(xiě)定義域）。

（2）已知當(dāng)油箱中的剩余油量為8升時(shí)，該汽車(chē)會(huì)開(kāi)始提示加油，在此次行駛過(guò)程中，行駛了500千米時(shí)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程，在開(kāi)往該加油站的途中，汽車(chē)開(kāi)始提示加油，這時(shí)離加油站的路程是多少千米？

【解析】根據(jù)函數(shù)圖像中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出剩余油量為8升時(shí)行駛的路程。

解：（1）設(shè)該一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得：解得

∴530-520=10，即油箱中的剩余油量為8升時(shí)，汽車(chē)距離加油站10千米。

∴在開(kāi)往該加油站的途中，汽車(chē)開(kāi)始提示加油，這時(shí)離加油站的路程是10千米。

【點(diǎn)評(píng)】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是只求得了y=8時(shí)x的值，沒(méi)有進(jìn)一步計(jì)算汽車(chē)與加油站的距離。